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Conceptos Fundamentales y Propiedades de los Fluidos

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MECANICA DE FLUIDOS

CAP.I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.1. Conceptos Básicos.

1.1.1. Mecánica de los Fluidos. Es la ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos en equilibrio o en movimiento acelerado; es decir, desde los puntos de vista de la estática y la dinámica. Tiene aplicaciones en distintas áreas del conocimiento, tales como:

• Hidráulica. Estudia el flujo de fluidos en canales y tuberías.
• Hidrología. Estudia el ciclo hidrológico, precipitaciones, escorrentías de ríos, lagos.
• Meteorología. Estudia el comportamiento de los fenómenos atmosféricos.
• Aeronáutica. Estudia las formas aerodinámicas de los cuerpos buscando maximizar la sustentación y minimizar el arrastre.
• Turbomáquinas. Estudia el flujo de los fluidos a través de bombas, ventiladores, turbi- nas, etc.

1.1.2. Fluido. Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se le aplica una fuerza tangencial, por pequeña que ésta sea. Puede ser líquido o gaseoso para presiones inferiores a la crítica. Para presiones más grandes que este límite no existen diferencias entre fluidos líquidos y gaseosos.

Respuesta de muestras de sólido y fluido a la acción de una fuerza cortante. La deformación ∆θ en el sólido es pequeña y finita, mientras que en el fluido es continua.

1.1.3. El Continuo o Continuom. Es una idealización que consiste en suponer que las mo- léculas de fluido están ordenadas continuamente (uniformemente), en lugar de considerar que éstos se hallan en continuo movimiento y colisiones constantes como partículas discretas que son. Este concepto se justifica en la ingeniería puesto que el interés se centra en las manifes- taciones promedias medibles de muchas moléculas, como por ejemplo la densidad, la presión o la temperatura.

Este enfoque es válido siempre y cuando la longitud significativa más pequeña del problema a analizar sea del mismo orden de magnitud que latrayectoria libre media entre moléculas. La trayectoria libre es la distancia promedio que recorre una molécula antes de chocar con otra.

Por ejemplo, al nivel del mar a temperatura ambiente, 1 mm^3 de aire contiene 2,7 x 10^16 mo- léculas y la trayectoria libre media entre las partículas de aire es de λ = 6,6 x 10 -5mm; por lo

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1.4. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.4.1. Propiedad. Es toda característica observable y/o cuantificable de las sustancias, que las describe y que permanece constante cuando la sustancia se halla en un estado en particu- lar. Se clasifican en:

Propiedad física extensiva. Si depende de la masa dentro del sistema. Por ejemplo el volumen, el peso, la energía, etc.

Propiedad física intensiva. Si no dependen de la masa dentro del sistema. Por ejemplo la temperatura, la presión, la tensión superficial, etc.

Las propiedades físicas extensivas pueden convertirse en intensivas si se dividen entre la masa; en este caso, al nombre de la propiedad se le aumenta el término “específico”. Por ejemplo el peso específico, el volumen especifico, la energía específica, etc.

1.4.2. Condiciones estándares : Son los valores de temperatura (T) y de presión (p) de los fluidos correspondientes al nivel del mar. Por ejemplo:

Para el aire: T = 15 °C y p =101,3 kPa = 1 atm= 760 mm de Hg Para el agua: T = 4 °C y p =101,3 KPa = 1 atm = 760 mm de Hg

A continuación se revisarán algunas de las propiedades más significativas de los fluidos

1.4.3. La densidad (ρ)

Se define como la masa de fluido,dm, contenida en el volumend∀. Es decir:

Para materiales homogéneos, como los fluidos puros, la densidad es una constante dada por:

Unidades: kg/m^3 , slug/pie^3

Valores estándares: Para el agua {1000 kg/m^3 = 1,94 slug/pie^3 = 101,94 UTM/m^3 = 62,43 lbm/pie^3 } Para el aire {1,22 kg/m^3 = 0,00236 slug/pie^3 = 0,076 lbm/pie^3 }

En los líquidos, la densidad no sufre cambios considerables con los cambios de temperatura y presión; en cambio en los gases, la densidad varia con los cambios de presión y temperatura según la ley de estado: p = ρ RT.

Dato curioso: La relación aproximada de la variación de la densidad del agua con la temperatura

es:

( )

2 4 1000 180

T

= − ; T en °C.

dm d

ρ = ∀

m

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De aquí se deduce que el agua a 4°C es más densa que el agua a 0 °C; por ello, el agua a 0°C, más ligero, sube a la superficie de un lago donde ocurre la congelación.

1.4.4. El peso específico (γ)

Es la razón del peso de fluido, dW, por unidad de volumen,d∀. Es decir:

Para fluidos homogéneos el peso específico es una constante dada por:

Unidades: N/m^3 , lbf/pie^3 , kgf/m^3 ,

Valores estándares: Para el agua {9 806 N/m^3 = 62,43 lbf/pie^3 =1 000 kgf/m^3 } Para el aire {12,013 N/m^3 = 0,07651 lbf/pie^3 }

La relación aproximada de variación del peso específico del agua con la temperatura es:

( )

2 4 9 800 18

T

= − (^) ; T = en grados Celsius.

1.4.5. El volum en Específico ( v )

1.4.6. La densidad relativa (ρR ). Es una razón entre la densidad del fluido a una tempera- tura dada y la densidad del agua a una temperatura referencial. En este texto la temperatura referencial es 4°C, tanto para líquidos como para gases.

1.4.7. El peso específico relativo ( γ R). Es la razón entre el peso específico del fluido a

una temperatura dada y el peso específico del agua a 4 °C.

Tanto la densidad relativa como el peso específico relativo son adimensionales y son numéri- camente iguales.

1.4.8. La Tem peratura (T)

Es el grado de calor o frialdad de un cuerpo. Es una medida de la energía contenida en los movimientos moleculares del fluido.

La primera escala de medición de la temperatura se le atribuye al físico alemán Gabriel Fah- renheit, en la cual el punto de solidificación del agua corresponde a 32 °F y su punto de ebullición a 212 °F. Más tarde, el astrónomo sueco Andrés Celsius le atribuye 0 °C al punto de congelamiento del agua y 100 °C al de ebullición. Estas escalas se denominan escalas relativas.

W γ= =ρ g ∀

v 1/ m

ρ

∀ = =

ρ R = ρ fluido / ρ agua a 4  C

γ (^) R =γ fluido / γ agua

dW

d

γ = ∀

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vapor de mercurio dentro del tubo es despreciable y no ejerce presión). De aquí, es posible deducir la siguiente fórmula:

.. Hg Hg Hg^ Hg

Hg

W A h p atm

p atm Peso del mercurio h h

A A A

Numéricamente, al nivel del mar h Hg =

2 3

101 325 N/m

133361, 6 N/m

= 0,76 m = 760 mm.

Ahora, si el experimento se lleva a cabo con agua en lugar de mercurio se espera que la altura “h” alcance los:

En relación a estos experimentos se puede establecer las siguientes equivalencias:

101 325 Pa≡ 10, 33 mca ≡ 760 mm Hg. ≡29, 9 pulgadas Hg.

1.4.10. La viscosidad (μ)

Constituye la propiedad más importante de los fluidos que controla la cantidad de fluido que puede transportarse por una tubería durante un período específico; explica las pérdidas de energía asociadas al transporte de fluidos en ductos y canales y desempeña un papel prepon- derante en la generación de turbulencias.

La viscosidad (“pegajosidad”)es la propiedad de los fluidos en virtud de la cual éstos ofrecen resistencia a los esfuerzos cortantes; es decir a fluir. Por ejemplo fluidos muy viscosos son el alquitrán o brea y la melaza; y, fluidos poco viscosos, el agua y el aire.

Considérese un fluido colocado entre dos placas planas paralelas entre sí, separadas una distancia “h”. Si sobre la placa superior se aplica una fuerza tangencial Ft , ésta ori-

gina una tensión de corte τ = Ft / A en la

sustancia colocada entre las placas. (A es el área de la placa superior).

El fluido en inmediato contacto con la placa superior adquirirá una velocidad constante no nula “V”, de igual magnitud que la de la placa por lacondición de no deslizamiento; y las partículas inferiores de fluido adquirirán velocidades decrecientes hasta llegar a cero en la pared de la placa fija; es decir, el fluido dela región ABCD se mueve hasta ocupar una nueva

2 3

101 325 N/m

9 806 N/m

hagua = = m

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posición AB’C’D, de manera que cada partícula se mueve paralelamente a la lámina y la velo- cidad “V” varía desde V en la placa superior hasta cero en la placa inferior.

Experimentalmente, Sir Isaac Newton, encontró la siguiente re- lación:

μ - se denominaviscosidad dinámica y es un factor de propor- cionalidad característico del fluido con que se experimente.

Ley de Newton de la viscosidad. Para pequeñas deformaciones de la línea AB se cumple que:

de donde: .........(1)

V d h dt

Además, del triángulo de velocidades, por semejanza, se tiene que:

V (^) = h V y = h v v y

⇒

Diferenciando ambos miembros se tiene: (^) Vdy = h dv de donde V^ = dv …… 2( ) h dy

Igualando (1) y (2) se tiene: V^ dv dt dy

d h

= θ =

Si el esfuerzo cortante en el fluido es proporcional a la velocidad de deformación, entonces:

…….. Es la Ley de Viscosidad de Newton para flujos laminares, unidimen- sionales y sin gradientes de presión.

El término (dv/dy) se denomina “gradiente de velocidad” y μ se denomina “viscosidad diná- mica” o “viscosidad absoluta” del fluido.

Unidades: En términos de fuerza: N.s /m^2 = Pa.s; lbf.s/pie^2 En términos de masa: kg / m.s = Poiseuille ; slug/pie.s; Poise = grm/cm.s = 1/10 Poiseuille

Valor típico: Para el agua a 20 ºC: μ = 1,002 x 10 -3Pa.s

F t V A h

d v

dY

V

h

τ = μ ^   

dl = V dt ....... e ( = V. t ) y tan( d θ )≈ d θ= dl h ⇒ dl = h d θ ⇒ V dt = h d θ

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p- presión absoluta del gas ∀- volumen que ocupa la masa m R- constante particular del gas T - temperatura absoluta

R* - constante universal de los gases M - peso molecular del gas

v - volumen específico.

Cuando la presión aumenta hasta un valor crítico, la ley de estado pierde validez.

La ecuación de estado comprende a su vez a las siguientes leyes:

• ley de Charles. A presión constante:

Equivalente a:

• ley de Boyle. A temperatura constante: p^ ρ = cte. ⇒ p 1 (^) ρ 2 = p 2 ρ 1
• ley de Gay-Lussac. A volumen constante: p^ T = cte. ⇒ p T 1 2 (^) = p T 2 1

Valores de las constantes R, R*, C (^) p y CV para el aire:

R aire = 287, 05 N m / Kg K = 1716 lbf pie / slug °R = 53 , 34 lbf pie / lbm °R

= 29, 3 kgf m / Kg K = 287,05 kgf m / UTM K

R* = 8 ,312 N m/mol K = 848 , 35 kgf m / mol. K = 1 545, 37 lbf pie / lbm mol °R

= 49 714,55 lbf pie / slug mol °R = 0,082 litro atm /mol K

Cp = 1004N m / Kg K = 6 006,78 lbf pie / slug °R= 0,24 BTU / lbm °R

Cv = 717, 4N.m / Kg. K = 4 279, 83 lbf pie / slug °R= 0,171 BTU / lbm °R

Cp, Cv - calor específico a presión y volumen constante respectivamente.

En general, para todos los gases: R = C (^) p – C (^) v

Valores de las constantes Cp y CV para el agua:

Cp = CV = 4187 J / Kg K = 1 BTU / lb (^) m °R = 25 028 ,26 lbf pie / slug ºR

Equivalencias: 1BTU = 1055 Joule = 778, 26 lbf pie.

V T = cte. ⇒ V T 1 2 = V T 1 1

ρ T = cte. ⇒ ρ 1 T 1 =ρ 2 T 2

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1.4.13. La ley isotrópica de los gases.

Un proceso isotrópico ocurre cuando una compresión o expansión de los gases se realiza sin fricción (reversible) y sin transferencia de calor (adiabático). Se cumple que:

. n C (^) p / Cv p v n^ = Cte ⇔ p ρ n = Cte con =

También, n= 0 para procesos isobáricos y n= 1 para procesos isotérmicos.

Para el aire: C p/Cv = 1,

1.4.14. El m ódulo de elasticidad volum étrica o m ódulo de com presibilidad elástica (E).

En la mayoría de los casos los líquidos pueden ser considerados incompresibles, salvo cuando los cambios de presión sean muy grandes o rápidos; en estos casos debe considerarse la compresibilidad del fluido. Si la presión aumenta en un ∆p, el fluido experimentará una disminución unitaria de volumen

• ∆∀ / ∀.El módulo de elasticidad volumétrica se define como:

dp

E K

d V

V

= − V

dp

d V

También, una disminución del volumen conlleva a un aumento de la densidad, por lo que el módulo de elasticidad se puede expresar como:

E = K = − V

dp

d V

d p

d

Unidades: N/ m^2 =Pa; lbf/ pie^2

A temperatura ambiente y presión atmosférica, el módulo de elasticidad volumétrica para el agua es E ≅ 310 000 lbf/ pulg^2 ≅ 2100 MPa.

Para un gas se cumple que la presión es una función de la densidad ρ y la temperatura T; entonces:

T

p p

dp d dT

T ρ

 ∂^  ^ ∂ 

Se define: E = ρ (∂p/∂ρ) (^) T ……módulo isotérmico del gas.

Para un gas ideal se cumple que p = ρ RT y para un proceso isotérmico

p

cte

= , entonces

E = ρ (∂p/∂ρ) T= p ; es decir, que el módulo isotérmico del gas es igual a la presión del gas.

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1.4.17. La tensión superficial (σ)

La tensión superficial es una propiedad que se manifiesta en la interface líquido – gas, en donde parece formarse una película o capa especial resistente originada por la atracción entre las moléculas del líquido situados por debajo de esta superficie (fuerzas cohesivas).

Las fuerzas cohesivas (atracción molecular entre moléculas semejantes) desde abajo exceden a las fuerzas adhesivas (atracción molecular entre moléculas diferentes) desde el gas, dando como resultado una tensión superficial. Esta es la razón por la cual una gota de agua adquiere una forma esférica, y los pequeños insectos pueden posarse en la superficie de un lago sin hundirse.

La propiedad de la película de ejercer una tensión superficial se define como la fuerza necesaria para mantener la unidad de longitud de la película en equilibrio. Para el agua: σ = 0,0726 N/m = 0,0074 kgf/m a 20 °C

Para una gota esférica de radio R, la presión necesaria para equilibrar la fuerza debida a la tensión superficial se calcula considerando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre semi- esférico.

Es decir:

Para una burbuja completa: F^ =^ p^ π^ R^2^^ =^ 2(2π^ R σ^ )^ ⇒^ p^ =^4 σ^ / R

De ambas ecuaciones se concluye que la presión interna en una burbuja es dos veces mayor que en una gota del mismo tamaño.

F = p π R^2^ = 2 π R σ ⇒ p = 2 σ / R

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1.4.18. La Capilaridad La atracción capilar se origina por la tensión superficial y por la relación entre las fuerzas de adhesión (líquido- sólido) y cohesión del líquido. Un líquido que “moja” al sólido presenta mayor fuerza de adhesión que de cohesión; en tal caso, la tensión superficial origina que el líquido se eleve dentro de un pequeño tubo capilar sumergido parcialmente dentro de él. En cambio, si el líquido “no moja” al sólido, la tensión superficial tiende a hacer descender al menisco del tubo; en este caso, la fuerza de cohesión es mayor que la fuerza de adhesión.

Y W =γ ∀=γ π R^2 h

Del equilibrio vertical: F σ^ cosα = W

⇒ 2 π σ R cosα=γ π R^2 h

Luego h =^2 σ^ cosα/^ γ R ..........Fórmula de Jurín.

F σ =σ 2 π R

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Este comportamiento es observado en líquidos y gases en las cercanías de sus puntos críti- cos(suspensiones coloidales, emulsiones, gels, etc.)

Pertenecen a este grupo:

A.2.1.Fluidos que se adelgazan al corte. Agrupa a todos los fluidos cuya viscosidad decrece con el incremento del esfuerzo cortante. Pertenecen a esta categoría:

• Fluido Plástico o Plástico ideal de Bingham. El esfuerzo cortante es linealmente dependiente del gradiente de velocidad a partir de un valor de fluencia. Por ejemplo son plásticos ideales: las pinturas, la pasta dental, la tinta de imprenta, los lodos de perforaciones y suspensiones de arcillas y talcos, etc.

τ = τ ο+μ ( dV / dY )

• Fluido Seudo plástico. La viscosidad decrece con el aumento del esfuerzo cortante sin nece- sidad de un valor de esfuerzo de fluencia. Por ejemplo la leche, la sangre, la gelatina, emul- siones (látex en caucho), soluciones de altos polímeros (caucho en tolueno),etc.

A.2.2.Fluidos que se espesan al corte o fluidos Dilatantes. Agrupa a los fluidos que presentan incremento de viscosidad con el aumento del esfuerzo cortante. Por ejemplo: las arenas mo- vedizas, soluciones concentradas de agua con azúcar, almidón al 40% (engrudos), suspensión de oleato con amonio al0.005N.

B.- Fluidos dependientes del tiempo (No Newtonianos)

Se caracterizan porque el gradiente de velocidad y la viscosidad dependen del esfuerzo cor-

tante como de la duración del mismo; es decir: (^ μ^ , dV^ / dY )^ = f (^ τ, t )

B.1. Fluidos que se adelgazan con el tiempo. Aquellos cuya viscosidad disminuye con el incremento del esfuerzo cortante y del tiempo. Pertenecen a esta clasificación, por ejemplo: las gelatinas, la miel de abeja, las pinturas, etc.

B.2. Fluidos que se espesan con el tiempo o Fluidos Viscoelásticos. Son fluidos cuya viscosidad aumenta con el incremento del esfuerzo cortante y del tiempo. Por ejemplo los plásticos a temperatura ambiente y bajo carga. Su comportamiento al escurrir libremente y en una licuadora se muestra en las figuras:

( /^ )^1

τ = μ dV dY n n <

( /^ )^1

τ = μ dV dY n n >

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1.5.1. Curvas Reológicas de los Fluidos

Reología es el estudio de las respuestas de los materiales a los esfuerzos de corte τ

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1.8. Un tanque rígido contiene aire inicialmente a 30 psia y 70 ºF. Un compresor añade 0, slugs de aire al tanque. Las condiciones finales en el tanque son de 65 psia y 75 ºF. Calcule el volumen del tanque. (^3) ∀ = 1 54, 70 pie

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CAP.II. HIDROSTATICA

2.1. Introducción La estática de fluidos es el estudio de los fluidos en los que no hay movimiento relativo entre sus partículas. Si no existe movimiento relativo, no existen esfuerzos cortantes puesto que no hay gradiente de velocidad (dV/dY). El único esfuerzo presente es el normal o de presión.

Comprende el estudio de tres situaciones definidas: fluidos en reposo; fluidos contenidos en depósitos que sufren aceleraciones lineales y fluidos contenidos en cilindros en rotación.

2.2. PRESIÓN EN UN PUNTO

La presión se define como la fuerza de compresión normal infinitesimal dividida entre el área infinitesimal sobre la que actúa; es decir:

0

n dA

dF

p lím

dA

2.2.1. Ley de Pascal. “En un punto de un fluido en reposo o en movimiento en ausencia de esfuerzos cortantes existe la misma presión en todas las direcciones”

Considérese el elemento en forma de cuña con profundidad unitaria en dirección Z. Supongamos que una presión “p” actúa sobre la hipotenusa y que una presión diferente actúa sobre las demás áreas, tal como se muestra en la figura:

Aplicando la segunda ley de Newton:

∑ Fx = max = 0 :

∑ Fy = may = 0 :

Pero, de la figura:

Sustituyendo:

p x = p y py = p , puesenlímite ∆ x .∆ y ≈ 0

⇒ p (^) y ∆ (^) x − γ ( ∆ ∆ x y / 2 (^) )− p ∆ s cos θ= 0

⇒ px ∆ y − p ∆ s sen θ= 0

∆ y = ∆ s sen θ y ∆ x = ∆ s cosθ