¡Descarga seminari mates y más Apuntes en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
Matematica Aplicada i Bioestad´ıstica (Farmacia).
Seminari Problemes 1.
C`alcul de derivades.
En aquest seminari estudiarem les regles de derivaci´o i practicarem el c`alcul de
derivades. Comen¸cem donant les f´ormules per les derivades d’algunes funcions b`asiques.
Donada una funci´o f (x), denotem per f
′ (x) o tamb´e (f (x))
′ la derivada de la funci´o f.
Derivades immediates.
- (x
α )
′ = α x
α− 1 , per a tot α ∈ R.
- (e
x )
′ = e
x .
- (ln x)′^ =
1 x.
- (sin x)′^ = cos x.
- (cos x)
′ = − sin x.
- (ax)′^ = ax^ ln a, si a > 0.
- (loga x)′^ =
1 ln a
1 x ,^ si^ a >^ 0.
- (arcsin x)′^ = √^1 1 −x^2
- (arctan x)′^ = (^) 1+^1 x 2.
Observem que amb la f´ormula 1, podem calcular la derivada dels monomis x
n
. Aix´ı
tenim (x)′^ = 1, (x^2 )′^ = 2x, (x^3 )′^ = 3x^2 , etc. Ara b´e, la f´ormula ´es v`alida per a
qualsevol real. Aix´ı podem calcular derivades de potencies on l’exponent ´es un enter
negatiu, com per exemple
(x
− 1 )
′ = −x
− 2 = −
x^2
i tamb´e podem calcular derivades de potencies amb exponents racionals o irracionals,
com per exemple
x)
′ = (x
1 / 2 )
′
x
− 1 / 2
x
o tamb´e (x
√ (^2) )′ (^) =
2 x
√ 2 − (^1).
Exercici 1: Calculeu les seg¨uents derivades immediates:
(a) (x−^2 )′
(b) ( 3
x)′
Regles b`asiques de derivaci´o.
- La derivada d’una funci´o constant ´es igual a zero.
- La derivada d’una suma ´es la suma de les derivades.
- (cf (x))
′ = cf
′ (x) per a tota constant c ∈ R.
Aix´ı, tenim (2x^2 )′^ = 2 (x^2 )′^ = 2 · 2 x = 4x. Tamb´e
(2 + x + 3 ln x + e
x )
′ = (2)
′
′
′
x )
′ = 0 + 1 + 3 ·
x
x = 1 +
x
x .
Exercici 2: Calcular les derivades de les seg¨uents funcions:
(a) f (x) = 1 + x
3 − 2 e
x
(b) g(x) =
x − sin x + 3 ln x.
La derivada del producte. Si f, g s´on derivables, llavors el producte f · g ´es
derivable, i la derivada es calcula amb la f´ormula
(f · g)
′ (x) = f
′ (x) · g(x) + f (x) · g
′ (x).
Amb aquesta f´ormula ja podem calcular derivades de m´es funcions, com per exemple
(x
2 · e
x )
′ = (x
2 )
′ · e
x
2 · (e
x )
′ = 2xe
x
2 e
x .
x · cos x)
′ = (
x)
′ · cos x +
x · (cos x)
′
x
· cos x −
x · sin x.
Exercici 3: Fent servir la f´ormula de la derivada del producte, calculeu:
(a) (x^2 ln x)′
(b) (2e
x sin x + x arctan x)
′
La derivada del quocient. Si f, g s´on derivables, llavors el quocient (f /g) ´es
derivable (en els punts on g(x) 6 = 0), i la derivada es calcula amb la f´ormula
( f (x)
g(x)
f ′(x) · g(x) − f (x) · g′(x) ( g(x)
Per exemple, podem calcular la derivada de la funci´o tangent, tan x =
sin x cos x.
(tan x)
′
sin x
cos x
(sin x)′^ · cos x − sin x · (cos x)′
cos^2 x
(cos x) · cos x − sin x · (− sin x)
cos^2 x
cos^2 x + sin
2 x
cos^2 x
En aquest punt, si fem servir la identitat cos^2 x + sin
2 x = 1, obtenim (tan x)′^ =
1 cos^2 x.
Ara b´e, si el que fem ´es dividir terme a terme, obtenim
(tan x)
′ = 1 +
sin x
cos x
= 1 + tan
2 x.
Per tant
(tan x)
′
cos^2 x
= 1 + tan
2 x.
Exercici 5:
(a) Calculeu la derivada de la cotangent de x, definida per cot x =
cos x sin x.
(b) Calculeu la derivada de la funci´o f (x) =
e
2 x^2
x^2 − 1
Exercici per casa: Calculeu totes les derivades de les llistes d’exercicis.
