Separata de ejercicios cálculo, Ejercicios de Cálculo

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Áreas en coordenadas polares

Logro de la sesión:

Al finalizar la sesión, el estudiante calcula el área de regiones en

coordenadas polares usando los pasos descritos en clase.

Bibliografía:

 Libro digital de cálculo I (MA 262 ) - Línea de ingeniería. Revisar sesión: Áreas en coordenadas polares (enlace del libro digital).  Canal de YouTube – Áreas en coordenadas polares: https://n9.cl/2msor  Stewart, James ( 2018 ). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México, D.F.: Cengage Learning. https://cutt.ly/FkhT 9 VI. Capítulo 10 , sección 10. 4 , páginas 669 – 674.

Sea la región 𝑅 acotada por la curva polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) y por los rayos 𝜃 = 𝑎; 𝜃 = 𝑏, donde 𝑓 es una función positiva continua y donde 0 < 𝑏 − 𝑎 ≤ 2𝜋  Elemento de área:  Descripción de la región 𝑅: 𝑅 = 𝑟, 𝜃 : 𝑎 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑓(𝜃)

Áreas en coordenadas polares

𝑑𝜃 𝐴 =

𝑎 𝑏 𝑓(𝜃) 2 𝑑𝜃  Diferencial de área:  El área expresada como una integral:

2 𝑑𝜃

Halle el área de la región interior al cardioide: 𝑟 = 1 + cos 𝜃 En su proceso realice los siguientes pasos:

• Grafique y describa la región en forma ordenada.
• Dibuje el elemento de área con sus dimensiones.
• Determine su diferencial de área.
• Plantee la integral que permita calcular el área.
• Calcule el área de la región

Ejemplo 1

𝒓 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 Halle el área de la región interior al cardioide: 𝑟 = 1 + cos 𝜃 En su proceso realice los siguientes pasos:

• Dibuje el elemento de área con sus dimensiones.

Ejemplo 1

• Determine su diferencial de área.

𝒓 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 Halle el área de la región interior al cardioide: 𝑟 = 1 + cos 𝜃 En su proceso realice los siguientes pasos:

• Plantee la integral que permita calcular el área.

Ejemplo 1

• Calcule el área de la región

Sea la región 𝑅 acotada por la curva polar 𝑟 = 𝑓 𝜃 ; 𝑟 = 𝑔(𝜃) y por los rayos 𝜃 = 𝑎 ; 𝜃 = 𝑏 donde 𝑟 es una función positiva continua.  Elemento de área:  Descripción de la región 𝑅: 𝑅 = 𝑟, 𝜃 : 𝑎 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏 ; 𝑔(𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑓(𝜃)

Áreas en coordenadas polares

𝑓(𝜃) 𝑔(𝜃) 𝑑𝜃 𝐴 =

𝑎 𝑏 𝑓(𝜃) 2 − 𝑔(𝜃) 2 𝑑𝜃  Diferencial de área:  El área expresada como una integral:

1 2

2 − 𝑔(𝜃) 2 𝑑𝜃

Halle el área de la región que está dentro de la primera curva C 1 : 𝑟 = 3 cos 𝜃 y fuera de la segunda curva C 2 : 𝑟 = 1 + cos 𝜃

Ejemplo 2

En su proceso realice los siguientes pasos:

• Grafique y describa la región en forma ordenada.
• Dibuje el elemento de área con sus dimensiones.
• Determine su diferencial de área.
• Plantee la integral que permita calcular el área.
• Calcule el área de la región

En su proceso realice los siguientes pasos:

• Dibuje el elemento de área con sus dimensiones. Halle el área de la región que está dentro de la primera curva C 1 : 𝑟 = 3 cos 𝜃 y fuera de la segunda curva C 2 : 𝑟 = 1 + cos 𝜃

Ejemplo 2

• Determine su diferencial de área. 𝐂𝟏 : 𝒓 = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝐂𝟐 : 𝒓 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉

Halle el área de la región que está dentro de la primera curva C 1 : 𝑟 = 3 cos 𝜃 y fuera de la segunda curva C 2 : 𝑟 = 1 + cos 𝜃

Ejemplo 2

En su proceso realice los siguientes pasos:

• Plantee la integral que permita calcular el área.
  • Calcule el área de la región 𝐂𝟏 : 𝒓 = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝐂𝟐 : 𝒓 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉

En su proceso realice los siguientes pasos:

• Describa de forma ordenada la región conveniente que usará. Calcule el área de la región interior a la curva 𝑟 = 2 + 4cos 𝜃 y exterior a 𝑟 = 4 (ver figura)

Ejemplo 3

𝒓 = 𝟒^ 𝒓^ =^ 𝟐^ +^ 𝟒𝐜𝐨𝐬^ 𝜽

En su proceso realice los siguientes pasos: 𝒓 = 𝟒 𝒓 = 𝟐 + 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝜽

• Dibuje el elemento de área con sus dimensiones. Calcule el área de la región interior a la curva 𝑟 = 2 + 4cos 𝜃 y exterior a 𝑟 = 4 (ver figura)

Ejemplo 3

• Determine su diferencial de área.

Recapitulando

Actividades para esta semana y semana 14

TALLERES HACÍA EL

CONTROL VIRTUAL 3

Segundo intento

Evaluación virtual 3

Sesión 14.

CONTROL VIRTUAL 3