Seminari `
Algebra Lineal 1er. de grau en Matem`atiques
Determinants Curs 2015-2016
1. Calculeu els determinants de les seg¨uents matrius amb coeficients racionals:
2 1 −3
1 2 1
−1 1 3
,
1 1 −2 3
0−3 0 −3
1 2 −2−1
0122
,
−1111
1−111
1 1 −1 1
111−1
.
2. Siguin A, B matrius de mida n×namb coeficients reals. Suposant que det(A) = 5 i
det(B) = −2 calculeu
det(3A); det(AB−1); det(B−1AB); det((2B)−1).
3. Sigui Kun cos i a, b, c, d ∈K. Calculeu els seg¨uents determinants,
a−b−c−d
b a −d c
c d a −b
d−c b a
,
a b 0 0
c d 0 0
a7b7a b
c7d7c d
,
a b . . . b
b a ....
.
.
.
.
.......b
b . . . b a
.
4. Donades A, B ∈Mn(K), podem dir alguna cosa de det(A+B) en funci´o de det(A) i
det(B)?
5. Sigui Kun cos i m, n ≥1. Denotem r=n+m.
(a) Siguin X∈Mm(K), Y∈Mn(K) i Z∈Mn,m(K). Demostreu que es compleix la
f´ormula seg¨uent
det X0
Z Y = det(X)det(Y).
Ho podeu fer per inducci´o sobre mo b´e demostrant-ho primer quan X=ImiZ= 0,
despr´es quan Y=Ini finalment expressant la matriu general com a producte de
dues matrius r×r, una del segon tipus amb una altre del primer tipus.
(b) Suposem que N=Im−A
B Inon A∈Mm,n(K) i B∈Mn,m (K). Trobeu matrius
D=ImD1
0D2iE=E2E1
0Intals que N=Im0
B InD=EIm0
B In.
(c) Useu l’anterior per concloure que det(Im+AB) = det(In+BA). M´es en general,
proveu que si λ∈K\ {0}, det(λIm+AB) = λm−ndet(λIn+BA)
6. Comproveu que el que s’afirma a l’exercici 5 (a) no es pot generalitzar f`acilment, trobant
matrius A, B, C iD∈Mn(K) de forma que
det A B
C D6= det(A) det(D)−det(B) det(C).