¡Descarga Algebra Seminari y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Solucions al 2on seminari d’ `Algebra
Curs 2013-2014 Grau en Enginyeria Inform`atica
- Considerem la matriu: A =
1 − 2 2 1 1
− 1 2 0 1 1
2 − 4 1 − 1 − 1
1 − 2 1 2 0
(a) Calculeu la matriu de Gauss-Jordan de la matriu A. Calculeu rang(A).
Soluci´o
Calculem la forma de Gauss-Jordan esglaonant per files, juntament amb la matriu
identitat, per a obtenir la matriu P.
F 2 + F 1
F 3 − 2 F 1
F 4 − F 1
F 3 +
3 2
F 2
F 4 +
1 2
F 2
1 2
3 2
1 2
1 2
F 3 ↔ F 4
1 2
1 2
1 2
3 2
1 2 F^2
1 2 F^3
1 2
1 2
1 4
1 4
1 2
0 0 0 0 0 −
1 2
3 2
F 2 − F 3
F 1 − F 3
5 4
1 4
1 2
0 0 1 0 1
3 4
1 4
1 2
0 0 0 1 0 −
1 4
1 4
1 2
0 0 0 0 0 −
1 2
3 2
F 1 − 2 F 2
1 4 −^
3 4 0
1 2
0 0 1 0 1
3 4
1 4
1 2
0 0 0 1 0 −
1 4
1 4 0
1 2
0 0 0 0 0 −
1 2
3 2
La forma de Gauss-Jordan de A ´es per tant
i P =
1 4
3 4
1 2 3 4
1 4 0 −^
1 2
−
1 4
1 4
1 2
−
1 2
3 2
A m´es, rang(A) = 3 i es compleix que P A ´es la forma de Gauss-Jordan.
(b) Escolliu una fam´ılia linealment independent maximal de files de A i expresseu la resta
de les files de A com a combinaci´o lineal de les files escollides.
Soluci´o
Podem escollir com a files linealment independents les files d’on provenen els pivots
de la forma de Gauss-Jordan, per tant les files 1, 2 i 4.
L’´ultima fila de la matriu P ens d´ona la seg¨uent combinaci´o lineal:
F 1 +
F 2 + F 3 + 0F 4 = (0, 0 , 0 , 0)
Per tant
F 3 =
F 1 −
F 2
(c) Escolliu una fam´ılia linealment independent maximal de columnes de A i expresseu la
resta de les columnes de A com a combinaci´o lineal de les columnes escollides.
Soluci´o
Podem escollir com a columnes linealment independents les columnes on hi ha els
pivots de la forma de Gauss-Jordan, per tant les columnes 1, 3 i 4.
Per a saber les combinacions lineals d’aquestes columnes que ens donen les columnes
2 i 5, sols cal mirar els coeficients d’aquestes columnes a la matriu de Gauss-Jordan.
C 2 = − 2 C 1 , C 5 = −C 1 + C 3
- Considerem el sistema d’equacions lineals:
x − 2 y + 2z + t = 1
−x + 2y + t = 1
2 x − 4 y + z − t = − 1
x − 2 y + z + 2t = 0
Basant-vos nom´es en els c`alculs de l’exercici anterior:
(a) Proveu que les solucions del sistema formen una recta de R
4 .
Soluci´o
Els sistema t´e com a matriu associada la matriu
