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CINEMÁTICA ( κινεω )
La cinemática (del griego κινεω , kineo , movimiento)
1 *
[1] es la rama de la física que estudia el
movimiento de las partículas sin considerar las causas que lo originan ni las posibles aplicaciones
de una partícula en movimiento; se limita, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función
del tiempo; es decir, describe geométricamente el movimiento sin atender a sus causas y efectos
[2-6].
HISTORIA
Como se comentó en la introducción, la historia del movimiento, se inicia en los albores de la
humanidad, pues en la naturaleza el movimiento y el cambio son elementos cotidianos y marcan
el transcurso del tiempo. El interés en la astrología, la astronomía y el seguimiento del movimiento
de los astros, debido a la influencia en los ciclos agrícolas, las estaciones y los desplazamientos
hacia tierras desconocidas. Los movimientos de los astros son los primeros descritos por medio
de algún tipo de relación; de dicha época surgen los primeros modelos del universo; por ejemplo,
Tales propuso una tierra inmóvil y rodeada por los astros; Anaximandro describió el movimiento
regular de las estrellas.
Aristóteles, propuso la idea del movimiento real, el mundo sensible que se experimenta a través
de los sentidos; se puede resumir su cosmología: idea del orden, un conjunto armónico, todo con
un lugar y una función definida; coloquialmente “ un lugar en cada cosa, cada cosa en su lugar ”;
defiende el estudio del movimiento como algo regido por el sentido común. La idea de movimiento
de Aristóteles, está unido al concepto de cambio; define los movimientos naturales y violentos;
[1]
1
http://etimologias.dechile.net/?cinema.tica
[2] Alonso M., Finn E. Física. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. E.U.A.
[3] Feynman R., Leighton R. Sands M. Lecturas de Física. Addisoln- Wesley. E.U.A. 1963
[4] Resnick R., Halliday D., Krane K. Física Vol. I. 5ª edición C.E.C.S.A.México. 1996.
[5] Sears F. Zemansky M. Young H. Freedman R Física Universitaria 11a Ed. Addison-Wesley EUA. 2004
[6] Serway R. Beichner R. Física. Tomo I. 5ª Edición. McGraw-Hill. México.2000.
[7] Cosmos: A Personal Voyage. Director: Carl Sagan, Ann Druyan, Steven Soter. Public Broadcasting Service
(EEUU) (1980).
[8] Cosmos: A Spacetime Odyssey. Director: Ann Druyan, Steven Soter. Presentador: Neil deGrasse Tyson.
Cosmos Studios (2014)
[9] The Mechanical Universe...and Beyond. Cap2. “La ley de la caída de los cuerpos” Dir Dr. James F. Blinn
Prod. ejecutivos California Institute of Technology e Intelecom, Inc. 1985
habla del movimiento circular perfecto como algo que se acerca a la perfección, el movimiento
lineal como la acción que hace un cuerpo para llegar a su lugar natural.
Entre los científicos que hacen aportes a esta rama de la física se pueden mencionar algunos:
Leonardo da Vinci, en el siglo XV, posteriormente, de Giordano Bruno ( ímpetus , movimiento
relativo), Nicolás Copérnico, Tycho Brahe y Johannes Kepler [7- 8 ] hacen aportes asociados a la
astronomía.
Hacia el siglo XVII, Galileo Galilei inicia sus estudios acerca de la caída libre y movimientos sobre
planos [7-9], influenciado por el libro “Geometría del movimiento”, escrito por Evangelista
Torricelli [7-8]. Isaac Newton [ 7 - 8] , D’Alembert y Euler, entre otros.
Pierre de Varignon (1700) propone ante la Real Academia de París, el concepto de aceleración
a partir del concepto de velocidad instantánea, utilizando el cálculo diferencial. Finalmente, es
André Marie Ampere quien acuña el término de cinemática y estudia el movimiento de manera
independiente del concepto de fuerza [7-8].
Históricamente es necesario recalcar, que el concepto de espacio y tiempo se han manejado de
manera independiente (Espacios euclidianos) [3].
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS
Los conceptos de espacio y tiempo son conceptos primitivos y en cierta manera intuitivos; su
definición sólo es posible a través de la experimentación: uno puede decir que el espacio es lo
que miden las reglas y el tiempo se mide con los relojes; sin embargo, no es posible dar una
definición directa. Esta unión del espacio tiempo, es el marco en el cual se observa y describe el
movimiento de las partículas; estos parámetros son totalmente independientes, sus medidas se
realizan de manera separada; sin embargo, están estrechamente relacionados.
En este marco, el tiempo fluye de manera continua en una única dirección, es el mismo para
todos los observadores, independiente del movimiento que desarrollen; esto es válido siempre y
cuando se ignoren los efectos relativistas o se esté describiendo a escala macroscópica.
Se puede afirmar desde el punto de vista matemático, que el espacio euclidiano:
cada uno de ellos se utiliza como punto
de referencia. Teniendo en cuenta lo
anterior es que se afirma que no existe
el movimiento absoluto.
Partícula : modelo matemático, punto
geométrico sin dimensiones ni propiedades físicas, ni estructura interna;
Es la versión más simplista para el análisis del movimiento de los cuerpos y es válida bajo
consideraciones físicas específicas.
Causas: La razón por la cual la partícula inicia el movimiento, o lo detiene, es decir, en cinemática
no analizaremos el por qué se mueven las partículas o dejan de moverse, solo describiremos el
movimiento.
Efectos: consecuencias del movimiento, lo que se puede hacer con el movimiento. Cuando
hablamos de los efectos del movimiento, se refiere a que una partícula en movimiento puede
generar muchas situaciones diferentes cuando interactúa con otras, por ejemplo, en una colisión.
Tipos de movimiento. Desde el punto de vista de la cinemática, se distinguen dos clases de
movimiento: rotación de la partícula alrededor de un eje fijo (trayectoria circular) y traslación de
la partícula. La rotación de la partícula sobre un eje que pase por sí misma, no es considerada,
pues la partícula no tiene volumen.
CONCEPTOS IMPORTANTES
Para la descripción del movimiento de una partícula, es necesario definir algunos términos de
vital importancia [ 2 - 6,11]
**2 ***
. Como se comentó previamente, para definir el movimiento, es
necesario tener un sistema de referencia, con respecto al cual se describe el movimiento de la
partícula.
2
[11] The Mechanical Universe...and Beyond. Cap 5. “Vectores” (Introducción a la mecánica del universo) Dir Dr.
James F. Blinn Prod. ejecutivos California Institute of Technology e Intelecom, Inc. 1985
Vector posición 𝑟(𝑡): Consideremos una
partícula que se mueve sobre una trayectoria
arbitraria (línea verde). En el instante t (s), la
partícula se encuentra, con respecto al sistema
de referencia (X,Y,Z), en la posición dada por el
vector 𝑟(𝑡), que tiene origen en el origen del
sistema de coordenadas y cabeza en la
posición de la partícula. Si tenemos en cuenta
lo que se discutió sobre vectores, podemos
escribir:
[𝑚];
Las unidades del vector posición es el metro [m].
Si analizamos la expresión para el vector posición, vemos que cada una de las componentes
vectoriales puede variar en el tiempo, esto permite plantear que la posición en el espacio
tridimensional puede ser analizado como compuesto por la posición cada uno de los ejes
coordenados y si la posición varía en el tiempo, así mismo lo harán sus componentes, es decir,
podemos escribir:
Esta última expresión nos permite plantear que un movimiento en el espacio tridimensional se
puede reducir a movimiento lineales, uno en cada eje coordenado.
Como es un vector, se puede operar siguiendo todos los procedimientos y operaciones
vectoriales del capítulo anterior
Supongamos que tenemos una partícula cuyo vector posición varía con el tiempo como lo
muestra el vector 𝑟(𝑡): 𝑟(𝑡) = 2 𝑡
2
2
[𝑚]
De acuerdo a lo planteado anteriormente, tenemos:
2
; y
2
Para denotar la posición de la partícula en un instante de tiempo dado 𝑡
1
= 3 (𝑠), se denota:
1
1
1
1
[
]
Un concepto corriente cuando se habla de movimiento es el de trayectoria, la cual se define como:
Sucesión de puntos generados por la evolución temporal del vector posición. Lugar geométrico
que se forma por las sucesivas posiciones de la partícula. Es adimensional. Coloquialmente, es
la figura que “pinta” la partícula mientras se mueve; también se conoce como traza.
En un sistema R
3
, es una función, independiente del tiempo: 𝑓
= 0 ; bidimensionalmente,
plano XY, se puede escribir 𝑦 = 𝑓(𝑥), donde no hay dependencia directa con el tiempo, está
relacionado con las ecuaciones paramétricas de la partícula.
Una trayectoria rectilínea es una partícula que al desplazarse “dibuja” una línea recta, sin tener
importancia en qué dirección se desplace. Una trayectoria circular significa que la partícula, en
su movimiento traza una circunferencia, sobre un plano arbitrario, centrada sobre un eje externo
al cuerpo. Una trayectoria arbitraria significa que la partícula puede trazar cualquier forma durante
su movimiento en el espacio tridimensional.
Ecuaciones paramétricas Tema Complementario
Se usan para describir matemáticamente la trayectoria de la partícula; por facilidad matemática
se suele trabajar en movimientos en dos dimensiones [2], donde el vector posición:
𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ es función del tiempo. En ese caso, el tiempo se denomina parámetro. En la
notación escalar de la ecuación vectorial de posición, para una partícula que se mueve sobre un
plano (X,Y), se tienen las magnitudes de las componentes:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 {𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡)
Para determinar la ecuación que describe la trayectoria de la partícula se debe eliminar el
parámetro tiempo del sistema de ecuaciones; expresando y=y(x)
Vector Velocidad : Razón (cociente) entre el desplazamiento (∆𝑟
) realizado y el intervalo de
tiempo (t) durante el cual se hizo dicho desplazamiento. Por definición, la velocidad es un vector
cuya dirección y sentido coincide con el vector desplazamiento y tiene unidades: [L/T] = [m/s].
Dependiendo del tamaño del intervalo de observación o medición, se acostumbra a utilizar dos
conceptos de velocidad.
Consideremos una partícula que se mueve sobre una trayectoria arbitraria en un espacio
tridimensional. Si para el instante t 1
la partícula se encuentra en la posición dada por 𝑟
1
⃗⃗⃗⃗⃗ (
) y un
intervalo de tiempo posterior (t), la posición es 𝑟
2
⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑡), entonces, definimos:
Velocidad media 𝑣 (𝑡)
̅̅̅̅̅̅̅
: Cuando el intervalo de observación es grande y consecuentemente, el
desplazamiento es grande.
̅̅̅̅̅̅̅
2
⃗⃗⃗⃗⃗
1
⃗⃗⃗⃗⃗
̅̅̅̅̅
̂
̅̅̅̅̅
̂
̅̅̅̅̅
̂
[
]
Las unidades son de longitud sobre tiempo [
𝐿
𝑇
] = [
𝑚
𝑠
]. Este
parámetro es función del desplazamiento neto de la partícula
durante el intervalo de tiempo evaluado; depende de dos
posiciones de la partícula. Coincide en dirección y sentido con
el vector desplazamiento (vector de color naranja). Da información global del movimiento, es
decir, como depende solo de las posiciones final e inicial (desplazamiento) y el intervalo de tiempo
es “grande”, no permite establecer que sucede en las posiciones intermedia y por lo tanto es
imposible reconstruir o tener idea de la trayectoria seguida por la partícula.
se realizan en intervalos de tiempo “pequeños” es de esperarse que el desplazamiento sea
“pequeño” y de esa manera, la velocidad instantánea se obtiene cunado hacemos que el intervalo
de tiempo transcurrido entre dos observaciones consecutivas tienda a cero o sea tan pequeño
como se desee, es decir;
𝑣 ⃗⃗⃗ (𝑡) = lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
[
2
1
2
1
] =
La gráfica muestra una partícula que se mueve sobre una trayectoria arbitraria (línea verde) en
el espacio tridimensional (x, y, z). Si consideramos un intervalo de tiempo t, la partícula se habrá
desplazado ∆𝑟
(línea morada). Si t se hace cada vez más pequeño, el ∆𝑟
se hace más pequeño
y en el límite, cuando el t tienda a “cero”, el desplazamiento y consecuentemente, la velocidad
𝑣(𝑡) tiende a ser tangente a la trayectoria ( recuerde la definición de la derivada, la cual es la
recta tangente a la función, en el punto considerado). De acuerdo a lo anterior, la velocidad
Vector Aceleración: Razón entre el cambio del vector velocidad y el intervalo de tiempo en el
que ocurrió dicho cambio. La dirección y el sentido del vector está determinado por el cambio en
el vector velocidad, es decir, tiene la misma dirección y sentido que ∆𝑣
En forma similar a lo que se hizo con el vector velocidad, dependiendo del tamaño del intervalo
de observación t, podemos definir una aceleración media (para intervalos de tiempo grandes) y
una aceleración instantánea (para t 0)
Consideremos una partícula que se mueve sobre una trayectoria arbitraria en un espacio
tridimensional. Si para el instante t 1 la partícula se encuentra en la posición dada por 𝑟
1
⃗⃗⃗⃗⃗ (
) y tiene
velocidad 𝑣
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
y un intervalo de tiempo posterior (t), la posición es 𝑟
2
⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
, y su velocidad es
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑡), entonces, definimos:
Aceleración media : Cuando el intervalo de tiempo t es “grande” y por consiguiente, el cambio
en el vector velocidad también lo es, podemos
escribir:
2
1
2
1
[
2
]
Como se ve en la gráfica, el ∆𝑣
y consecuentemente,
el vector 𝑎 (color naranja) apuntan hacia la
concavidad de la trayectoria.
Si hacemos matemática, podemos escribir:
𝑥
𝑦
𝑥
[
2
]
Aceleración instantánea : Se define como el cambio del vector velocidad en un intervalo de
tiempo infinitesimal. Hay que tener en cuenta que la velocidad es un vector y por lo tanto puede
cambiar en magnitud o en dirección. La aceleración es un vector que siempre apunta hacia
el interior de la trayectoria (concavidad)
= lim
∆𝑡 → 0
[
2
]
Si hacemos matemática:
𝑥
𝑦
𝑧
[
2
]
𝑥
𝑦
𝑧
[
2
]
2
2
2
2
2
2
2
2
[
2
]
Siendo su magnitud
|
⃗⃗⃗ |
√
(
𝑥
)
2
(
𝑦
)
2
𝑧
)
2
√ (
𝑥
)
2
(
𝑦
)
2
(
𝑧
)
2
[
2
]
En resumen: si
[
]
2
1
2
1
2
1
[𝐿]
𝑑𝑟 (𝑡)
𝑑𝑡
[
𝐿
𝑇
] |
⃗⃗⃗
|
√ (
𝑥
)
2
(
𝑦
)
2
(
𝑧
)
2
[
𝐿
𝑇
]
𝑑𝑣⃗
( 𝑡
)
𝑑𝑡
[
𝐿
𝑇
2
] |𝑎
⃗⃗⃗
√
𝑥
)
2
𝑦
)
2
𝑧
)
2
[
𝐿
𝑇
2
]
Estos son los conceptos básicos sobre los que se desarrolla toda la teoría de la cinemática y de
la Física en general. Se debe tener en cuenta que son conceptos vectoriales y como tal deben
ser tratados durante todo el desarrollo y por lo tanto, se debe aplicar todo lo planteado en el
capítulo de vectores.
considerado, entonces se tiene que la trayectoria
será una línea recta cuya ecuación será del tipo:
0
0
0
Esto puede ser demostrado matemáticamente, así:
0
separando variables,
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
integrando, teniendo en cuenta las condiciones iniciales,
es decir, que para cuando t= t 0 entonces 𝑟 = 𝑟 0
, es decir:
⃗⃗
𝑟
⃗⃗
𝑟
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡
𝑡
0
realizando la integral, teniendo en cuenta que 𝑣
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, se obtiene:
0
0
0
En resumen :
0
0
0
0
Este movimiento se denomina: MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
Quizás usted está más familiarizado con esta otra ecuación: si t 0
= 0 y 𝑟
0
, entonces se tiene que;
0
𝑡 o 𝑣
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡
Recuerde que este movimiento rectilíneo en el espacio tridimensional, puede ser descompuesto
en tres movimientos, uno sobre cada eje, todos rectilíneos, como se muestra a continuación.
Se puede obtener una simplificación si consideramos que la partícula se mueve sobre uno de los
ejes, digamos el eje x, y que en el instante t 0 su posición inicial es x 0. Esto es equivalente a decir
que rotamos el sistema de coordenadas de tal forma que el eje x coincida con la dirección de
movimiento.
En la gráfica, se han eliminado las sagitas de los vectores, pues al ser un movimiento en el eje x,
el vector asociado será el vector unitario 𝑖 ̂.
2.- Si la partícula que se mueve con aceleración constante distinta de cero
Si una partícula se mueve con 𝑎 = 𝑎 0
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, que no sea nula, significa que ese parámetro
es independiente del tiempo, y que no puede sufrir cambios ni de magnitud ni de dirección[1-7]
3 *
En ese caso, se puede reescribir: 𝑎 =
𝑑𝑣⃗
( 𝑡
)
𝑑𝑡
0
Separando variables:
0
Integrando
⃗⃗⃗
𝑣
⃗⃗⃗
𝑣
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡
𝑡 0
0
0
0
Si despejamos, teniendo que 𝑣 0
⃗⃗⃗⃗⃗ es constante, pues corresponde a la velocidad inicial o velocidad
de la partícula en el instante t 0
0
0
0
● Recuerde que la velocidad es un vector y que en coordenadas cartesianas se escribiría
una ecuación para cada eje coordenado:
𝑥
0 𝑥
0 𝑥
0
𝑦
0 𝑦
0 𝑦
0
𝑧
0 𝑧
0 𝑧
0
● Si hacemos t 0
= 0 y hacemos algo de álgebra, se obtiene:
0
0
3
[5] Serway R. Beichner R. Física. Tomo I. 5ª Edición. McGraw-Hill. México.
[7] GIANCOLI, D.C.; “Física para las ciencias e ingeniería” (2 Tomos) Addison-Wesley
[8] The Mechanical Universe...and Beyond. Cap 2. “La ley de la caída de los cuerpos” Dir Dr. James F. Blinn Prod.
ejecutivos California Institute of Technology e Intelecom, Inc. 1985
0
𝑡
𝑡
0
𝑡−𝑡
0
0
2
0
𝑡−𝑡
0
0
2
Así que:
0
0
0
1
2
0
0
2
Si despejamos;
0
0
0
0
0
2
● Recuerde que esta es una ecuación vectorial y en coordenadas cartesianas se pueden
escribir tres ecuaciones similares, una para cada eje cartesiano.
0
0 𝑥
0
𝑜𝑥
0
2
0
0 𝑦
0
𝑜𝑦
0
2
0
0 𝑧
0
𝑜𝑧
0
2
● Si hacemos t 0
= 0, la ecuación se puede simplificar:
0
0
0
2
Es decir, la posición de la partícula varía cuadráticamente con el tiempo.
● Podemos obtener otra ecuación adicional, si utilizamos la ecuación para la velocidad y la
ecuación para la posición y con ellas eliminamos el parámetro tiempo. Para hacer esto
trabajamos con cada una de las componentes cartesianas y como todas tienen la misma
estructura, lo que se haga con una de ellas es exactamente igual para las otras dos
componentes. Consideremos la componente z, así que tenemos:
𝑧
0 𝑧
0 𝑧
0
0
0 𝑧
0
𝑜𝑧
0
2
De la primera ecuación: (𝑡 − 𝑡
0
𝑣
𝑧
−𝑣
0 𝑧
𝑎
0 𝑧
Sustituyendo en la segunda: 𝑧 = 𝑧
0
0 𝑧
𝑣
𝑧
−𝑣
0 𝑧
𝑎
0 𝑧
1
2
𝑜𝑧
𝑣
𝑧
−𝑣
0 𝑧
𝑎
0 𝑧
2
Si se hace álgebra, se obtiene: 𝑣
𝑧
2
𝑜𝑧
2
0 𝑧
0
Las otras dos componentes se escriben: 𝑣
𝑥
2
𝑜𝑥
2
0 𝑥
0
𝑦
2
𝑜𝑦
2
0 𝑦
0
Estas tres ecuaciones se pueden escribir en forma vectorial así:
2
0
2
En resumen, para un movimiento tal que tiene aceleración constante, de denomina MOVIMIENTO
UNIFORMEMENTE ACELERADO y las ecuaciones que describen el movimiento son:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3.- Si la partícula que se mueve con aceleración variable dependiente del tiempo
Si la partícula se mueve de tal forma que se conoce la forma específica en que varía la aceleración
a medida que transcurre el tiempo, es decir, se conoce 𝑎 = 𝑎(𝑡) (la cual puede ser una función
cualquiera arbitraria), y se desean conocer las otras dos ecuaciones, 𝑣 = 𝑣 (𝑡) y 𝑟 = 𝑟(𝑡).
Para solucionar este tipo de ejercicios, se hace uso de los conceptos iniciales, es decir,
● Si 𝑎 = 𝑎
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
, entonces separando variables se puede obtener la ecuación diferencial:
Por lo tanto, si se integra (tener en cuenta las condiciones iniciales), se tiene:
⃗⃗
𝑣⃗⃗
𝑣
0
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡
0
Si se integra, se obtiene una expresión para la velocidad como función del tiempo, es decir,
● Como conocemos la expresión de 𝑣 = 𝑣
, hacemos uso de la definición de velocidad y:
Separando variables, se tiene:
Por lo tanto, si se integra (tener en cuenta las condiciones iniciales), se tiene:
∫ 𝑑𝑟
⃗⃗
𝑟
⃗⃗
𝑟
0
⃗⃗⃗⃗⃗
∫ 𝑣
⃗⃗ (𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡
0
Si se integra, se obtiene una expresión para la posición como función del tiempo, es decir,
4.- Si la partícula que se mueve con aceleración variable dependiente de la posición
Si la aceleración es función de la posición, por simplicidad, supongamos que está expresada en
función de uno de los ejes coordenados, es decir, se tiene que 𝑎 = 𝑎(𝑥). No utilizamos la notación
vectorial, pues el vector asociado para todas las ecuaciones será el vector unitario 𝑖̂.
En este caso, se hace uso de la definición de la aceleración y de la regla de la cadena para las
derivadas.
𝑥
𝑥
Pero (dx/dt) = v x
, asi que se puede escribir:
0
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑖
̂
̂
) [
2
]
Esto implica que si utilizamos las otras ecuaciones para este movimiento:
0
0
0
0
0
0
0
0
2
Si observamos la situación planteada, se puede ver que t 0
= 0 [s], que corresponde al instante en
el cual se realiza el lanzamiento y como el lanzamiento se hace desde el origen de coordenadas,
entonces la posición inicial es 𝑟 0
⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗⃗
y la ecuaciones anteriores se reducen a:
0
0
0
0
2
Se debe tener en cuenta que estas son ecuaciones vectoriales, se trabaja en dos dimensiones y
por lo tanto se pueden escribir ecuaciones similares y adaptadas para cada eje de coordenadas.
Por ejemplo:
Eje x Eje y
Unidades
𝑥
𝑦
= −𝑔 [m/s
2
]
𝑥
0 𝑥
0
𝑦
0 𝑦
2
0
𝜃 − 𝑔𝑡 [m/s]
0 𝑥
0
0 𝑦
1
2
2
0
1
2
2
[m]
A partir de estas ecuaciones, podemos responder una serie de cuestiones que son de interés:
a.- ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por la partícula?
El punto de altura máxima se alcanza cuando la partícula no puede seguir su camino de ascenso,
es decir, la componente de la velocidad en el eje y es cero , 𝑣 𝑦
= 0 en la ecuación(4), así que por
álgebra, despejando el tiempo, se tiene:
𝑠
0
[𝑠]
Se ha agregado el subíndice s para indicar que este tiempo corresponde al tiempo que partícula
asciende, es decir, es el tiempo de subida.
Si el tiempo en la ecuación (6) se hace igual al tiempo se subida, se obtiene el valor de y para
ese instante, es decir, la máxima altura de la partícula. Si se hace el álgebra del caso, se llega a
la ecuación:
𝑀𝑎𝑥
0
2
2
[𝑚]
Si se observa la última ecuación, se puede concluir que como v 0
y g son constantes para un
lanzamiento dado, entonces, la máxima altura posible en el lanzamiento, se tiene cuando:
2
𝜃 = 1 lo cual implica que = (/2) o 90. Por lo tanto, para un lanzamiento dado, si se desea
alcanzar la máxima altura posible, el lanzamiento se debe hacer totalmente vertical y por lo tanto
la partícula ascenderá y descenderá y caerá exactamente en el mismo punto de lanzamiento.
b) ¿Cuál será el alcance máximo de la partícula?
Si se observa la figura, la condición para medir el alcance de la partícula (distancia horizontal total
recorrida por la partícula) es que ésta retorne al suelo o punto de referencia del cual se lanzó. Por
lo tanto, la condición se da cuando en la ecuación (6) y=0. Es decir:
0
2
Como esta es una ecuación de segundo grado, tiene dos raíces, las cuales son:
● t=0 [s], corresponde al instante de lanzamiento
𝑣
2 𝑣
0
𝑠𝑒𝑛
𝑔
[𝑠], se utilizó el subíndice v para indicar que este tiempo es el tiempo de vuelo,
es decir, el tiempo que dura la partícula en su vuelo por el “aire”.
Si se reemplaza el tiempo de vuelo tv en la ecuación (5) entonces se tendrá el recorrido horizontal
que tiene la partícula. Es decir:
𝑀𝑎𝑥
0
2
[𝑚]
Nota: se debe hacer uso de la identidad trigonométrica:
Si se analiza la ecuación de alcance máximo, para un lanzamiento dado, es decir, v 0
y g,
constantes, el alcance será el máximo posible si la función trigonométrica toma el valor de 1, es
decir, si sen(2) = 1 o equivalentemente, = (/4) o 45. Un lanzador de bala o disco, debe
entrenarse para que su lanzamiento sea con ángulo de tiro cercano a los 45.
c) ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria de la partícula?
Las ecuaciones (5) y (6) son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y por lo tanto solo se
debe eliminar el parámetro t en estas ecuaciones, es decir:
0
0
1
2
2
De (5) se tiene: 𝑡 =
𝑥
𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃
Sustituyendo en (6) y reduciendo términos, se tiene:
0
2
2
2
Las expresiones entre paréntesis son constantes para un lanzamiento dado, es decir, la ecuación
general tiene la forma:
2
