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Primera ley de Kepler: ley de las órbitas
La primera ley, conocida como ley de las órbitas, acaba con la idea, mantenida también por Copernico, de que las órbitas debían ser circulares.
Los planetas giran alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se sitúa en uno de los focos de la elipse.
Primera Ley de Kepler
La primera ley de Kepler establece que todos los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo una trayectoria elíptica.
La excentricidad e de una elipse es una medida de lo alejado que se encuentran los focos del centro. Su valor viene dado por:
e =1− b 2 a 2 −−−−−−√
Pues bien, la mayoría de las órbitas planetarias tienen un valor muy pequeño de excentricidad, es decir e ≈ 0. Esto significa que, a nivel práctico, pueden considerarse círculos descentrados.
Experimenta y Aprende Datos a = 8.00 | b = 6. Excentricidad de una elipse La figura muestra una elipse con el semieje mayor horizontal (a) y el semieje menor vertical (b). Puedes arrastrar el valor de su excentricidad y al hacerlo cambiarás el valor de la longitud de sus semiejes a y b. De igual forma puedes mover el punto origen O (x 0 , y (^) 0). Observa como a medida que la excentricidad se aproxima a 0, la longitud de a se
iguala a la de b, obteniendo poco a poco una circunferencia.
Por esta razón podemos considerar la circunferencia como un caso particular de la elipse en el que los semejes mayor y menor coinciden a = b.
Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas
La segunda ley, conocida como ley de las áreas, nos da información sobre la velocidad a la que se desplaza el
planeta.
La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
Para que esto se cumpla, la velocidad del planeta debe aumentar a medida que se acerque al Sol. Esto sugiere la presencia de una fuerza que permite al Sol atraer los planetas, tal y como descubrió Newton años más tarde.
Segunda Ley de Kepler Suponiendo que el tiempo que se tarda en recorrer un espacio S 1 , S 2 y S 3 es el mismo, las áreas A 1 , A 2 y A 3 también serán iguales. Esto se debe a que a medida que disminuye la distancia al Sol, la velocidad aumenta (v 1 < v 2 < v 3 )
Velocidad areolar
Se define la velocidad areolar v (^) A como el área barrida por el vector de posición de un cuerpo por unidad de tiempo. Según la segunda ley de Kepler, v (^) A es constante. Por tanto:
vA = dAdt =cte
En un instante , es decir, un diferencial de tiempo dt , el planeta se desplaza dr →= v →⋅ dt. Ya que se trata de un
diferencial podemos considerar que dr → es una línea recta. Pues bien, los vectores r → y dr → determinan un
paralelogramo cuya área es justo el doble que dA. En la siguiente imagen puedes observar el área correspondiente a dA , que supone la mitad de la del hipotético paralelogramo.
Estudio de un diferencial del área Recuerda que el módulo del producto vectorial de dos vectores es justamente el área del paralelogramo que forman. Así, nos queda:
v A = dAdt =12⋅∣∣ r →× dr →∣∣ dt = [1] 12 ⋅∣∣ r →× v →∣∣= [2] 12 ⋅ r ⋅ v ⋅sin( θ )=cte [1] v →= dr → dt [2] ∣∣ r →× v →∣∣= r ⋅ v ⋅sin( θ ) La segunda ley de Kepler establece que la velocidad areolar vA permanece constante a lo largo del recorrido del planeta. Por ello, dados dos puntos de la trayectoria cualesquiera, nos queda:
r 1 ⋅ v 1 ⋅sin( θ 1 )= r 2 ⋅ v 2 ⋅sin( θ 2 ) Donde:
- r : Distancia media al Sol. Por las propiedades de la elipse se cumple que su valor coincide con el del semieje mayor de la elipse, a. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m ) Observa que como consecuencia de esta ley, los planetas se mueven tanto más despacio cuanto mayor es su órbita. El valor concreto de la constante k será estudiado cuando hayamos introducido la ley de la gravedad formalmente. De momento si que señalaremos que su valor es el mismo para todos aquellos cuerpos que giran en torno a uno determinado. Así, por ejemplo, los planetas del Sistema Solar comparten el valor de k al girar todos ellos alrededor del Sol. También los satélites de un planeta compartirán un valor de k entre ellos.
Es por ello que, en ocasiones, esta ley se presenta de acuerdo a la siguiente expresión:
T 12 T 22 = r 13 r 23 = a 13 a 23
Donde los subíndices 1 y 2 indican los periodos ( T ) , distancias medias ( r ) y longitud del semieje mayor ( a = r ) de las órbitas de dos cuerpos que giran en torno a uno común, por ejemplo, dos planetas cualesquiera alrededor del Sol. Finalmente, calcular la longitud de la elipse requiere de herramientas matemáticas que están fuera del alcance de este nivel. Sin embargo, para valores de excentricidad pequeños ( e ≈ 0 ), su longitud viene a ser aproximadamente igual a la de un círculo que tuviese como radio el radio medio de la elipse asociada, es decir, el semeje mayor a. Tal y como dijimos cuando hablamos de la primera ley, las órbitas de los planetas, al tener una excentricidad pequeña, se pueden considerar círculos descentrados.
Valor del radio medio de una elipse La distancia media r de un planeta al foco de su órbita (ocupado por el Sol) coincide con la longitud del semieje mayor a de la elipse. Consideraremos este valor a la hora de determinar la longitud de la elipse cuando esta tenga una excentricidad pequeña. Así, en la figura, podríamos aproximar la longitud de la elipse, en verde, por la del círculo en rojo siendo Lelipse ≅^ L^ circunf. = 2·π·r=2·π·a.
¿Cuándo se pueden usar las leyes de Kepler?
Kepler dedujo estas tres leyes a partir de la observación del movimiento de los planetas alrededor del Sol, y por ello, a lo largo de este apartado hemos enunciado las leyes en relación al Sol y a los planetas. Sin embargo, gracias a ellas podemos estudiar también:
- El movimiento de cualquier cuerpo que orbite alrededor del Sol:
- planetas
- asteroides
- cometas
- Satélites orbitando alrededor de planetas
