¡Descarga Resum PRELIMINARS y más Resúmenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
RESUM D’ÀLGEBRA PRELIMINARS
- LÒGICA
Proposició: Oració declarativa que pot ser certa o falsa però no les dues coses alhora.
Proposició composta: Formada per varies proposicions simples, unides per connectors
lògics.
Exemples:
Un triangle té tres costats (Proposició)
L’equació 1 0 2 x + = té dues solucions reals (Proposició)
Ves amb compte amb els signes! (No, és una proposició)
3 ⋅ 3 = 6 (Proposició)
x − 4 = 5 (No, és una proposició)
Si y = zo x = 0 , llavors xy = xz(Proposició)
Si x = 5 , llavors 3 x − 2 = 13 (Proposició)
1.1 CONNECTORS LÒGICS
Negació ¬ p (no)
Conjunció p ∧ q (i)
Disjunció p ∨ q (o)
Condicional p ⇒ q (Si... llavors...)
Bicondicional p ⇔ q (...si, i només si,...)
p ⊕ q (O bé... o bé...)
Taules de veritat
p q ¬p^ p^ ∧^ q p^ ∨^ q p^ ⇒^ q p^ ⇔^ q p^ ⊕q
0 0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0
Exercici
Siguin p i q les proposicions p:”Avui és un dia humit” i q:”Avui està plovent”. Escriu les
proposicions amb connectors lògics.
Avui hi ha humitat i esta plovent. p ∧q
Avui és un dia humit però no plou. p ∧¬q
Avui no hi ha humitat i no plou. ¬p ∧¬q
O bé està plovent, o bé és un dia humit (o totes dues coses). q ∨p
Si avui està plovent, avui és un dia humit. q ⇒p
No és un dia humit, llavors no està plovent. ¬p ⇒¬q
Que plogui és necessari i suficient per tenir un dia humit. p ⇔q
1.2 TAUTOLOGIA I CONTRADICCIÓ
Tautologia: Proposició que té “1” en tots els valors de veritat, és a dir, sempre és certa
independentment de la veritat o falsedat de les proposicions que la integren.
Contradicció: Proposició que té “0” en tots els valors de veritat, és a dir, sempre és
falsa independentment de la veritat o falsedat de les proposicions que la integren.
Exemples de tautologies:
¬ (¬ p )⇔ p(doble negació) p ∧ q⇔q∧ p(commutativitat) p ∨ q⇔q∨ p(commutativitat) p ∧ (q ∧r)⇔(p∧q)∧ r(associativitat) p ∨ (q ∨r)⇔(p∨q)∨ r(associativitat) p ∧ ( q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r )(distributivitat) p ∨ ( q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r )(distributivitat) ¬ ( p ∧q)⇔¬p∨¬ q(llei De Morgan) ¬ ( p ∨q)⇔¬p∧¬ q(llei De Morgan) p ⇒ q⇔¬p∨q, ¬(p⇒q)⇔p∧¬ q(equivalència lògica) p ⇒ q⇔¬q⇒¬ p(contrarecíproc)
1.3 QUANTIFICADORS
Universal: ∀ ∀xP(x)equival a dir “per a tot x, es verifica P(x)”
Existencial: ∃ ∃xP(x)equival a dir “existeix almenys x que verifica P(x)”
Negació de quantificadors:
xPx x P x
xP x x P x ¬∃ ⇔∀ ¬
Exercici
Formalitzeu els enunciats següents:
Hi ha anarquistes que són amics de tots els conservadors ∃x A( x)∧∀yC(x)⇒M(x,y )
Hi ha anarquistes que són amics d’algun conservador però no de tots.
∃x A( x)∧∃yC(x)⇒M(x,y)∧∃yC(x)⇒¬M(x,y )
Els conservadors no tenen amics anarquistes ∀x C( x)∧∀yA(x)⇒¬M(x,y )
Hi ha anarquistes que no tenen cap amic ni conservador ni anarquista. ∃x A( x)∧∀yC(x)⇒¬M(x,y)∧∀yA(x)⇒¬M(x,y )
3.2 CARDINAL
Si A té un número finit d’elements (n ∈ ℤ), direm que el cardinal de A es aquest
número.
A = n
En un altre cas, direm que A es infinit.
Teorema 3.2.
A =n⇒P( A)= 2 n
3.3 PRODUCTE CARTESIÀ
Parell ordenat: És una llista ordenada de dos elements (a,b)
Producte cartesià: És el conjunt format per els parells ordenats (a,b) on a ∈ A i b ∈ B. A ×B={( a,b)| a∈A∧b∈B }
Teorema 3.3.
Si a = ni b = m, llavors A ×B=n⋅m
3.4 PARTS D’UN CONJUNT
- ASPECTES COMBINATORIS EN CONJUNTS
k
n (^) És el número de subconjunts de k elements que poden tenir un conjunt de n elements.
, n k k
n k
n C (^) n k − ⋅
k k
n n k
n n Pk ⎟⎟⋅ ⎠
- APLICACIONS AMB FUNCIONS
Aplicació: És una llei que assigna a cada element del conjunt de partida un únic
element en el conjunt d’arribada. f ésaplicació⇔∀x, y∈A,x≠y⇒ f(x)≠f(y )
Exemple:
¿Quantes aplicacions es poden obtenir per un domini de 4 elements y un recorregut de
5 elements?
4 5 = 1024
En general, si A = n, B =m,f :A→Bel número d’aplicacions possibles serà nm
5.1 APLICACIONS INJECTIVES
f es injectiva si a cada element del conjunt d’arribada, li correspon només un element
en el conjunt de partida. f ésinjectiva⇔ ∀x,y∈A,f(x)=f(y)⇒x= y
Cardinalitat de les aplicacions injectives:
n Pk n≤m A=nB=^ m
5.2 APLICACIONS EXHAUSTIVES
f es exhaustiva si f (A)=B
5.3 APLICACIONS BIJECTIVES
f es bijectiva sif es injectiva i exhaustiva.
Cardinalitat de les aplicacions injectives:
! 0!
m
m m m
m A B m m Pm = = −
5.4 APLICACIÓ RECIPROCA O INVERSA
Siguif una aplicació (o funció) tal que ∀x ∈Domf , ∃y | f(x)=y, llavorsf-1^ denota
l’aplicació reciproca o inversa i es tal que x =f−^1 (y)
5.5 FUNCIÓ PART ENTERA
5.6 COMPOSICIÓ DE FUNCIONS
- ARITMÈTICA (NÚMEROS ENTERS)
6.1 PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES
6.2 PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES
- DIVISIBILITAT
