Teoría de la Comunicación (2º grado) Curso 2013/2014
Departamento de Ingeniería de Telecomunicación
Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universidad de Jaén
TEMA 2
SEÑALES DETERMINÍSTICAS (I)
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Señales determinísticas, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones
Asignatura: teoria de comunicaciones, Profesor: Fran Cañadas, Carrera: Ingeniería Técnica en Telecomunicación Especialidad Telemática., Universidad: UJAEN
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 20
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Teoría de la Comunicación (2º grado) Curso 2013/
Departamento de Ingeniería de Telecomunicación
Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universidad de Jaén
TEMA 2
SEÑALES DETERMINÍSTICAS (I)
Contenidos
1. Clasificación de señales
2. Repaso análisis de Fourier y sistemas LTI
3. Representación temporal
Clasificación de señales
SEÑALES
REALES
COMPLEJAS
DETEMINÍSTICAS
ALEATORIAS
ENERGÍA
POTENCIA
PERIÓDICAS
NO PERIÓDICAS
ESTACIONARIAS
NO ESTACIONARIAS
ERGÓDICAS
NO ERGÓDICAS
ESTRICTO
RELAJADO
CICLOESTACIONARIO
OTROS
- Señal: variación de una magnitud física susceptible de transmitir información.
- Señales definidas en energía (Julios, J)
- Duración temporal finita o aparece en un instante dado y se extingue con un comportamiento
- Señales definidas en energía (Julios, J)
asintótico tendiendo a cero
- Potencia media nula
E
x
= lim
T →∞
x t ( )
2
− T / 2
- T / 2
∫
dt [ 0 < E
x
< ∞]
P
x
= lim
T →∞
T
x t ( )
2
dt
− T / 2
- T / 2
∫
[ 0 < P
x
< ∞]
P
x
T
0
x t
( )
2
dt
T
0
∫
… si la señal es periódica T
0
- Señales definidas en potencia (Watios, W)
- Duración temporal infinita. Pueden ser periódicas y no periódicas
- Energía media infinita
Desarrollo en serie de Fourier señal x ( t ) periódica de periodo T
0
Ec. de síntesis: x ( t ) = c
n
⋅e
j ⋅ n ⋅
2 π
T 0
⋅ t
n =−∞
∞
∑
Ec. de análisis: c
n
T
0
x t
( )
⋅e
− j ⋅ n ⋅
2 π
T
0
⋅ t
dt
T
0
∫
, n = 0 ,± 1 ,± 2 ...
Desarrollo en Series de Fourier
Las series de Fourier permiten representar a una señal periódica como
suma de exponenciales complejas
Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768 – 1830)
- La señal x(t) debe tener un número finito de máximos y mínimos en cualquier periodo de la
señal.
- La señal x(t) debe tener un número finito de discontinuidades en cualquier periodo de la
señal. Además cada una de estas discontinuidades debe ser finita.
- La señal x(t) debe ser absolutamente integrable en cualquier periodo:
Para asegurar la existencia del desarrollo en serie de Fourier de una señal periódica de
periodo T
0
es suficiente (no necesario) que x(t) cumpla las condiciones de Dirichlet:
Transformadas de Fourier (II)
Para una señal no periódica y determinística, expresada como una función del tiempo la
integral siguiente es su transformada de Fourier :
Donde y donde a veces se emplea en lugar de la frecuencia f (Hz) la frecuencia
angular (rad/s)
j = − 1
ω = 2 π f
A partir de la transformada de Fourier X(f), la señal x(t) puede ser recuperada de forma
exacta mediante la transformada inversa de Fourier :
Para asegurar la existencia de la transformada de Fourier de una señal es suficiente (no
necesario) que x(t) cumpla las condiciones de Dirichlet:
- La señal x(t) debe tener un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito.
- La señal x(t) debe tener un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito.
Además cada una de estas discontinuidades debe ser finita.
- La señal x(t) debe ser absolutamente integrable:
X f
( )
= x t
( )
⋅ e
− j 2 π f ⋅ t
dt
−∞
+∞
∫
x t
( )
= X f
( )
⋅e
j ⋅ 2 π f ⋅ t
df
−∞
+∞
∫
Transformadas de Fourier (III)
Operación Función Transformada
Superposición a x ( t ) a x ( t ) 1 1 2 2
⋅ + ⋅ a X ( f ) a X ( f ) 1 1 2 2
⋅ + ⋅
Retardo en el tiempo ( )
d
x t − t ( )
d
j ft
X f e
−⋅⋅⋅ ⋅
⋅
2 π
Cambio de escala x ( α ⋅ t ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
α α
f
X
1
Conjugación ()
x t X (− f )
Dualidad X ( t ) x ( − f )
Translación en
frecuencia
( )
j f t c
x t e
⋅⋅⋅ ⋅
⋅
2 π
( ) c
X f − f
Modulación x ( t ) ⋅ ( π ⋅ f ⋅ t + φ) c
cos 2 ( ) ( ) ( )
φ j φ
c
j
c
X f f e X f f e
−
⋅ − ⋅ + + ⋅
2
1
Derivación
( )
n
n
dt
d x t
( j f ) X ( f )
n
⋅ 2 ⋅ π⋅ ⋅
Integración ( )
−∞
t
x λ d λ X ( f ) X ( ) ( f )
j f
δ
π
⋅ + ⋅
⋅ ⋅ ⋅
0
2
1
2
1
Convolución x ( t ) * y ( t ) X ( f ) ⋅ Y ( f )
Multiplicación x ( t ) ⋅ y ( t ) X ( f ) * Y ( f )
Multiplicación por t
n
t x ( t )
n
⋅ ( )
( )
n
n
n
df
d X f
− j ⋅ ⋅ ⋅
−
2 π
Teorema Integral:
x ( t ) y ( t ) dt X ( f ) Y ( f ) df
+∞
− ∞
+∞
− ∞
⋅ = ⋅
Teorema de Parseval:
( ) ( )
2 2
x t dt X f dt
+∞ +∞
−∞ −∞
=
f
Transmisión de señales a través de sistemas LTI (I)
- Sistema: cualquier dispositivo físico que produce una señal de salida (respuesta) en
respuesta a una señal de entrada (excitación).
- Clasificación de los sistemas:
- Lineal/no lineal
- Invariante/variante en el tiempo
- Sin memoria/con memoria
- Causal/no causal
- Estable/inestable
En un sistema lineal se cumple el principio de superposición : la respuesta de un sistema
lineal a una número de excitaciones aplicadas simultáneamente es igual a la suma de las
respuestas del sistema cuando cada excitación es aplicada individualmente.
y ( t ) = T [ x ( t )]
1 2 1 2
y t T x t x t T x t T x t
y t T a x t a T x t
Transmisión de señales a través de sistemas LTI (II)
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
y t = T ⎡ x t ⎤ → y t − t = T ⎡ x t − t ⎤
En un sistema invariante en el tiempo un desplazamiento en el tiempo de la
excitación ocasiona un desplazamiento en el tiempo de la respuesta.
En un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) la respuesta a una excitación
cualquiera x(t) se calcula a partir de la respuesta al impulso del sistema a
través de una integral de convolución:
( ) ( ) h t = T ⎡ δ t ⎤
⎣ ⎦
y t x t h t x τ h t τ d τ h τ x t τ d τ
+∞ +∞
−∞ −∞
∫ ∫
Transmisión de señales a través de sistemas LTI (IV)
¿Qué tiene que ver el análisis de Fourier con los sistemas LTI?
La respuesta de un sistema LTI a una exponencial compleja es
otra exponencial compleja. Y las exponenciales complejas son la
clave del análisis de Fourier. Consideremos como excitación de
un sistema LTI, una exponencial compleja:
x t ( )
= A ⋅e
j ⋅ 2 π f ⋅ t
y t ( )
= h τ ( )
⋅ A ⋅e
j ⋅ 2 π f ⋅ t − τ ( )
d τ
−∞
+∞
∫
= A ⋅e
j ⋅ 2 π f ⋅ t
⋅ h τ ( )
⋅e
− j ⋅ 2 π f τ
d τ
−∞
+∞
∫
y t ( )
= A ⋅e
j ⋅ 2 π f ⋅ t
⋅ h t ( )
⋅ e
− j ⋅ 2 π f ⋅ t
dt
−∞
+∞
∫
= x t ( )
⋅ H f ( )
x t ( )
= e
j ⋅ 2 π f ⋅ t
⇒ y ( t ) = e
j ⋅ 2 π f ⋅ t
⋅ H f ( )
Parámetros de señal (I)
Una señal determinística queda completamente caracterizada por la expresión explícita
(función) que indica el valor que toma la señal para cualquier instante de tiempo.
Supongamos una señal x(t) real, determinemos algunos parámetros de señal que la
caracterizan parcialmente:
- Valor de pico ([V], [A]) : Se define el valor de pico como el máximo valor que
alcanza su valor absoluto. A veces, en el estudio de sistema de comunicación resulta
conveniente normalizar las señales de forma que el valor de pico de la señal sea 1.
- Valor pico-pico ([V], [A]): Se define como la diferencia entre sus valores máximo
y mínimo.
( )
max
p
x = x t
max
n
x t
x t
x t
( ) ( )
max min
pp
x = x t − x t
Parámetros de señal (y III)
Valor eficaz ([V], [A]): es la desviación tipica (raíz cuadrada de la varianza) y
representa la raíz cuadrada de la potencia de alterna de la señal x(t)
2 2 2
2
ef x
x σ x t x t x t x t x t x t
x
ef
2
x
2
= x
2
t
( )
− x t
( )
2
= P
x
− P
x
cc
= P
x
cz
- Factor de cresta (adimensional): relación entre valor de pico y valor eficaz. Informa
de la importancia de las crestas de la señal respecto a la raíz cuadrada de la potencia en
corriente alterna
p
C
ef
x
K
x
- Factor de forma (adimensional): relación entre valor eficaz y valor absoluto del
valor medio de la señal. Se puede observar que su cuadrado indica la relación existente
entre potencia alterna y continua
( )
ef
F
x
K
x t
=
Función de autocorrelación (I)
- Si x(t) está definida en potencia , la función de autocorrelación de la señal se define de la
siguiente forma:
( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
x
T T T T
R x t x t x t x t dt x t x t dt
T T
τ τ τ τ
→∞ →∞
∫ ∫
si x(t) es periódica de periodo T, su función de autocorrelación también es periódica y del
mismo periodo T, siendo su expresión:
x
T T
R x t x t dt x t x t dt
T T
τ = + τ = −τ
∫ ∫
- Si x(t) es definida en energía , su función de autocorrelación es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
ρ τ x t τ x t dt x t x t τ dt
+∞ +∞
−∞ −∞
= + = −
∫ ∫
- Se puede observar que la función de autocorrelación compara la señal x(t) con réplicas
desplazadas de x(t) en el tiempo, siendo un indicador de la redundancia o similitud
existente en la señal x(t).
- El cálculo de la autocorrelación para señales determinísticas es simplemente una
convolución :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
ρ τ x t τ x t dt x τ x τ
+∞
−∞
= + = ∗ −
∫
Función de correlación cruzada (I)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xy
ρ τ x t τ y t dt x t y t τ dt
+∞ +∞
−∞ −∞
= + = −
∫ ∫
Si x(t) e y(t) están definidas en potencia , la función de correlación cruzada de ambas
señales se define de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
xy
T T T T
R x t y t x t y t dt x t y t dt
T T
τ τ τ τ
→∞ →∞
∫ ∫
si x(t) e y(t) son señales periódicas , la función de correlación cruzada de ambas señales
también es periódica de periodo T y viene dada por:
xy
T T
R x t y t dt x t y t dt
T T
∫ ∫
donde T es el mínimo común múltiplo del periodo de las dos funciones x(t) e y(t).
Si x(t) y/o y(t) están definidas en energía , la función de correlación cruzada de ambas
señales viene dada por:
La función de correlación cruzada realiza una comparación entre una señal x(t) y
otra señal y(t) desplazada, siendo un indicador del grado de semejanza entre ellas.
- Nótese que el cálculo de la correlación cruzada para señales determinísticas es
simplemente una convolución:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
xy
ρ τ x t τ y t dt x τ y τ
+∞
−∞
= + = ∗ −
∫
Función de correlación cruzada (y II)
Propiedades de la correlación cruzada (análogas para definición en energía o
potencia)
- Simetría hermítica: si x(t) e y(t) son reales, R
xy
(τ) e R
yx
(τ) son simétricas
- Autocorrelación de la suma de dos señales
- Las señales x(t) e y(t) son ortogonales cuando su correlación cruzada es nula.
Además, si las señales no se solapan en ninguna frecuencia también son ortgonales
z x y xy yx
z t = x t + y t ⇔ ρ τ = ρ τ + ρ τ + ρ τ +ρ τ
R
xy
(− τ ) = R
yx
( τ ) = R
yx
R
xy
( τ ) = x ( τ ) * y
(− τ ) ⇒ G
xy
( f ) = X ( f )· Y
( f ) = 0 ⇒ R
xy
( τ ) = 0
R
xy
( τ ) = R
yx
( τ ) = 0