RESUMENES DE MATEMATICA PREU, Resúmenes de Matemáticas

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ALGEBRA SUPERIORALGEBRA^ SUPERIOR^ CAPÍTULO 1D^

i^ ld dDesigualdadesM.I. ISIDRO I. LÁZAROCASTILLO

Aplicación ^ Un estudiante debe mantener un promediofi^ l^ i^ á

t^80 90%final en cinco exámenes entre 80 y 90% paratener una nota final de B y mantener unabeca universitaria Si en los primeros cuatrobeca universitaria. Si en los primeros cuatroexámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Quécalificación deberá obtener en el éxamenfinal para obtener una nota de B?

Introducción a la teoría deIntroducción^ a la teoría deConjuntos ^ La primera formulación de la teoría de conjuntosaparece con los trabajos de George Cantoraparece con los trabajos de George Cantor. ^ La teoría de conjuntos trajo claridad y precisión en laexposición de muchas teorías y áreas de lap^

y matemática, como la teoría de las probabilidades, latopología, etc.

Conjuntos ^ Es una colección bien definida de objetos dei^ ti^ A l

j^ t^ l^

d^ t un mismo tipo. A los conjuntos se les denotacon letras mayúsculas

A ,^ B , …

E i t^ 2 f^

ibi^ l^ j^ t ^ Existen 2 formas para escribir los conjuntos:F^ t b l^

d^ t^ ió

1.^ Forma tabular o de extensión.2.^ Constructiva o por compresión

Forma Tabular ^ Se escribe el conjunto listado todos susl^ telementos.Ejemplo.- El conjunto de los primeros cincoú^ t^ l^

d^ ibi números naturales se puede escribir como:A={1,2,3,4,5}

Forma constructiva ^ Para escribir un conjunto por compresión oét d^ t^

ti^ li^ l^

t método constructivo se elige un elementoarbitrario^ x^ y se señala que cumple lapropiedad^ P^ de la forma siguientepropiedad^ P , de la forma siguiente.  Esto se lee^ “A es el conjunto de todos los

A^ x p ^ ^ 

^ Esto^ se lee.-^ A es el conjunto de todos loselementos^ x^ tales que cumplen la propiedadP”P.

Cardinalidad Hay conjuntos que tienen un número finito deelementos; estos se llaman conjuntos finitos en casoelementos; estos se llaman conjuntos finitos en casocontrario se le llama conjunto infinito.El número de elementos de un conjunto finita es lo quese llama la cardinalidad de dicho conjunto. Lacardinalidad de un conjunto finito

A^ se denota por cardinalidad de un conjunto finito

A^ se denota por Card( A ).

Otros conjuntosConjunto vacío .- El conjunto vacío es aquel quecarece de elementos y se denota por { }carece de elementos y se denota por { }. Conjunto unitario^ - Un conjunto

A^ es un conjunto Conjunto^ unitario.^ Un conjunto

A^ es un conjunto unitario si tiene solo un elemento. Conjunto universal .- En cualquier aplicación de lateoría de conjuntos, los elementos de todos losconjuntos pertenecen usualmente a un granconjuntos pertenecen usualmente a un granconjunto fijo llamado conjunto universal y se denotapor^ U.

Ejemplo.- Sean los conjuntos y establecer algunasrelaciones de subconjuntos entre ellosrelaciones de subconjuntos entre ellos.^ A ={1,2,3} B ={2 3 1} B^ {2,3,1} C ={1,2,3,4,5,6} D ={ es entero positivo}Solución.- Escribiendo

D^ en forma tabular D ={1,2,3,4,…}Así A=B^ A^ B^ A^ ^ ^ ^ C^ B^ C^ C^ D

Números naturales enterosNúmeros^ naturales, enteros,racionales, irracionales y reales ^ El conjunto de los números reales esta formado porvarios conjuntos de números en particular losvarios conjuntos de números, en particular, losnúmeros reales se representan por símbolos como.-2,0,-5, , , 0.125, , , , 0.6666…., ,^ , , ,^

, , , ,

-^ Un número racional es aquel que se puede expresarcomo la razón de dos enteros de la forma a/b, dondea y b son enteros y b 0a y b son enteros y b 0.^1 - Un número irracional es aquel que no se puede

4 0 3 ,^ ,^ ,^  (^2 2 1 5) Un número irracional es aquel que no se puedeexpresar como la razón de dos enteros.

Diagramas de Venn ^ Una representación gráfica de los conjuntosd^ l^ l^ i^

t^ ll^ i^ d d y de las relaciones entre ellos viene dada porlos llamados diagramas de Venn.

Intersección de Conjuntos ^ La intersección de dos conjuntos

A^ y^ B^ es el j^ t^ f^ d^ t d

l^ l^ t conjunto formado por todos los elementoscomunes a los^ dos

conjuntos. La intersección de^ A^ y

B^ se denota por^

 A B^ y intersección de^ A^ y

B^ se denota por^

A^ B,^ y en notación de conjuntos se escribe como

 {^ } A B x x^ A^ x^ B  ^ ^ 

La recta numérica orden en losLa^ recta numérica orden en losreales La recta de los números reales los divide en tresclases:clases:Reales negativos - Situados a la izquierda del origenReales negativos.^ Situados a la izquierda del origen.Cero.- situado en el origenReales positivos.- situados a la derecha del origen.

Orden en los realesOrden^ en los reales ^ Sean^ a^ y^ b^ dos números reales. Si la diferencia

a - b es positiva entonces decimos que

a^ >^ b^ (a mayor de es^ positiva, entonces decimos que

a^ >^ b^ (a mayor de b).  De manera similar si^ a

• b^ es positivo, tambiénp^ , podemos decir que^ b^ es menor que

a^ y lo denotamos como^ b^ <^

a. Por lo tanto^ a^ >^ b^ y^ b^ <

a^ son proporciones ^ Por^ lo tanto^ a^ >^ b^ y^

b^ <^ a^ son^ proporcionesequivalentes.