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La Ley de Gravitaci´on Universal
Ya hemos visto en los cap´ıtulos 1 y 2 que todo cuerpo material es atra´ıdo por
la Tierra. Cerca de la superficie de la Tierra esta fuerza es vertical, proporcional a la masa del cuerpo y la constante de proporcionalidad, como hemos visto, se conoce como aceleraci´on de gravedad y es aproximadamente g ≈ 9 , 81 [m/seg^2 ]. En 1666, Isaac Newton se di´o cuenta que esste hecho, conocido desde mucho tiempo es solo una aproximaci´on de una Ley de Fuerzas mucho mas general, la que es responsable no solo de que los cuerpos caigan hacia la Tierra, sino que tambi´en que la Luna orbite alrededor de la Tierra o que la Tierra orbite alrededor del Sol. La Ley de Fuerzas descubierta por Newton fue publicada en su libro el Principia (citado en el Cap´ıtulo 2) en 1687. Se conoce como Ley de Gravitaci´on Universal. Consideremos dos part´ıculas puntuales (en el sen- tido discutido a principios del cap´ıtulo 1), de masas m 1 y m 2 respectivamentes. La ley de gravitaci´on de Newton dice que estas part´ıculas solo por tener masa se atraen mediante una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente al cuadrado de la separaci´on entre ellas. La constante de propor- cionalidad e conoce como Constante de Gravitaci´on Universal, usualmente se denomina por G, y su valor num´erico determinado experimentalmente, en el Sistema Universal de Unidades est´a dado por G ≈ 6 , 67 × 10 −^11 [N–m^2 /kg^2 ]. Para ser m´as precisos, supongamos que la part´ıcula 1 est´a ubicada en la posici´on ~r 1 y la part´ıcula 2 en la posici´on ~r 2 , como se indica en la figura
F 12
F 21
m (^1)
m (^2)
r 1
r 2
O
Figura 1: Atracci´on gravitacional entre dos part´ıculas
Entonces, la fuerza gravitacional que 1 ejerce sobre 2 est´a dada por
F^ ~ 21 = −Gm 1 m 2 ~r^2 −^ ~r^1 |~r 2 − ~r 2 |^3
La Ley de Gravitaci´on Universal satisface el Principio de Acci´on y Reacci´on, pues de (1) se sigue que F~ 12 = − F~ 21. En realidad, satisface el principio de acci´on y reacci´on en forma fuerte pues la fuerza de interacci´on entre los dos cuerpos est´a dirigida a lo largo de la l´ınea que los une. Es parte de la Ley de Gravitaci´on Universal que ´esta satisface lo que habit- ualmente se conoce como el Principio de Superposici´on, i.e., si dos cuerpos 1 y 2 interact´uan con un tercero, la fuerza de atracci´on que ejerce el sistema (1, 2) sobre 3 es la suma vectorial de las fuerzas de atracci´on que ejercen independi- entemente 1 y 2 sobre 3, i.e.,
F^ ~ 3 ,(1,2) = F~ 3 , 1 + F~ 3 , 2 , (2)
Para hacer contacto con los comentarios que hicimos al empezar esta secci´on surge un problema no menor. La Ley de Gravitaci´on Universal (1) se aplica directamente sobre part´ıculas puntuales (i.e., part´ıculas cuyas dimensiones son peque˜nas comparadas con las distancias que las separan). As´ı, no podemos aplicar directamente la Ley de Gravitaci´on Universal para hacer contacto con la f´ormula del peso de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra. Si bien el cuerpo puede ser puntual la Tierra est´a lejos de serlo. Esta observaci´on retras´o un tiempo la publicaci´on del Principia, hasta que Newton logr´o demostrar el siguiente resultado, que es de mucha importancia para nuestra discusi´on:
Si un cuerpo esf´erico, como la Tierra, tiene su masa distribuida con simetr´ıa esf´erica, entonces la fuerza que este cuerpo hace sobre un objeto puntual ubicado fuera del primero se puede calcular como si el primer cuerpo fuese puntual y toda su masa estuviese ubicada en su centro
Comentario: Que el cuerpo en cuesti´on tenga simetr´ıa esf´erica significa que su densidad de masa solo depende de la distancia a su centro.
Una vez que contamos con este poderoso resultado de Newton podemos hacer contacto con la vieja formula del peso. Consideremos un objeto material de masa m ubicado sobre la superficie de la Tierra. Entonces, la Ley de Gravitaci´on Universal, combinada con el poderoso Teorema de Newton, nos dice que la fuerza con que la Tierra atrae al objeto de masa m est´a dirigida a lo largo de la vertical (i.e., hacia el Centro de la Tierra) y su magnitud est´a dada por
|F | =
G M
R^2
m, (3)
en que G es la constante de Gravitaci´on Universal, M la Masa de la Tierra, y R el radio de la Tierra. Pero, por otra parte, esta fuerza debe ser efectivamente el peso del objeto, es decir debe ser igual a m g, de modo que tenemos la identidad
g =
GM
R^2
La ecuaci´on anterior nos sirve para determinar la masa de la Tierra. Ya conocemos los valores experimentales de g y G en el Sistema Universal de unidades.Por otra parte, el radio de la tierra est´a dado casi exactamente por
R =
2 π
[km] ≈ 6 , 37 × 106 [m]. (5)
y por lo tanto el momentum angular de la part´ıcula, con respecto al punto O, es conservado (i.e., el vector ℓ 0 es constante). La conservaci´on del momentum angular de la part´ıcula simplifica de inmediato el problema. Como en general,
~r · ~ℓO = ~r · (~r × ~p) = 0, (11)
y puesto que ahora ~ℓO es un vector constante, la ecuaci´on (11) representa la ecuaci´on de un plano que pasa por el or´ıgen (i.e., por el punto O) y cuya normal es ~ℓO. De este modo, el movimiento bajo la acci´on de una fuerza central ocurre en un plano (el plano perpendicular a ~ℓO ). Para describir este movimiento usaremos coordenadas polares (ρ, θ) y utilizaremos como or´ıgen el centro de fuerzas. Recordemos que en coordenadas polares
~r = ρρ,ˆ (12)
~r˙ = ˙ρρˆ + ρ θ˙ θ,ˆ (13)
y por lo tanto, ~p = m ρ˙ρˆ + mρ θ˙ θ.ˆ (14)
De (12) y (14) tenemos ~ℓO ≡ ~r × ~p = mρ^2 θ˙ˆk, (15)
y por la consevaci´on del momentum angular tenemos que
mρ^2 θ˙ = ~ℓ 0 · ˆk (16)
es una constante de movimiento la cual denotaremos de aqu´ı en adelante ℓ. Por otra parte, como la aceleraci´on en polares est´a dada por
~¨r = (¨ρ − ρ θ˙^2 )ˆρ + (2 ˙ρ θ˙ + ρθ¨)θ,ˆ (17)
y ˆr = ˆρ y r = ˆρ, de (8) tenemos que las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula est´an dadas por m(¨ρ − ρ θ˙^2 ) = f (ρ) (18)
y m(2 ˙ρ θ˙ + ρθ¨). (19)
Esta ´ultima ecuaci´on es simplemente la conservaci´on de momentum angular (i.e., mρ^2 θ˙ = ℓ). De la conservaci´on de momentum angular podemos despejar θ˙ en t´erminos de θ, i.e.,
θ˙ = ℓ mρ^2
y reemplazarlo en (18), para as´ı obtener una ecuaci´on que s´olo involucra a la variable ρ,
mρ¨ −
ℓ^2
mρ^3 = f (ρ). (21)
B´asicamente, y debido a la conservaci´on del momentum angular, hemos reducido el problema original a un problema “unidimensional”. Otra propiedad importante de las fuerzas centrales es que son conservativas. De hecho, si llamamos V (ρ) a la primitiva de −f (ρ) (i.e., f (ρ) = −dV /dρ),
vemos que al multiplicar (21) por ˙ρ, esta ecuaci´on se puede integrar y as´ı obten- emos 1 2
m ρ˙^2 +
ℓ^2
2 mρ^2
en que E es la energ´ıa total de la part´ıcula.
Comentario: Tambi´en podr´ıamos haber llegado a (22) procediendo de la manera general que discutimos en el Cap´ıtulo 3. Puesto que F~ = f (ρ)ˆρ, y d~r = dρρˆ +
ρdθ θˆ a lo largo de la trayectoria, F~ · d~r = f (ρ)dρ = −dV (ya que hemos llamado V a la primitiva de f ). Entonces F~ es conservativa y deriva del potencial V (ρ). Como F~ es la ´unica fuerza que act´ua sobre la part´ıcula, su energ´ıa total se conserva. Su energ´ıa cin´etica est´a dada por
K =
m~v^2 =
m
ρ ˙^2 + ρ θ˙^2
en coordenadas polares. Sin embargo, por la conservaci´on de momentum angu- lar, utilizando (20) para reemplazar θ˙ en t´erminos de ρ en (23), obtenemos
K =
m ρ˙^2 +
ℓ^2
2 mρ^2
de modo que (22) representa la conservaci´on de energ´ıa K + V = E.
La segunda ley de Kepler: Ley de las ´areas
La conservaci´on del monentum angular tiene una interpretaci´on geom´etrica muy simple en t´erminos de la geometr´ıa de la ´orbita de la part´ıcula. En 1609, J. Kepler (1571–1630) enunci´o su segunda ley concerniente a la ´orbita de los planetas del modo siguiente:
Segunda Ley de Kepler: El movimiento de un planeta alrededor de su ´orbita es tal que el vector que une el Sol con el planeta barre ´areas iguales en tiempos iguales. En la figura hemos dibujado el planeta P en su movimiento alrededor del sol. Usando coordenadas polares, con el sol en el or´ıgen, la distancia del sol al planeta est´a dada por ρ. En un intervalo de tiempo suficientemente peque˜no dt, el planeta se mueve de modo que su posici´on angular cambia en dθ. El ´area que barre el vector que une el sol con el planeta, en el intervalo de tiempo δt (´area achurada en la figura), corresponde aproximadamente al ´area del tri´angulo de altura ≈ ρ y base ≈ ρdθ. Es ´area de este tri´angulo es precisamente
dA =
ρ^2 dθ. (25)
El ´area barrida por unidad de tiempo es,
dA dt
ρ^2
dθ dt
debemos considerar como energ´ıa potencial no solamente el potencial de Kepler. Debemos agregarle el t´ermino ℓ^2 /(2mρ^2 ), que obtuvimos al deshacernos de θ˙ usando la conservaci´on del momentum angular. As´ı pues, con el objeto de continuar nuestra discusi´on, es conveniente definir
Vef (ρ) = V (ρ) +
ℓ^2
2 mρ^2
k m ρ
ℓ^2
2 mρ^2
A la funci´on Vef (ρ) la llamaremos potencial efectivo. En t´erminos del potencial efectivo, entonces, (22) es de la forma
E = K + Vef =
m ρ˙^2 + Vef (ρ). (30)
El primer t´ermino a la derecha de (29) es el potencial de Kepler. El segundo t´ermino se denomina comunmente la barrera centr´ıfuga. Este nombre se debe a que es el momentum angular de la part´ıcula previene que la part´ıcula en cuesti´on caiga al sol. Como el momentum angular, ℓ = mρ^2 θ˙, es conservado, si ´este no es cero, a medida que la part´ıcula se acerca al sol debe aumentar su velocidad angular, para mantener el producto ρ^2 θ˙ constante. Si la velocidad angular aumenta, aumenta la fuerza centr´ıfuga que previene que la part´ıcula siga cayendo. Por supuesto que si el momentum angular de la part´ıcula es cero, ´esta caer´a inevitablemente al sol ( o al planeta, i.e., al centro de fuerzas). En la figura (??) hemos graficado el potencial efectivo como funci´on de ρ. Cerca de ρ = 0 el t´ermino que domina es la barrera centr´ıfuga. Por otra parte, para valores grandes de ρ el t´ermino que domina es el potencial de Kepler (que es negativo).
V ( )ef ρ
Emin
ρ 0 ρ m ρ
Figura 3: Potencial Efectivo
La funci´on Vef tiene un solo cero positivo que est´a dado por
ρ 0 =
ℓ^2
2 m^2 k
As´ı mismo, la funci´on Vef (ρ) tiene un s´olo m´ınimo el cual ocurre para
ρm = 2 ρ 0 =
ℓ^2
m^2 k
El valor del potencial en el m´ınimo es
Vef (ρm) = −
m^3 k^2 ℓ^2
En vista de las propiedades del potencial efectivo que acabamos de encontrar, una part´ıcula que tiene un momentum angular ℓ, s´olo puede tener valores de energ´ıa que van desde
Emin = Vef (ρm) = −
m^3 k^2 ℓ^2
hadsta +∞. Cualitativamente existen cuatro tipos de movimientos posibles de la part´ıcula en cuesti´on, dependiendo del rango de energ´ıa de la misma.
i) E = Emin: Si el valor de la energ´ıa de la part´ıcula es justamente el m´ınimo de Vef , K = m ρ˙^2 /2 = 0; as´ı, la part´ıcula se mueve en una ´orbita rho = ρm constante, lo cual corresponde a una ´orbita circular.
Comentario: El radio del c´ırculo puede derivarse m´as facilmente recurriendo al balance: fuerza gravitacional igual a la fuerza centr´ıfuga en este caso, i.e.,
mv^2 ρ
k m ρ^2
y utilizando la conservaci´on del momentum angular
mvρ = ℓ.
Resolviendo para ρ en este par de ecuaciones encontramos de inmediato el valor del radio de la ´orbita circular, ρ = ℓ^2 /(m^2 k).
ii) Emin < E < 0: Como K es no negativo, y E = K + Vef , la part´ıcula s´olo se puede mover en el rango de valores de ρ para los cuales se satisface
Vef (ρ) ≤ E. (35)
Dada la forma del gr´afico de Vef (ρ), si Emin < E < 0, de la condici´on (35) se sigue que existen dos radios, digamos ρmin y ρmax tales que la part´ıcula se mueve een una ´orbita que satisface ρmin ≤ ρ ≤ ρmax. As´ı pues, se trata de ´orbitas acotadas. M´as adelante veremos que en realidad corresponden a ´orbitas el´ıpticas. Para determinar los valores de ρmax y de ρmin basta con resolver
Vef (ρ) = E, (36)
y dada la forma de Vef (ρ), i.e., la ecuaci´on (29), la ecuaci´on (36) es una ecuaci´on cuadr´atica en la variable 1/ρ. Las dos soluciones, ambas positivas, de (36) son
1 ρmin
m^2 k ℓ^2
2 E ℓ^2
m^3 k^2
La primera Ley de Kepler
La primera ley de Kepler, enunciada en 1609, dice lo siguiente:
Las ´orbitas de los planetas ocurren en un plano. El Sol se encuentra en ese plano. La trayectoria del planeta es una elipse y el Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse En el Principia, publicado en 1687, Issac Newton deriv´o, a partir de su ley de Gravitaci´on Universal y de su Mec´anica, las tres leyes de Kepler, lo que ha sido uno de los grandes hitos en la historia de la f´ısica. Ya hemos visto que el hecho que la fuerza de gravedad sea una fuerza central implica la conservaci´on del momentum angular del planeta alrededor del sol. A su vez, la conservaci´on del momentum angular implica que la trayectoria del planeta ocurre en un plano, y el Sol se encuentra en ese plano. A prop´osito el plano en que se encuentra la ´orbita de la Tierra se conoce como el plano de la ecl´ıptica. Nos resta, entonces, demostrar que las ´orbitas son efectivamente elipses. Nuestro punto de partida ser´a la ecuaci´on de movimiento (21) en que
f (ρ) = −
k m ρ^2
de acuerdo a la ley de Gravitaci´on Universal. En (40), k = GM , con G la constante de gravitaci´on universal, M la masa del sol, y m la masa del planeta. De este modo nos vemos enfrentados a resolver la ecuaci´on diferencial
mρ¨ −
ℓ^2
mρ^3
k m ρ^2
para ρ como funci´on del tiempo. Esta es una ecuaci´on diferencial ordinaria, de segundo orden, no lineal. Una vez conocida la soluci´on rho(t) usamos la ecuaci´on (20) para encontrar θ(t). La ´orbita del planeta queda dada finalmente en forma param´etrica por el par de funciones (ρ(t), θ(t). Aqu´ı procederemos en forma un tanto diferente. En lugar de encontrar la ecuaci´on param´etrica de la trayectoria del planeta, lo que haremos es encontrar directamente la ecuaci´on de la ´orbita, i.e., ρ como funci´on de θ, i.e., ρ(θ), lo que es m´as simple de hacer. Para motivar un poco los cambios de variables que haremos a continuaci´on, conviene recordar la ecuaci´on de una elipse en coordenadas polares. Las propiedades mas relevantes, desde el punto de vista de este cap´ıtulo, est´an desarrolladas en el ap´endice. En particular, ah´ı encontramos la ecuaci´on de una elipse en polares (ver la ecuaci´on eq:ap4), que est´a dada por ρ(θ) = p/(1+e cos θ). Es evidente de esta ecuaci´on que la dependencia del rec´ıproco de ρ (i.e., de 1/ρ) en la variable θ es mucho m´as simple que la dependencia del mismo ρ. Esto tambi´en se refleja en la soluci´on de la ecuaci´on Vef = E que hicimos m´as arriba, la cual era una cuadr´atica para 1/ρ. Basados en ambos hechos es que vamos a introducir la nueva variable u = 1/rho como nuestra nueva variable dependiente. A contin- uaci´on buscaremos una ecuaci´on diferencial para u como funci´on de θ. N´otese de la ecuaci´on (20) que θ˙ tiene siempre el mismo signo. En particular, si ℓ es positivo, θ >˙ 0 y θ aumenta en forma monot´onica en el tiempo. As´ı pues es per- fectamente leg´ıtimo utilizar a la variable θ, en lugar del tiempo, como variable dependiente.
Usando la regla de la cadena tenemos
dρ dt
dρ dθ
dθ dt
u^2
du dθ
θ,˙ (42)
pues ρ = 1/u. Usando (20) para reemplazar θ˙ en (42) en t´erminos de ρ obten- emos dρ dt
m
du dθ
Iterando una vez m´as, calculamos a partir de la ecuaci´on anterior,
d^2 ρ dt^2
m
d^2 u dθ^2 θ˙ = − ℓ
2 m^2
ρ^2
d^2 u dθ^2
Reemplazando d^2 ρ/dt^2 en (41), multiplicando por ρ^2 m/ℓ^2 finalmente obtenemos la siguiente ecuaci´on para u como funci´on de θ:
d^2 u dθ^2
m^2 ℓ^2
Esta es una ecuaci´on muy simple para u como funci´on de θ. Corresponde a la ecuaci´on de movimiento arm´onico simple que hemos encontrado en repetidas oportunidades anteriormente en este libro. La soluci´on general de (45) se puede escribir de la forma
u(θ) = k m^2 ℓ^2
en que A y θ 0 son constantes de integraci´on que dependen del estado inicial del sistema. Siempre podemos elegir el eje polar de tal modo que θ 0 sea cero (esto equivale a elegir la orientaci´on general de la ´orbita en el plano de la ecl´ıptica). A partir de (46) podemos volver a nuestra variable ρ y escribir la ecuaci´on de la ´orbita como ρ(θ) =
p 1 + e cos θ
en que
p =
ℓ^2
k m^2
y
e =
Aℓ^2
km^2
La ecuaci´on (47) es la ecuaci´on general de una c´onica en coordenadas polares. Los par´ametros p y e que definen a la c´onica se comocen como el latus rectum y la excentricidad de la c´onica respectivamente (ver el Ap´endice a este cap´ıtulo). La din´amica de la ´orbita del planeta depende exclusivamente de su energ´ıa E y de su momentum angular ℓ, los que a su vez est´an determinados por las condi- ciones iniciales. Vemos de (48) que el par´ametro p s´olo depende del momentum angular ℓ. Por otra parte, en la expresi´on para la excentricidad, (49) aparece la constante de integraci´on A que no conocemos. Lo que haremos a continuaci´on ser´a encontrar una expresi´on para la excentricidad en t´erminos de E y ℓ. Para tal efecto, compararemos las expresiones “din´amicas” para los puntos de retorno que encontramos al resolver (36), i.e., las expresiones (37) y (38) para ρmin y ρmax, con las condiciones “geom´etricas” (96) y (97) derivadas a partir de (47).
sol. Si integramos la ley de las ´areas (27) en el tiempo, en un per´ıodo completo (i.e., entre 0 y T ) obtenemos
A =
2 m
T, (54)
en que A es el ´area total de la elipse. Pero el ´area de la elipse est´a dada en t´erminos de los semiejes por A = π a b. (55)
(Ver derivaci´on en el ap´endice, en particular la ecuaci´on (105). En t´erminos de los par´ametros p y e de la elipse los semiejes est´an dados por (ver ap´endice, ecuaciones (90) y (92)),
a =
p 1 − e^2
y b =
p √ 1 − e^2
respectivamente. A partir de (56), podemos reagrupar convenientemente los t´erminos de modo que el producto a b = p^1 /^2 a^3 /^2 , y luego reemplazar en (55) para obtener A = πp^1 /^2 a^3 /^2. (57)
Igualando las dos expresiones para el ´area de la elipse, (54) y (57) que hemos encontrado, obtenemos la relaci´on,
ℓ 2 m
T = πp^1 /^2 a^3 /^2. (58)
Finalmente nuestra tarea se completa usando (48), que relaciona la din´amica del movimiento del planeta con la geometr´ıa de la elipse. Tomando el cuadrado de (58) y luego reemplazando la expresi´on para p contenida en (48) encontramos finalmente T 2 a^3
4 π^2 k
4 π^2 GM
en que M es la masa del sol. Esta es precisamente la tercera ley de Kepler. No s´olo se aplica al movimiento de los planetas alrededor del sol. Por supuesto que tambi´en es v´alida para el movimiento de sat´elites alrededor de planetas. En esdte ´ultimo caso, basta cambiar la masa M del sol por la masa del planeta que hace las veces de centro de fuerzas.
Comentarios:
i) Como en los problemas gravitacionales, la masa inercial del palneta se cancela con la masa gravitacional del mismo, en realidad el ´unico par´ametro que aparece en las ecuaciones de movimiento de los planetas es k = GM. Esta combinaci´on tiene precisamente las dimensiones de longitud al cubo dividido por tiempo al cuadrado. Es por tal motivo que la ´unica combinaci´on entre T y a que uno puede esperar que sea invariante es, precisamente el cuociente T 2 /a^3.
ii) Las unidades de longitud y tiempo que hemos utilizado hasta ahora en este libro (i.e., el metro y el segundo) no son las mas convenientes para calcular movimientos de planetas y sat´elites. La unidad de tiempo m´as natural para describir el movimiento planetario es el a˜no terrestre, que es el tiempo que tarda la Tierra en completar una revoluci´on alrededor del sol. Aproximadamente, 1
[a˜no] ≈ 3 , 16 × 107 [seg]. En cuanto a la unidad de longitud m´as conveniente, esta es la Unidad Astron´omica [UA] que es la distancia promedio de la Tierra al Sol. Aproximadamente, 1 [U.A.] ≈ 1 , 496 × 1011 [m].
La Masa del Sol
La tercera Ley de Kepler nos permite calcular la masa del Sol, conociendo la informaci´on de la orbita de la Tierra. O, para tal efecto la masa de un planeta conociendo los datos de las ´orbitas de sat´elies alrededor del planeta. El semieje mayor de la ´orbita de la Tierra es
a ≈ 1 , 496 × 1011 [m], (60)
y el per´ıodo de su ´orbita
T ≈ 3 , 156 × 107 [seg]. (61)
Por otra parte la Constante de Gravitaci´on Universal es
G ≈ 6 , 673 × 10 −^11 [N–m^2 / kg^2. (62)
Reemplazando los valores de a, T y G en la terecera Ley de Kepler (59), encon- tramos
Msol =
4 π^2 a^3 G T 2
≈ 1 , 989 × 1030 [kg]. (63)
Viaje a J´upiter
A partir del 4 de Octubre de 1957 (fecha del lanzamiento del Sputnik), el hombre se ha aventurado poco a poco fuera de la Tierra. Los primeros sat´elites artificiales solamente efectuaron ´orbitas en torno a la Tierra. En la d´ecada del los sesenta se hicieron los primeros viajes a la Luna, que culminaron con el viaje de tres astronautas que alunizaron el 20 de julio de 1969. Desde fines de los sesenta se enviaron sat´elites a distintos planetas del sistema solar. La ´unica manera factible para que un sat´elite pueda “viajar” por el sistema solar es que se deje llevar por la influencia del sol. Cualquier otra manera es impracticable desde el punto de vista energ´etico. En esta secci´on haremos un viaje hipot´etico a J´upiter. Calcularemos cuando es el tiempo necesario para ir desde la Tierra a J´upiter dej´andose llevar por la fuerza del sol. Tambi´en calcularemos cual es la velocidad que debe tener un sat´elite, relativa a la Tierra, para poder realizar este viaje. Tanto la Tierra como J´upiter describen ´orbitas aproximadamente circulares. El radio de la ´orbita de la Tierra es 1 [U.A], en tanto que el radio de la´orbita de J´upiter es ≈ 5 , 2 [U.A.]. Como dijimos m´as arriba la ´unica manera de ir de un planeta a otro es dejarse llevar por la gravedad del Sol. Entonces el sat´elite que deseamos enviar a J´upiter debe describir una ´orbita el´ıptica con el sol en uno de us focos. Como la energ´ıa del sat´elite es inversamente proporcional al semieje
Velocidad de Escape
¿Cu´al debe ser la velocidad que hay que dar a un cohete, puesto sobre la superficie de la Tierra, para que escape de su influencia gravitacional? A esta velocidad, que vamos a determinar a continuaci´on se la conoce como velocidad de escape. Si llamamos ve a la velocidad del cohete, y ´este se encuentra sobre la super- ficie de la Tierra, su energ´ıa cin´etica es K = mv^2 e /2, y su energ´ıa potencial es V = −GM m/R. Aqu´ı, m es la masa del cohete, M la masa de la Tierra y R el radio de la Tierra. Entonces, la energ´ıa total del cohete en el momento de lanzamiento es
E = K + V =
mv e^2 −
GM m R
Ya hemos visto con anterioridad que la energ´ıa del cohete debe ser mayor o igual a cero para que ´este pueda escapar. Imponiendo E = 0, en (67) vemos que la velocidad m´ınima para que el cohete pueda escapar es
ve =
2 GM
R
2 g R ≈ 11 , 2[km/seg]. (68)
Para obtener la segunda igualdad en la ecuaci´on anterior, usamos la relaci´on (4) entre G y g.
El Problema de los Dos Cuerpos en Gravitaci´on y su Re-
ducci´on al Problema de un Cuerpo
A lo largo de este cap´ıtulo siempre hemos supuesto que un planeta, o un sat´elite se mueve en torno a un centro de fuerzas, e.g., el Sol, o la Tierra, que se encuentra fijo. Esta suposici´on es muy buena si un peque˜no sat´elite se mueve alrededor de un cuerpo de mucho mayor masa (e.g., cuando un sat´elite se mueve alrededor de la Tierra). Pero, ¿ qu´e sucede si dos cuerpos se mueven por su mutua interacci´on gravitacional y tienen masa comparable? Esto es lo que se conoce como el Problema de los dos cuerpos, el cual afortunadamente tiene una soluci´on simple. Lo que haremos a continuaci´on es reducir el problema de los dos cuerpos al problema de un cuerpo que se mueve en torno a un centro de fuerzas fijo. Consideremos entonces dos cuerpos de masa m 1 y m 2 respectivamente, que interact´uan a trav´es de su mutua atracci´on gravitacional. Si llamamos ~r 1 y ~r 2 respectivamente a las posiciones de cada uno de los cuerpos, y utilizamos la Ley de Gravitaci´on universal (1), sus respectivas ecuaciones de movimiento est´an dadas por
m 2 d^2 ~r 2 dt^2
Gm 1 m 2 |~r 2 − ~r 1 |^3
(~r 2 − ~r 1 ), (69)
y
m 1
d^2 ~r 1 dt^2
Gm 1 m 2 |~r 2 − ~r 1 |^3 (~r 2 − ~r 1 ), (70)
respectivamente. Si sumamos las dos ecuaciones anteriores, debido al principio de acci´on y reacci´on tendremos
d^2 dt^2 (m 1 ~r 1 + m 2 ~r 2 ) = 0, (71)
que representa la conservaci´on de la velocidad del centro de masa del sistema. En efecto, si definimos como de costumbre la posici´on del centro de masa como
R^ ~cm = m^1 ~r^1 +^ m^2 ~r^2 m 1 + m 2
entonces, (71) se escribe simplemente como
M
d^2 R~cm dt^2
en que M = m 1 + m 2 es la masa total del sistema. Una vez introducido R~cm conviene introducir tambi´en la posici´on relativa de un cuerpo con respecto al otro, i.e., ~r ≡ ~r 2 − ~r 1. (74)
De (72) y (74) podemos despejar ~r 1 y ~r 2 en t´erminos de R~cm y ~r, obteniendo
~r 1 = R~cm − μ m 1
~r, (75)
y ~r 2 = R~cm +
μ m 2
~r, (76)
respectivamente, en que μ ≡
m 1 m 2 m 1 + m 2
es la masa reducida del problema. Como R~cm¨ = 0, de (76), (69) y (74), final- mente obtenemos la ecuaci´on de movimiento para la coordenada relativa:
μ¨~r = −
G m 1 m 2 |~r|^3 ~r. (78)
Esta es una ecuaci´on de movimiento que solo involucra a la coordenada relativa ~r. El t´ermino de fuerza que aparece a la derecha de (78) es central y var´ıa como el inverso del cuadrado de la distancia. Entonces, para resolver la ecuaci´on de movimiento para ~r podemos aplicar todo lo que hemos visto en el resto del cap´ıtulo. Solo basta utilizar como expresi´on para k,
k = G(m 1 + m 2 ), (79)
y reemplazar m por μ en todas las ecuaciones pertinentes.
Llamemos (ρ, θ) a las coordenadas polares de P. En t´erminos de estas coor- denadas es simple escribir |AP | y |BP |. En efecto,
|BP | = ρ, (82)
y, usando el Teorema de los cosenos, aplicado al tri´angulo ABP,
|AP | =
ρ^2 + c^2 + 2 dρ cos θ. (83)
Reemplazando estas dos expresiones en la definici´on de la elipse (80), obtenemos
ρ − d =
ρ^2 + c^2 + 2 dρ cos θ. (84)
Tomando el cuadrado de la ecuaci´on anterior y simplificando, obtenemos final- mente la ecuaci´on de la elipse en polares,
ρ =
p 1 + e cos θ
en que
p ≡
d^2 − c^2 2 d
y
e ≡ c d
N´otese que de la desigualdad tri´angular (81), 0 ≤ e ≤ 1. La elipse queda completamente determinada por las dos longitudes originales c y d. Adem´as, como se desprende de (85) tambi´en queda totalmente determi- nada por los nuevos par´ametros p y e reci´en introducidos. De hecho podemos pasar del par de par´ametros (a, b) al nuevo par (p, e) facilmente por medio de (86) y (87). N´otese que en t´erminos de p y e, c y d quedan determinados por
c =
2 p e 1 − e^2
y
d = 2 p 1 − e^2
El par´ametro p tiene unidades de longitud, y se conoce como latus rectum (´o lado recto), y corresponde a la distancia BQ de la figura. El par´ametro e, como cuociente de dos distancias, es adimensional. Ya hemos visto que su valor var´ıa entre 0 y 1. A este par´ametro se le conoce como la excentricidad de la elipse. Si e = 0, entonces c = 0, i.e., los dos focos coinciden y la elipse se convierte en un c´ırculo. e mide que tan diferente de un c´ırculo es la elipse. Veremos poco m´as adelante algunas expresiones para la excentricidad que dejan mas claro su significado. Obviamente la elipse es sim´etrica (bajo reflecci´on) con respecto a la recta que pasa por los dos focos A y B. Tambi´en es sim´etrica (bajo reflecci´on) con respecto a la simetral que divide al segmento AB. Llamemos O al punto medio del segmento AB (ver figura). A la distancia OR de la figura se la llama semieje mayor y la denotaremos por a. Por otra parte a la distancia OS de la figura se la llama semieje menor y se denota por b. Como R es un punto de la elipse, |AR| + |BR| = d, pero |AR| = |AO| + |OR| = (c/2) + a. Analogamente |BR| =
B R
Q
O
p
Figura 8: Ilustraci´on del lado recto de la elipse
A O B
S
R
b
a
Figura 9: Ilustraci´on de los semiejes de la elipse
a − (c/2), de modo que d = 2a. Combinando esta ´ultima expresi´on con (89) obtenemos de inmediato a =
p 1 − e^2
Por otra parte S es tambi´en un punto de la elipse. Como S se encuentra sobre la simetral del segmento AB, |AS| = |BS| = d/2. Por el Teorema de Pit´agoras (aplicado al tri´angulo rect´angulo OBS) tenemos
b^2 +
( (^) c 2
= |BS|^2 =
d 2
Reemplazando en (91) las expresiones para c y d dadas por (88) y (89) respec- tivamente, obtenemos finalmente
b =
p √ 1 − e^2
Hemos visto hasta ahora que la elipse queda dada un´ıvocamente por el par de par´ametros (c, d), ´o tambi´en por el par de par´ametros (p, e). Ahora vemos
