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Primer curso. Segundo examen parcial. 5 de Junio de 2007.
APELLIDOS...................................................................................................N UMERO...........¶
NOMBRE...........................................
Primera pregunta. Cada uno de los apartados se cali¯car¶a de 0 a 2^0 5 puntos. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer que la cali¯caci¶on global de la pregunta sea 0 puntos. Responda breve y razonadamente
- Se sabe que la serie de potencias
+X 1
n=
an(x ¡ 1)n^ es convergente para x = ¡2 y divergente para
x = 7. Diga razonadamente qu¶e se puede a¯rmar sobre la convergencia de las series num¶ericas +X 1
n=
an,
+X 1
n=
3 nan y
+X 1
n=
(¡1)n 2 nan.
Con los datos del enunciado sabemos que la convergencia es absoluta al menos en I = (¡ 2 ; 4), pero
en x = ¡2 s¶olo sabemos que converge condicionalmente. Como
X^ +^1
n=
an es la serie para x = 2 2 I,
converge absolutamente. La serie
+X 1
n=
3 nan corresponde a x = 4, por lo que no podemos a¯rmar
nada y
+X 1
n=
(¡1)n 2 nan es para x = ¡ 1 2 I, luego es absolutamente convergente.
- Sea X ½ R^2 , X abierto y f : X! R. Indique, escribiendo V o F que a¯rmaciones son ciertas y cu¶ales falsas en todo caso: Recordemos que f 2 C(1(X) si, y s¶olo si, f tiene derivadas parciales continuas.
(a) Si f 2 C(1(X), f es continua en X. (V) (b) Si f 2 C(1(X), f tiene plano tangente en todo punto de X. (V) (c) Si f tiene todas las derivadas direccionales, incluidas las derivadas parciales en todo punto de X, f 2 C(1(X). (F) (d) Si f 2 C(1(X), f tiene todas las derivadas direccionales, incluidas las derivadas parciales en todo punto de X. (V) (e) Si f tiene derivadas parciales continuas en todo punto de X, f 2 C(1(X). (V) (f) Si f es diferenciable en todo punto de X, f 2 C(1(X). (F) (g) Si f 2 C(1(X), f es diferenciable en todo punto de X. (V)
Esta pregunta se cali¯car¶a con la siguiente tabla: 4 respuestas correctas, 1 punto, 5 respuestas correctas, 1^0 5 puntos, 6 respuestas correctas, 2 puntos, 7 respuestas correctas, 2^0 5 puntos.
- Consideremos la funci¶on f : R^2! R^2 , f (x; y) = (¡ 3 x + y^3 ; ¡ 3 y + x^3 ).
(a) >Admite inversa global en R^2? En caso a¯rmativo, calcularla. (b) >Admite inversa local en (1; 0)? En caso a¯rmativo hallar la matriz jacobiana de de f ¡^1 en (¡ 3 ; 1).
(a) f (0; 0) = (0; 0). Como ¡ 3 x + y^3 = 0 ) x =
y^3 3
, sustituyendo en ¡ 3 y + x^3 = 0, se tiene el punto (
p 3 ;
p 3), que veri¯ca f (
p 3 ;
p
- = (0; 0). Asi, f no es inyectiva y no tiene inversa global.
(b) Las derivadas parciales, dispuestas en forma de matriz, son
μ ¡ 3 3 y^2 3 x^2 ¡ 3
, por lo que las derivadas parciales existen y son continuas. Se sigue que la aplicaci¶on f es diferenciable. Como en (1; 0) la matriz es
μ ¡ 3 0 3 ¡ 3
, y su determinante vale 9 6 = 0, la funci¶on es localmente invertible. Asi Jf ¡^1 (¡ 3 ; 1) =
μ ¡ 3 0 3 ¡ 3
μ ¡ 13 0 ¡ 13 ¡ (^13)
- Calcular la integral
Z Z
D
cos(x ¡ 2 y) dx dy, D = f(x; y) 2 R^2 j ¡ x · y · 4 ¡ x; x ¡ 2 · y · x g, mediante el cambio de variable x = u + v; y = u ¡ v.
Como el jacobiano de la transformaci¶on es J =
¯ =^ ¡2, el m¶odulo del jacobiano es jJj = 2. Adem¶as, ¡x · y ) u ¸ 0, y · 4 ¡ x ) u · 2, x ¡ 2 · y ) v · 1, y · x ) v ¸ 0, tenemos Z Z
D
cos(x ¡ 2 y) dx dy = 2
Z 2
0
du
Z 1
0
cos(3v ¡ u) dv =
[cos 1 ¡ cos 2 ¡ cos 3 + 1]
Primer curso. Segundo examen parcial. 5 de Junio de 2007.
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Tercera pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la cali¯caci¶on global de la pregunta sea 0 puntos.
- Comprobar que el sistema de ecuaciones ½ (x ¡ 2)^2 + (y ¡ 1)^2 + (z ¡ 2)^2 = 1 exy^ + x^2 ¡ z^2 = 1
de¯ne a y; z como funciones impl¶³citas diferenciables y = y(x); z = z(x) de x en un entorno del punto (x; y; z) = (2; 0 ; 2). (Deben comprobarse expl¶³citamente todas las condiciones del, o los, teoremas utilizados. Hasta 3 puntos.)
- Consideremos la curva en R^3 , ®(x) = (x; y(x); z(x)), x 2 (2 ¡ r; 2 + r) para alg¶un r > 0. Hallar el vector tangente a ® en x = 2. (Hasta 5 puntos.)
- Hallar el valor de la derivada direccional de la funci¶on F (x; y; z) = sen(xy) + z^2 en el punto (2; 0 ; 2) seg¶un la direcci¶on del vector tangente calculado en el apartado anterior. (Hasta 2 puntos.)
- El punto veri¯ca el sistema. Por otra parte, la matriz de las derivadas parciales es μ 2(x ¡ 2) 2(y ¡ 1) 2(z ¡ 2) yexy^ + 2x xexy^ ¡ 2 z
, que existen y son todas ellas combinaciones de polinomios y de la funci¶on exponencial, por lo que son continuas. Se sigue que la funci¶on es diferenciable. Como el determinante del menor formado por las dos ¶ultimas columnas, evaluado en (2; 0 ; 2), vale 8 6 = 0, se sigue que y = y(x) y z = z(x) en un entorno de dicho punto.
- Derivando impl¶³citamente el sistema se tiene 2(x ¡ 2) + 2(y ¡ 1)y^0 + 2(z ¡ 2)z^0 = 0 exy^ (y + xy^0 ) + 2x ¡ 2 zz^0 = 0 si lo evaluamos en (2; 0 ; 2), tenemos y^0 = 0, z^0 = 1. Asi, el vector velocidad es ~v = (1; 0 ; 1), y el vector tangente ~t =
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- El gradiente de F en un punto gen¶erico es gradF (x; y; z) = (y cos(xy); x cos(xy); 2 z) y en el punto (2; 0 ; 2) es gradF (2; 0 ; 2) = (0; 2 ; 4). Asi D~tF (2; 0 ; 2) = (0; 2 ; 4) ¢
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Cuarta pregunta. Planteamiento de la, o las, integrales necesarias, con los posibles cambios de variable, hasta 5 puntos. Resoluci¶on efectiva de ¶estas, hasta 5 puntos. No se valorar¶a la segunda parte si no es totalmente correcta la primera. Un error considerado muy grave puede hacer que la cali¯caci¶on global de la pregunta sea 0 puntos.
Consideremos el cuerpo limitado inferiormente por la esfera x^2 + y^2 + z^2 ¡ 2 z = 0 y superiormente por el cono z^2 = x^2 + y^2. Su densidad puntual es d(x; y; z) = jxj^3 jyj^3. Hallar la masa del cuerpo.
La esfera es x^2 + y^2 + (z ¡ 1)^2 = 1, por lo que la proyecci¶on del cuerpo es x^2 + y^2 = 1. Tanto el cuerpo como la densidad son sim¶etricas, por lo que basta trabajar con el primer cuadrante y multiplicar por 4, con lo que jxj = x; jyj = y. Cambiando a coordenadas polares se tiene
m =
Z Z
proyeccion
jxj^3 jyj^3 dx dy
Z px (^2) +y 2
1 ¡
p 1 ¡x^2 ¡y^2
dz =
Z Z
proyeccion
jxj^3 jyj^3
hp x^2 + y^2 ¡ 1 +
p 1 ¡ x^2 ¡ y^2
i dx dy =
Z ¼ 2
0
d'
Z 1
0
½^3 cos^3 '½^3 sen^3 '
h ½ ¡ 1 +
p 1 ¡ ½^2
i ½ d½ = 4
Z ¼ 2
0
cos^3 ' sen^3 ' d'
Z 1
0
½^7
h ½ ¡ 1 +
p 1 ¡ ½^2
i d½
I 1 =
Z 1
0
½^7
h ½ ¡ 1 +
p 1 ¡ ½^2
i d½ =
Z 1
0
h ½^8 ¡ ½^7 + ½^7
p 1 ¡ ½^2
i d½ =
½^9
½^8
0
Z 1
0
½^7
p 1 ¡ ½^2 d½
En esta ¶ultima integral se realiza el cambio 1 ¡ ½^2 = u^2 y queda
I 1 = ¡
Z 0
1
(1 ¡ u^2 )^3 u^2 du = ¡
Como este resultado es num¶erico, si le llamamos A, tenemos
m = 4A
Z ¼ 2
0
cos^3 ' sen^3 ' d' = 4A
Z ¼ 2
0
sen^3 '(1 ¡ sen^2 ') cos ' d' = 4A
A
