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Série 2 : Etude de Fonctions
Tronc Commun
Série 2 : Etude de Fonctions
Exercice 1 :
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : ( ) 2
x f x x
1. Montrer que la fonction f est impaire
2. Montrer que 5 est une valeur maximale de f sur ℝ
3. a) Soient a et b deux réels distincts , montrer que :
2 2
f a f b ab
a b a b
b) En déduire la monotonie de la fonction f sur [ 0,1] et [1, +∞[
4. Donner le tableau de variation de f sur ℝ
Exercice 2 :
Soit f la fonction numérique définie par : ( )
x f x x
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f
2. Etudier la monotonie de f sur les intervalles ]−∞ ,1 [ et ]1, +∞[
3. Dresser le tableau de variation de f
4. Comparer les deux nombres :
et − −
Exercice 3 :
Soient f et g deux fonctions définies par : ( )
2
f x = x − 2 x et ( )
x g x x
1. Déterminer Dg et vérifier que pour tout x de Dg : ( )
g x x
2. Donner les tableaux de variations de f et g
3. Déterminer les points d’intersection de ( C f )et ( Cg )avec les axes du repère
4. Tracer les courbes ( C f )et ( C g )dans le même repère orthonormé ( O i , , j )
5. Déterminer algébriquement les points d’intersection de ( C f )et ( Cg )
6. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( ) x ≤ g x ( )
7. Soit h la fonction définie par : ( )
x h x x
a) Déterminer Dh
b) Montrer que la fonction h est paire
Série 2 : Etude de Fonctions
c) Vérifier que h x ( ) = g x ( )pour tout x de { 2 }
ℝ −
d) Tracer la courbe ( Ch )dans le même repère (^) ( O i , , j )
8. Soit k la fonction définie par : k x ( ) = f ( ) x
a) Tracer la courbe ( Ck )dans le même repère (^) ( O i , , j )
b) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m , le nombre de solutions de
l’équation k x ( ) = m
Exercice 4 :
Soient f et g deux fonctions définies par : ( )
2
f x = x − 2 x + 1 et ( )
x g x x
1. Déterminer Dg et vérifier que pour tout x de Dg : ( )
g x x
2. Donner les tableaux de variations de f et g
- Déterminer les points d’intersection de (^) ( C (^) f )et (^) ( Cg (^) )avec les axes du repère
- Tracer les courbes (^) ( C (^) f )et (^) ( C (^) g )dans le même repère orthonormé (^) ( O i , , j )
- Déterminer algébriquement les points d’intersection de (^) ( C (^) f )et (^) ( Cg )
6. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( ) x ≥ g x ( )
7. Soit h la fonction définie par : ( )
x h x x
a) Déterminer Dh
b) Montrer que la fonction h est paire
c) Vérifier que h x ( ) = g x ( )pour tout x de
ℝ
d) Tracer la courbe ( Ch^ )dans le même repère (^) ( O i , , j )
8. Soit k la fonction définie par : k x ( ) = f ( ) x
a) Tracer la courbe ( Ck^ )dans le même repère (^) ( O i , , j )
b) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m , le nombre de solutions de
l’équation k x ( ) = m
Série 2 : Etude de Fonctions
Donc pour tout a et b deux réels distincts , on a :
( )( )
2 2
f a f b ab
a b (^) a b
b)
⊳ étudions la monotonie de la fonction f sur [ 0,1] :
on a : 10 > 0 et (^) ( )( )
2 2 1 + a 1 + b > 0
et on a :
a
b
Donc 0 ≤ ab ≤ 1
Donc ab − ≤ 1 0
Et puisque a ≠ b alors ab − < 1 0
D’où
f a f b
a b
Et par suite f est strictement décroissante sur [ 0,1]
⊳ étudions la monotonie de la fonction f sur [1, +∞[ :
on a : 10 > 0 et (^) ( )( )
2 2 1 + a 1 + b > 0
et on a :
a
b
Donc ab ≥ 1
Donc ab − ≥ 1 0
Et puisque a ≠ b alors ab − > 1 0
D’où
f a f b
a b
Et par suite f est strictement croissante sur [1, +∞[
4. On a f est une fonction impaire
⊳ Puisque f est strictement décroissante sur [ 0,1]^ alors f l’est aussi sur [ −1,0]
⊳ Puisque f est strictement croissante sur [1, +∞[ alors f l’est aussi sur ]−∞ ,1]
D’où, le tableau de variation de f
Série 2 : Etude de Fonctions
Corrigé de l’exercice 2 :
x f x x
D f = { x ∈ ℝ / x − 1 ≠ 0 } = { x ∈ ℝ/ x ≠ 1 } = −∞] ,1 [ ∪ ]1, +∞[
2. Soient a et b deux éléments distincts de D f , on a :
a b f a f b (^) a b
a b a b
ab a ab b
a b
a b
a b
a b a b
a b
Donc pour tout a et b deux éléments distincts de D f :
f a f b
a b a b
Sur ]−∞ ,1 [ :
On a a < 1 et b < 1
Donc a − < 1 0 et b − < 1 0
Donc
a 1 b 1
Donc
f a f b
a b
Et par suite f est strictement décroissante sur ]−∞ ,1[
Sur ]1, +∞[ :
On a a > 1 et b > 1
Donc a − > 1 0 et b − > 1 0
Donc
a 1 b 1
Donc
f a f b
a b
Et par suite f est strictement décroissante sur ]1, +∞[
3. Le tableau de variation de f :
Série 2 : Etude de Fonctions
On a :
donc
⊳ Déterminons les points d’intersection de (^) ( C (^) f )avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ l’équation : f^ ( ) x^ =^0
f ( ) x = 0 équivaut à
2 x − 2 x = 0
f ( ) x = 0 équivaut à x = 0 ou x = 2
Et par suite : (^) ( C (^) f ) ∩ ( Ox ) ={ A ( 1,0 ; ) B ( 2,0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (^) ( C (^) f )avec l’axe des ordonnées :
Calculons f ( ) 0 :
On a : f^ ( )^0 =^0
Donc (^) ( C (^) f ) ∩ ( Oy ) ={ O ( 0,0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (^) ( C (^) g )avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ −{ } 2 l’équation : g x ( ) = 0
g x ( ) = 0 équivaut à 0
x
x
g x ( ) = 0 équivaut à x = 0
Et par suite : (^) ( Cg (^) ) ∩( Ox ) (^) ={ O ( 0,0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (^) ( C (^) g )avec l’axe des ordonnées :
Calculons g ( ) 0 :
On a : g ( ) 0 = 0
Donc (^) ( C (^) g ) ∩ (^) ( Oy ) (^) ={ O ( 0,0)}
Série 2 : Etude de Fonctions
5. Résolvons dans ℝ −{ } 1 l’équation : f ( ) x = g x ( )
f ( ) x = g x ( )équivaut à
2 2 2
x x x x
équivaut à ( 2 ) 0
x x x x
équivaut à ( )
x x x
équivaut à
( 1 )(^3 )^
x x x x
équivaut à x = 0 ou x = 1 ou x = 3
et par suite (^) ( C (^) f ) ∩ (^) ( C (^) g ) = (^) { A (^) (1, −1 ;) O ( 0,0 ;D 3,3) ( )}
6. graphiquement l’inéquation f ( ) x ≤ g x ( )équivaut à déterminer les intervalles dont on a
( C^ f )est au-dessous de^ ( Cg )
c-à-d S = [ 0,1] ∪]2,3 ]
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
0 1
1
x
y
Série 2 : Etude de Fonctions
8. k x ( ) = f ( ) x
a)
b) le nombre de solutions de l’équation k x ( )^ =^ m est le nombre de points
d’intersection de ( Ck )et l’axe ( ∆ m ): y = m
⊳ Si m < 0 : l’équation n’a pas de solutions
⊳ Si m = 0 : l’équation admet deux solutions
⊳ Si 0 < m < 1 : l’équation admet 4 solutions
⊳ Si m = 1 : l’équation admet 3 solutions
⊳ Si m > 1 : l’équation admet deux solutions
Corrigé de l’exercice 4 :
⊳ Dg = { x ∈ ℝ / x + 1 ≠ 0 } = { x ∈ ℝ/ x ≠ − 1 } = −∞ −] , 1 [ ∪ −] 1, +∞[
⊳ Soit x ∈ Dg ,on a:
x (^) x x g x x x x x
-4 -3 -2 -1 2 3 4 5
2
3
4
5
6
0 1
1
x
y
Série 2 : Etude de Fonctions
Donc pour tout x de Dg : ( )
g x x
2 f x = x − 2 x + 1
On a : a = 1 donc a > 0
Et on a :
b
a
= = et ( ) 1 0
b f f a
x g x x
On a :
= donc
⊳ Déterminons les points d’intersection de (^) ( C (^) f )avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ l’équation : f ( ) x = 0
f ( ) x = 0 équivaut à
2 x − 2 x + 1 = 0
f ( ) x = 0 équivaut à x = 1
Et par suite : (^) ( C (^) f ) ∩ (^) ( Ox ) (^) ={ A (1,0 )}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (^) ( C (^) f )avec l’axe des ordonnées :
Calculons f ( ) 0 :
On a : f ( ) 0 = 1
Série 2 : Etude de Fonctions
5. Résolvons dans ℝ^ − −{ 1 }l’équation : f^ ( ) x^ = g x ( )
f ( ) x = g x ( )équivaut à
x x x x
équivaut à ( )
2 3 (^1 )
x x x
équivaut à ( ) ( )
x x x
− ^ − − =
équivaut à ( )
2 4 1 0 1
x x x
− ^ =
équivaut à x = − 2 ou x = 1 ou x = 2
et par suite (^) ( C (^) f ) ∩ (^) ( C (^) f ) = (^) { A ( 1,0 ; ) E (^) ( −2,9 ;) F ( 2,1)}
6. graphiquement l’inéquation f^ ( ) x^ ≥^ g x ( )équivaut à déterminer les intervalles dont on a
( C^ f )est au-dessus de^ ( Cg )
c-à-d S = −∞ −] , 2 ] ∪ −] 1,1 ] ∪[ 2,+∞[
x h x x
a) Dh = (^) { x ∈ ℝ / x + 1 ≠ (^0) }=ℝ ( car pour tout x de ℝ , on a : x + 1 ≠ (^0) ( x ≥ (^0) ))
b) Soit x ∈ ℝ , on a :
⊳ − x ∈ ℝ
x x h x h x x x
Donc pour tout x de ℝ ,on a :
x
h x h x
D’où la fonction h est paire
c) Soit x
∈ ℝ , on a :
x (^) x^ x h x g x car x x x^ x
− − ^ ≥
+ + ^ =
Donc h x ( ) = g x ( )pour tout x de
ℝ
Série 2 : Etude de Fonctions
d)
8. k x ( ) = f ( ) x
a) On a k x ( ) = f ( ) x = f ( ) x car (^) ( f ( ) x ≥ (^0) )donc ( Ck )et (^) ( C (^) f )sont confondues
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
0 1
1
x
y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
0 1
1
x
y
