¡Descarga Selectividad mates sociales 24/25 y más Resúmenes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
UNITAT 1 – MATRIUS
Una matriu és una disposició de nombres o variables en files i columnes en forma rectangular (o quadrada). Considerem les files amb la lletra ‘i’, les columnes amb la lletra ‘j’ i el nom de la matriu amb una lletra majúscula. ELEMENTS D’UNA MATRIU Els elements d’una matriu s’indiquen amb la lletra minúscula que dona nom a la matriu i dos subíndexs, primer la fila i després la columna: a 11 = 2 La DIAGONAL d’una matriu correspon a tots els elements de la matriu que tenen els dos subíndexs iguals. La TRAÇA d’una matriu és la suma dels elements de la seva diagonal. Tr(A)=2+5= ORDRE D’UNA MATRIU L’ordre d’una matriu són dos nombres (m,n) que indiquen el nombre de files i el nombre de columnes, respectivament, que té una matriu. Ordre de A = (2,2) o 2x Ordre de B = (2,3) o 2x Ordre de C = (3,3) o 3x Si la matriu és quadrada (mateix nombre de files que de columnes) és diu que, per exemple, la matriu A és d’ordre 2, la matriu C és d’ordre 3. En cas contrari, la matriu es diu matriu rectangular. TIPUS DE MATRIUS a) Matriu nul·la: És una matriu que té tots els elements igual a zero b) Matriu Triangular Superior: Una matriu quadrada és triangular superior quan tots els elements situats per sota de la diagonal principal són zero.
c) Matriu Unitat o Matriu Identitat: Es tracta de la matriu quadrada on tots els seus elements diferents de zero són igua a 1. d) Matriu Oposada: La matriu oposada d’una matriu és la que s’obté canvia cadascun dels elements pel seu oposat. e) Matriu transposada: És la matriu que s’obté en intercanviar les files per les columnes en una matriu.
f) Matriu Simètrica: Quan els elements verifiquen que aij = aji.
SUMA I RESTA DE MATRIUS
UNITAT 2 – MATRIUS: Determinants
MATRIU INVERSA
Si donada una matriu quadrada A existeix una altra matriu B, també quadrada, que multiplicada per la matriu A ens dona matriu unitat, es diu que la matriu A és una matriu regular o invertible i a la matriu B se'n diu matriu inversa d'i es represen per A-1^ A · A-1^ = A-1^ · A = I
UNITAT 3 – MATRIUS: Sistemes
CRAMER
GAUSS
Consisteix en fer els operacions elementals necessàries per obtenir una matriu equivalent a l’ampliada que sig
triangular superior (és a dir, amb zeros sota la diagonal principal).
UNITAT 4 – LÍMITS
Funció entre dues variables : dependència en què per cada valor real de la variable independent existeix un, i només u valor real de la variable dependent. y = f(x) on x és la variable independent x és imatge de y y és la variable dependent y és antiimatge de x La relació entre variables és pot establir a partir de:
- Text
- Taula de valors
- Expressió algebraica
- Gràfica
PROPIETATS D’UNA FUNCIÓ
- Domini- recorregut DOMINI: Totes les X que tenen Y. RECORREGUT: Totes les Y que tenen X
- CREIXEMENT I DECREIXEMENT D’UNA FUNCIÓ F(x) és creixent en un interval (a, b) si, quan augmenten els valors de x, augmenten també els de y. F(x) és decreixent en un interval (a, b) si, quan augmenten els valors de x, disminueixen els de y.
- TAXA DE VARIACIÓ D’UNA FUNCIÓ La taxa de variació mitjana de f(x) en un interval (a, b) és el quocient de la diferència entre el valors de y, entre els valo de y dins l’interval: La taxa de variació mitjana de f(x) en un interval (a, b) també es pot interpretar com el pendent del vector A (coordenades dels punts de f(x) quan x=a i x=b) Per tant, si la funció és creixent el pendent és positiu i, per tant, la taxa de variació mitjana serà positiva. Si la funció és decreixent el pendent del vector que passa pels dos punts sobre la gràfica és negatiu i, per tant, la taxa de variació mitjana serà negativa.
- CURVATURA Si la taxa de variació mitjana decreix en un interval (a, b) la funció és convexa dins l’interval. Si la taxa de variació mitjana creix en un interval (a, b) la funció és còncava dins l’interval. - MÀXIMS I MÍNIMS F(x) té un màxim en un punt si f(x) en aquest punt és més alt que la resta de punts del seu entorn proper (ÉS UN PIC). F(x) té un mínim en un punt si el valor de f(x) en aquest punt és més baix que la resta de punts del seu entorn (ÉS UNA VALL). - PUNTS DE TALL AMB ELS EIXOS Punt de tall eix x: y=0, f(x)=0 , (x,0) Punt de tall eix y: x=0, f(0)=y, (0, y) El límit de f(x) en un punt (a) és el valor al qual s'aproxima la funció quan s'acosta a aquest punt. TIPUS DE LÍMITS LÍMIT: TENDEIX A INFINIT Veure a quin valor s’aproxima f(x) per valors de x prou elevats: depèn del tipus de funció.
LÍMITS D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
Es substitueix en l’expressió algebraica la variable X pel valor al qual tendeix. Si el resultat és una indeterminació : Indeterminacions: quan en substituir el valor de “x” en la funció ens dona: ●
: Hôpital ● b
b ∈ R (^) : el límit = ∞. Límits laterals ● ∞ ∞ : Hôpital
ASÍMPTOTES: Verticals ASÍMPTOTES: Horitzontals
EXEMPLE PROBLEMA
UNITAT 5 – DERIVADES
La taxa de variació mitjana de f(x) en un interval (a, b) també es pot interpretar com el pendent de la recta que passa per A i B (coordenades dels punts de f(x) quan passa per X=a i x=B)
UNITAT 6 – ESTADÍSTICA
VARIABLES ESTADÍSTIQUES
− Qualitatives : característiques que no tenen un valor numèric. Exemples: color dels ulls (blau, verd, marró), estat civil (solter, casat, divorciat), nivell d’educació (primària, secundària, universitària), grau de satisfacció (baix, mitjà, alt). − Variables Quantitatives (Numèriques): Representen quantitats mesurables que es poden expressar en números: o Discretes : quan els diferents valors que pot prendre la variable són aïllats (entre dos valors no n’hi pot haver cap altre). El cas que es presenta de manera més freqüent és aquell en què els valors de la variable són nombres enters, com per exemple el nombre de fills, el nombre de treballadors, nombre de cotxes en un garatge, edat, tipus de cables elèctrics normalitzats (0.5, 0.75, 1, 1.5,2, 2.5, 4, 6,...). o Contínues : Poden prendre qualsevol valor dins d'un rang, incloent decimals. Exemple: Pes d’una persona (70, kg), altura d’un edifici (25,3 m). TAULA DE FREQÜÈNCIES Una taula de freqüències resumeix els conceptes següents: Valors (xi): tots els diferents valors que pren la variables estudiada (valors de les notes que treuen els alumnes (notes del 2 al 10 en aquest cas) Nombre de dades (n): total d’elements de la mostra (25 alumnes) Freqüència absoluta (fi) del valor xi és el nombre de vegades que aquest valor es repeteix. Per exemple, la fi del valor “10” és “2”, significa que 2 alumnes han tret un 10. Freqüència relativa (ni) d’una dada és el quocient de la seva freqüència absoluta entre el total de dades (n). Percentatge (pi) del valor xi és el nombre ni expressat en percentatge. pi = 100 · fi
La freqüència absoluta acumulada (Fi) del valor xi es calcula com la suma de totes les freqüències absolutes anteriors a la posició “i” i “j” és el nombre total de valors diferents que té el conjunt d’elements. La freqüència relativa acumulada (Ni) del valor xi es calcula com la suma de totes les freqüències relatives anteriors a la posició “i”. Percentatge acumulat (Pi) del valor xi és el nombre Fi expressat en percentatge. Pi = 100 · ni PARÀMETRES DE CENTRALITZACIÓ
- Mitjana : es calcula sumant tots els valors i dividint-los pel total d’individus de la mostra.
- Moda: és el valor de la variable que té una freqüència absoluta més gran.
- Mediana: és el valor central de la distribució, un cop hem ordenat els valors de la variable en ordre creixent. PARÀMETRES DE DISPERSIÓ
- Variància és la mitjana dels quadrats de les desviacions respecte de la mitjana. Es representa amb σ^2.
- Desviació típica és l’arrel quadrada positiva de la variància. El símbol corresponent és σ.
- Coeficient de variació: S’utilitza quan les mitjanes de dos conjunts són molt diferents i no es pot utilitzar la desviació típica.
UNITAT 7 – COMBINATÒRIA
QUÈ ÉS LA COMBINATÒRIA?
Es la part de la matemàtica que estudia totes les possibles combinacions de m elements agrupats de n en n. La n és el nombre de caselles que tenim: La m és el nombre d'elements diferents que podem posar dins de cada casella.
PROBABILITAT
Mètode clàssic ( regla de Laplace ) FÓRMULES EXEMPLE EXERCICI Exercici 1: Imagina que tens una classe d’una optativa amb 10 alumnes: on 4 són nois i 6 noies. La meitat dels nois fa batxillerat científic i la meitat fa el social. Entre les noies, 2 fan el batxillerat
científic i la resta el social. a) Si escollim un alumne a l'atzar quina probabilitat hi ha que faci batxillerat social? b) Si escollim un alumne a l'atzar i sabem que fa batxillerat social, quina és la probabilitat que sigui un noi? c) Quina és la probabilitat que faci batxillerat social, sabent que és un noi?
UNITAT 9 – DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
- Variables discretes: entres dos valors donats de l’espai mostral, la variable només adopta un nombre finit de valors. - Variables contínues : entre dos valors donats de l’espai mostral, la variable pot adoptar un nombre infinit de valors.
