¡Descarga Ejercicios de Algebra Lineal - Prof. 2144 y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Algebra Lineal. Ing. Telecomunicaci´´ on
NOMBRE:
- (2’5 puntos) Se consideran los subespacios vectoriales de R^4 , que dependen del mismo par´ametro c ∈ R:
U = L{(1, 1 , 1 , 0), (0, 1 , 2 , c), (c, 1 , − 3 , 0)} ; W = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x−y+cz−t = 0; x−y+cz+t = 0}
Se pide:
(a) Hallar, en funci´on de c, una base y la dimensi´on de U y de W. (b) Calcular, en funci´on de c, la dimensi´on de U + W y la de U ∩ W. (c) Razonar si existen valores de c para los que W ⊂ U.
- (2’5 puntos)
(a) Discutir seg´un los valores de los par´ametros a, b y c la diagonalizaci´on por semejanza de la la matriz
A =
1 a 1 0 1 b 0 0 c
(b) Encontrar, si existe, una matriz invertible P tal que
P −^1
P =
- (2’5 puntos) Sea f : R^4 → R^4 la aplicaci´on lineal definida por
f (x, y, z, t) = (x − z, y + z + t, −x − ay, x + 2t), a ∈ R.
(a) Describir la matriz, A, de f respecto de la base can´onica de R^4. (b) Determinar los valores de a para los que f es biyectiva. (c) Calcular, para tales valores de a, la matriz inversa A−^1. (d) Determinar para a = 2 una base de Ker(f ) y otra de Im(f ).
- (2,5 puntos)
(a) Clasificar seg´un los valores del par´ametro a ∈ R la familia de formas cuadr´aticas
Φa(x, y, z) = x^2 + ay^2 + z^2 + 2axz.
(b) Calcular en R^3 el sim´etrico del vector (3, 2 , 1) respecto del plano x + 2y − 4 z = 0.
Soluci´on al Ejercicio 2.-
a) El polinomio caracter´ıstico de la matriz es
pA(x) = |A − xI 3 | =
1 − x a 1 0 1 − x b 0 0 c − x
= −(x − 1)^2 (x − c)
Se nos presentan dos posiblidades para los valores propios de A: Si c = 1, entonces hay un solo valor propio, el 1, con ma(1) = 3; y si c 6 = 1, entonces hay dos valores propios, el 1, con ma(1) = 2, y c, con ma(c) = 1. Discutimos ambos casos: Caso c = 1: La matriz ser´a diagonalizable si mg (A) = 3. Como mg (1) = dim V 1 = 3 − r(A − I 3 ), la matriz A ser´a diagonalizable cuando, y solo cuando, el rango de la matriz A − I 3 sea 0. Como
A − I 3 =
0 a 1 0 0 b 0 0 0
y su rango nunca es cero, la matriz A, en este caso c = 1, no es diagonalizable. Caso c 6 = 1: En este caso, tenemos que mg (c) = 1 = ma(c) y que ma(1) = 2. La matriz A ser´a diagonalizable si y solo si mg (A) = 2. Como mg (1) = dim V 1 = 3 − r(A − I 3 ), la matriz A ser´a diagonalizable exactamente cuando el rango de la matriz A − I 3 sea 1. Como
A − I 3 =
0 a 1 0 0 b 0 0 c − 1
y la ´ultima columna no es cero, vemos que su rango es uno si y solo si es a = 0. Luego en esta caso en que c 6 = 1, la matriz A es diagonalizable precisamente cuando a = 0. b) La matriz en cuesti´on es la matriz A cuando a = 0, b = 2 y c = 3. Por la discusi´on anterior, la matriz es diagonalizable, esto es, existe P invertible tal que
P −^1
P =
ya que 1 (con multiplicidad 2) y 3 son sus valores propios. Para encontrar P , buscamos bases de los subespacios de vectores propios: Como
A − I 3 =
(^) ∼f
es V 1 ≡ {z = 0 y una base de V 1 est´a formada por los vectores (1, 0 , 0), (0, 1 , 0). Como
A − 3 I 3 =
es V 3 ≡
2 x = z y = z
. Y una base de V 3 es la formada por el vectors (1, 2 , 2). Luego la matriz de
transici´on buscada es
P =
