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El tema 7 de diagonalización de matrices por semejanza, abordando los conceptos de valores y vectores propios, multiplicidad de un valor propio y el cálculo de vectores propios. Se incluyen ejemplos y ejercicios para ilustrar la teoría.
Tipo: Apuntes
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Diagonalizaci´on de matrices
Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
Definici´on Diremos que una matriz A ∈ Mn es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz regular P ∈ Mn tales que A = P · D · P −^1 A la matriz P se le denomina matriz de paso.
Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn podemos calcular las potencias de A de manera inductiva: A^2 = A · A, A^3 = A · A^2 ,... , Ak^ = A · Ak−^1 Pero cuando A = D es diagonal, podemos calcular sus potencias de un modo m´as sencillo:
Si D =
λ 1 0 · · · 0 0 λ 2 · · · 0 ... ...... ... 0 0 · · · λn
=⇒^ Dk^ =
λk 1 0 · · · 0 0 λk 2 · · · 0 ... ...... ... 0 0 · · · λkn
Si A es diagonalizable, entonces: A^2 = P DP −^1 P DP −^1 = P D^2 P −^1 ,... , Ak^ = P DkP −^1
Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
Definici´on Dada una matriz A ∈ Mn y dado λ ∈ R, diremos que λ es un valor propio (o un autovalor) de A si existe un vector no nulo v ∈ Rn^ tal que Av = λv En tal caso diremos que v es un vector propio (o un autovector) de A. Ejemplo Dada A =
y los vectores v 1 = (1, −2), v 2 = (2, 3) y v 3 = (1, 1). ¿Cu´ales son vectores propios?
Sea p(λ) el polinomio caracter´ıstico de una matriz A y sean λ 1 ,... , λr los valores propios de A. Si podemos factorizar p(λ) = (λ − λ 1 )m^1 · · · (λ − λr)mr
Definici´on Llamamos multiplicidad del valor propio λj al exponente mj.
Diremos que λj es una ra´ız simple de p(λ) si mj = 1. Diremos que λj es una ra´ız m´ultiple de p(λ) si mj > 1.
Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
Si λ es un valor propio de A, v es un vector propio asociado a λ si es no nulo y verifica: Av = λv ⇐⇒ Av − λv = 0 ⇐⇒ (A − λI)v = 0
Los valores propios de la matriz A =
son λ = 1 y λ = 4. Calculamos ahora sus vectores propios. Vectores propios asociado a λ = 1: (A−I)X = 0 ⇐⇒
) (x y
⇐⇒ (^) − 2 xx + 2^ −^ yy^ = 0= 0
(x, y) = (α, α) = α(1, 1) Vectores propios asociados a λ = 4: (A− 4 I)X = 0 ⇐⇒
) (x y
⇐⇒ − −^22 xy −−^ yy^ = 0= 0
(x, y) = (α, − 2 α) = α(1, −2) Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
Definici´on Si λ ∈ R es un valor propio de una matriz A, el conjunto Eλ = {X ∈ Rn^ / (A − λI)X = 0} recibe el nombre de subespacio propio de A (asociado al valor propio λ). Se llama dimensi´on del subespacio a dim(Eλ) = n − rango(A − λI) Nota La dimensi´on del subespacio propio coincide con el n´umero de par´ametros que aparecen al resolver el sistema (A − λI)X = 0. Si λ es un valor propio, el sistema tiene que ser compatible indeterminado, as´ı que la dimensi´on siempre es al menos uno.
Ejemplos La matriz A 1 =
vimos que ten´ıa valores propios complejos por lo que no es diagonalizable. La matriz A 2 =
tiene un valor propio λ = 3 con multiplicidad m 3 = 2. dim(E 3 ) = 2 − rango(A 2 − 3 I) = 2 − rango
Como dim(E 3 ) 6 = m 3 , la matriz A 2 no es diagonalizable.
Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
Ejemplos La matriz A 3 =
vimos que ten´ıa dos valores propios reales y simples (λ = 2 y λ = 3) por lo que es diagonalizable. v 1 = (1, −2) es un vector propio asociado a λ = 2 v 2 = (1, −3) es un vector propio asociado a λ = 3. Entonces A 3 = P.D.P −^1 donde
D =
Estudiemos si es diagonalizable la matriz A =
En primer lugar calculamos los valores propios: ∣∣ ∣∣ ∣∣
1 − λ 0 1 0 1 − λ 1 0 0 3 − λ
∣∣ = (1−λ)(1−λ)(3−λ) =^ −(λ−1)^2 (λ−3) = 0
Los valores propios son: λ = 1 con multiplicidad m 1 = 2 λ = 3 con multiplicidad m 3 = 1.
Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
En segundo lugar calculamos la dimensi´on de los subespacios propios: dim(E 1 ) = 3 − rango(A − I) = 3 − rango
⇒ dim(E 1 ) = m 1 = 2
dim(E 3 ) = 3 − rango(A − 3 I) = 3 − rango
⇒ dim(E 3 ) = m 3 = 1. Entonces: (^1) Todas las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica son reales. (^2) m 1 = dim(E 1 ), m 3 = dim(E 3 ). Por tanto la matriz A es diagonalizable
Estudiemos si es diagonalizable la matriz A =
En primer lugar calculamos los valores propios: ∣∣ ∣∣ ∣∣
− 4 − λ 3 1 − 5 4 − λ 1 − 14 8 4 − λ
∣∣ =^ −λ^3 + 4λ^2 −^5 λ^ + 2 = 0
Los valores propios son: λ = 1 con multiplicidad m 1 = 2 λ = 2 con multiplicidad m 2 = 1.
Tema 7: Diagonalizaci´on de matrices por semejanza
Diagonalizaci´on de matrices Valores y vectores propiosDiagonalizaci´on
En segundo lugar calculamos la dimensi´on de los subespacios propios:
dim(E 1 ) = 3 − rango(A − I) = 3 − rango
Como dim(E 1 ) = 1 6 = m 1 = 2, la matriz A no es diagonalizable.
Ejercicios Determina si las siguientes matrices son diagonalizables, y en caso de serlo, diagonal´ızalas:
A 1 =
