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Tema 4
Series de Potencias
Una expresi´on de la forma
a 0 + a 1 (x − c) + a 2 (x − c)^2 +... + an(x − c)n^ +... =
∑^ +∞
n=
an(x − c)n
recibe el nombre de serie de potencias centrada en c.
Una serie de potencias puede ser interpretada como una funci´on de x
f (x) =
∑^ +∞
n=
an(x − c)n
cuyo dominio es el conjunto de los x ∈ R para los que la serie es convergente y el valor de f (x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. M´as a´un, su funci´on derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista m´as pr´actico, las series de potencias aproximan a su funci´on suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es m´as que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximaci´on a la funci´on suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura, Fig. 4.1,
puede verse la funci´on f (x) = ex^ junto con algunas aproximaciones mediante
sumas parciales de su serie de potencias.
Figura 4.1: Aproximaci´on a ex^ por su serie de potencias
4.1. Radio de convergencia
Nuestro objetivo ahora ser´a determinar el dominio de una serie de potencias. Por una parte est´a claro que el centro c siempre est´a en el dominio ya que
f (c) =
n=
an(c − c)n^ = a 0
Puede ocurrir que la serie s´olo sea convergente en x = c, pero, en general,
Si existe l´ım n
√ n |an| = A ⇒ R = 1 A
Si existe l´ım n
|an+1| |an|
= A ⇒ R =
A
La utilizaci´on de un criterio u otro depender´a de la forma que tenga el t´ermino an.
Ejemplo 4.1 Considera la serie de potencias
1 + x + (2!)x^2 + (3!)x^3 +... + (n!)xn^ +... =
n=
(n!)xn
En esta serie an = n! de donde
A = l´ım n
|an+1| |an|
= l´ım n
(n + 1)! n!
= l´ım n (n + 1) = +∞ ⇒ R = 0
As´ı pues, la serie s´olo converge en x = 0.
Ejemplo 4.2 Sea la serie de potencias
∑^ +∞
n=
n^2 n+ 2 n^2 +^
xn. Para calcular su radio
de convergencia llamamos an =
n^2 n+ 2 n^2 +^
y obtenemos
A = l´ım n^ n
|an| = l´ım n^ n
n^2 n+ 2 n^2 +^
= l´ım n
n2+^
1 n 2 n+^
1 n
= 0 ⇒ R = +∞
As´ı pues, la serie es convergente para cualquier valor de x ∈ R. Luego el intervalo de convergencia es I = R =] − ∞, +∞[.
Ejemplo 4.3 Sea la serie de potencias
n=
n^3 4 n^
xn. Para calcular su radio de
convergencia llamamos an =
n^3 4 n^
y obtenemos
A = l´ım n
√ n |an| = l´ım n
n
n^3 4 n^
= l´ım n
( n
n)^3 4
⇒ R = 4
As´ı pues, la serie es (absolutamente) convergente si |x| < 4 y divergente si |x| > 4. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo ser´a necesario hacer el estudio particular.
x = 4 ⇒
n=
n^3 4 n^
4 n^ =
n=
n^3 (divergente)
x = − 4 ⇒
n=
n^3 4 n^
(−4)n^ =
n=
(−1)nn^3 (divergente)
Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I =] − 4 , 4[.
Ejemplo 4.4 Sea la serie de potencias
∑^ +∞
n=
xn n
. Para calcular su radio de
convergencia llamamos an =
n
y obtenemos
A = l´ım n
√ n|an| = l´ım n
n
n
= l´ım n
√ nn = 1 ⇒ R = 1
As´ı pues, la serie es (absolutamente) convergente si |x| < 1 y divergente si |x| > 1. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo ser´a necesario realizar el estudio particular.
x = 1 ⇒
n=
1 n n
n=
n
(divergente)
x = − 1 ⇒
n=
(−1)n n
(convergente)
Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I = [− 1 , 1[.
Ejercicio 4.1 Calcula el radio de convergencia de la serie
n=
(2x)n n^2
(Sol.: R =
Ejemplo 4.5 Sea la serie de potencias
n=
n^3 4 n^
x^2 n. Como las potencias no
son consecutivas, no puede aplicarse directamente el criterio del teorema de Cauchy-Hadamard. Realizaremos, previamente, un cambio de variable.
+∑∞
n=
n^3 4 n^
x^2 n^ =
∑^ +∞
n=
n^3 4 n^
(x^2 )n^ =
n=
n^3 4 n^
tn
para esta ´ultima calculamos el radio de convergencia, llamando an =
n^3 4 n^
, y
obtenemos R = 4 (es justo el Ejemplo 4.3).
As´ı, +∑∞
n=
n^3 4 n^
tn^ es convergente para |t| < 4 ,
por lo que, deshaciendo el cambio,
∑^ +∞
n=
n^3 4 n^
(x^2 )n^ es convergente para |x^2 | < 4 ,
es decir, +∑∞
n=
n^3 4 n^
x^2 n^ es convergente para |x| < 2 ,
y concluimos que el radio de convergencia es R = 2. Faltar´ıa estudiar el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo, pero ´esto se deja como ejercicio al lector.
Ejercicio 4.8 Calcula el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑^ +∞
n=
n n + 1
(− 2 x)n−^1.
(Sol.: I =] −
[ )
Ejercicio 4.9 Calcula el intervalo de convergencia de la serie
n=
(−1)nx^2 n n!
(Sol.: I = R )
4.2. Propiedades
Hemos visto que una serie de potencias define una funci´on en un intervalo. Veremos ahora que propiedades cumple esta funci´on.
Teorema 4.3 Sea f (x) la funci´on definida como una serie de potencias
f (x) =
∑^ +∞
n=
an(x − c)n^ con radio de convergencia R > 0. Entonces,
- f es continua en todo punto interior del intervalo de convergencia.
- f es derivable en todo punto interior del intervalo de convergencia y, adem´as,
f ′(x) =
∑^ +∞
n=
nan(x − c)n−^1
teniendo esta ´ultima serie radio de convergencia R (derivaci´on t´ermino a t´ermino).
- f es integrable en el intervalo de convergencia y, adem´as, ∫ f (x)dx =
n=
(an(x − c)n)dx =
n=
an n + 1
(x − c)n+1^ + C
teniendo esta ´ultima serie radio de convergencia R (integraci´on t´ermino a t´ermino).
Ejemplo 4.6 Consideramos la funci´on f (x) =
n=
xn n
Hemos visto en un ejemplo anterior que el intervalo de convergencia era [− 1 , 1[.
Entonces la funci´on derivada puede calcularse derivando t´ermino a t´ermino:
f ′(x) =
n=
n
xn−^1 n
n=
xn−^1
Sabemos, por la propiedad anterior, que el radio de convergencia para esta nueva serie contin´ua siendo R = 1. Veamos qu´e ocurre en los extremos del intervalo:
f (x) dx,incluyendo el estudio de los puntos extremos.
(Sol.: I =]0, 10] para f y f ′; I = [0, 10] para
f )
Ejercicio 4.11 Siendo f (x) la funci´on definida por la serie de potencias ∑^ +∞
n=
(−1)n (n + 1)(n + 2)
xn, calcula el intervalo de convergencia de f (x), f ′(x) y ∫
f (x) dx,incluyendo el estudio de los puntos extremos.
(Sol.: I = [− 1 , 1] para f y
f ; I =] − 1 , 1] para f ′^ )
Ejercicio 4.12 Siendo f (x) la funci´on definida por las serie de potencias ∑^ +∞
n=
(−1)n+1x^2 n−^1 2 n − 1
, calcula el intervalo de convergencia de f (x), f ′(x) y ∫
f (x) dx, incluyendo el estudio de los puntos extremos.
(Sol.: I = [− 1 , 1] para f y
f ; I =] − 1 , 1[ para f ′^ )
Otras propiedades interesantes son las siguientes.
Teorema 4.4 Sean f (x) =
n=
an(x − c)n^ y g(x) =
n=
bn(x − c)n^ definidas
en el mismo intervalo I. Entonces,
- f (x) + g(x) =
∑^ +∞
n=
(an + bn)(x − c)n, ∀x ∈ I
- αf (x) = α
n=
an(x − c)n^ =
n=
αan(x − c)n, ∀x ∈ I
En el caso de series de potencia centradas en c = 0, se cumple adem´as
Teorema 4.5 Sea f (x) =
∑^ +∞
n=
anxn^ definida en el intervalo I. Entonces,
- f (αx) =
n=
an(αx)n^ =
n=
anαnxn, ∀x / αx ∈ I
- f (xN^ ) =
n=
an(xN^ )n^ =
n=
anxN n, ∀x / xN^ ∈ I
Ejemplo 4.7 Calcular una primitiva de la funci´on f (x) = ex
2 .
Soluci´on: Sabemos que ex^ =
n=
xn n!
. Entonces aplicando la proposici´on
anterior:
ex
2
∑^ +∞
n=
(x^2 )n n!
∑^ +∞
n=
x^2 n n!
Ahora, integrando
∫
ex
2 dx =
n=
x^2 n n!
dx =
∑^ +∞
n=
x^2 n+ (2n + 1)n!
+ C
En particular, F (x) =
n=
x^2 n+ (2n + 1)n!
es una primitiva de ex^2.
4.3. Desarrollo de funciones en serie de potencias
Hemos visto que una serie de potencias define una funci´on en un intervalo I. Se aborda ahora el problema contrario. Dada una funci´on f (x) se trata de encontrar un serie de potencias
+∑∞
n=
an(x − c)n
Los t´erminos Tn(x) forman un polinomio de grado n a lo sumo, llamado polinomio de Taylor, mientras que el ´ultimo t´ermino Rn(x) se llama el resto de Lagrange.
Este teorema permite aproximar el valor de una funci´on mediante un poli- nomio.
Ejemplo 4.8 Aproxima la funci´on f (x) =
1 + x
mediante un polinomio
de grado 3. Utiliza dicho polinomio para aproximar
. Da una cota del
error cometido.
Soluci´on:
- Basta calcular las derivadas hasta el orden 4. Tomaremos como punto de c´alculo el valor a = 0.
f (x) = (1 + x)−^1 /^2 ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = −
(1 + x)−^3 /^2 ⇒ f ′(0) = −
f ′′(x) =
(1 + x)−^5 /^2 ⇒ f ′′(0) =
f ′′′(x) = −
(1 + x)−^7 /^2 ⇒ f ′′′(0) = −
f (4)(x) =
(1 + x)−^9 /^2 ⇒ f (4)(ξ) =
(1 + ξ)−^9 /^2
Finalmente,
f (x) ≈ T 3 (x) = f (0) + f ′(0)x +
f ′′(0) 2!
x^2 +
f ′′′(0) 3!
x^3
por lo que,
f (x) ≈ 1 −
x 2
3 x^2 8
15 x^3 48
- Como
= f (0,2) basta tomar x = 0,2 en el polinomio anterior. Por tanto,
√^1
3(0,2)^2
15(0,2)^3
- El error viene dado por el t´ermino
|ǫ| =
∣∣^ f^
(^4) (ξ) 4!
x^4
siendo x = 0,2 y 0 < ξ < 0 ,2. Podemos escribir, pues,
|ǫ| =
∣∣^105
4! · 16(1 + ξ)^9 /^2
(0,2)^4
4 384(1 + ξ)^9 /^2 Ahora hay que eliminar ξ de la f´ormula anterior acotando la funci´on por su valor m´aximo (en este caso, se trata de escribir el denominador m´as peque˜no posible, teniendo en cuenta que 0 < ξ < 0 ,2 ):
|ǫ| =
105(0,2)^4
384(1 + ξ)^9 /^2
105(0,2)^4
La aproximaci´on es regular (2 o 3 cifras exactas).
Ejercicio 4.13 Aproxima la funci´on f (x) = x sin x mediante un polinomio
de grado no mayor que 3. Utiliza dicho polinomio para aproximar
sin
con dos decimales de exactitud. Justifica la exactitud obtenida.
(Sol.: f (x) ≈ x^2 ; 13 sin
3
≈ 0 ,11; Error < 0 ,00257) )
Hemos visto que si una funci´on admite desarrollo en serie de potencias, esta serie debe ser necesariamente su correspondiente serie de Taylor. No obstante, la serie de Taylor de f en c no tiene porque tener de suma a la propia funci´on f. Para garantizarlo tenemos el siguiente resultado.
Teorema 4.8 Si f es una funci´on indefinidamente derivable en un intervalo abierto centrado en c y si Rn(x) representa el resto de Lagrange de la f´ormula de Taylor, entonces
f (x) =
n=
f (n)(c) n!
(x − c)n^ ⇔ l´ım n Rn(x) = 0
Para esta ´ultima serie, llamando an =
(−1)n (2n + 1)!
se tiene
A = l´ım n
|an+1| |an|
= l´ım n
(2n + 1)! (2n + 3)!
= l´ım n
(2n + 3)(2n + 2)
= 0 ⇒ R = +∞
Es decir, la serie converge ∀t ∈ R. Entonces, deshaciendo el cambio, la serie original es convergente ∀x^2 ∈ R, o sea, ∀x ∈ R.
Falta demostrar que la serie suma exactamente sin x, es decir,
∑^ +∞
n=
(−1)nx^2 n+ (2n + 1)!
= sin x ∀xǫR
Ahora bien, como
|f (n)(x)| ≤ 1 , ∀x ∈ R, n = 0, 1 ,...
basta aplicar el Corolario 4.9 para concluir que
sin x =
n=
(−1)nx^2 n+ (2n + 1)!
, x ∈ R
De forma similar se prueba que
cos x =
n=
(−1)nx^2 n (2n)!
, x ∈ R
ex^ =
∑^ +∞
n=
xn n!
, x ∈ R
(1 + x)α^ =
∑^ +∞
n=
α n
xn, |x| < 1 (serie bin´omica).
siendo α ∈ R y
( α 0
α n
α(α − 1)
n factores · · · (α − (n − 1)) n!
, si n ≥ 1
4.3.2. Otros desarrollos
En general, el m´etodo de calcular la serie de Taylor no resulta muy opera- tivo, dada la dificultad de encontrar la derivada n–´esima, o aunque esto sea posible, la dificultad de demostrar que l´ım n Rn(x) = 0.
Veremos ahora otros procedimientos para encontrar el desarrollo de una fun- ci´on en serie de potencias. B´asicamente se trata de obtener por derivaci´on, integraci´on o transformaciones elementales una funci´on de la cual conozca- mos su desarrollo.
Ejemplo 4.10 Desarrollo en serie de potencias de la funci´on f (x) =
1 + x
Soluci´on: Recordemos que para una serie geom´etrica:
∑^ +∞
n=
xn^ =
1 − x
, |x| < 1
Por tanto,
1 1 + x
1 − (−x)
∑^ +∞
n=
(−x)n^ =
n=
(−1)nxn, |x| < 1
Este problema tambi´en se podr´ıa haber resuelto teniendo en cuenta que
1 1 + x
= (1 + x)−^1
que corresponde a una serie bin´omica de exponente α = −1 y aplicando el desarrollo conocido (p´ag. 92) se llega a la misma conclusi´on sin m´as que tener en cuenta que
n
= (−1)n.
Ejemplo 4.11 Desarrollo de f (x) = log x
Soluci´on: Recordemos que la serie bin´omica de exponente α = −1 verifica
+∑∞
n=
(−1)nxn^ =
1 + x
, |x| < 1
x = 2 ⇒
∑^ +∞
n=
(−1)n n + 1
(2 − 1)n+1^ =
∑^ +∞
n=
(−1)n n + 1
que es convergente.
Pero, ¿podemos afirmar que en x = 2 la serie suma exactamente log 2? En general, la respuesta es no. El teorema que veremos a continuaci´on nos dar´a una condici´on suficiente para que podamos garantizarlo.
Teorema 4.10 (Abel) Sea f (x) =
∑^ +∞
n=
an(x − c)n, |x − c| < R.
Si f es continua en c + R y la serie es convergente en x = c + R entonces se verifica que
f (c + R) =
∑^ +∞
n=
an(c + R − c)n^ =
n=
anRn
An´alogamente para el extremo inferior: si f es continua en c − R y la serie es convergente en x = c − R entonces se verifica que
f (c − R) =
n=
an(c − R − c)n^ =
∑^ +∞
n=
an(−R)n
Ejemplo 4.12 Volviendo al ejemplo anterior, hab´ıamos visto que
log x =
n=
(−1)n n + 1
(x − 1)n+1, |x − 1 | < 1
Ahora, la serie es convergente en x = 2 y la funci´on f (x) = log x es continua en x = 2, entonces aplicando el teorema de Abel resulta que
log 2 =
n=
(−1)n n + 1
Ejercicio 4.14 Desarrolla en serie de potencias centrada en c = 0 la funci´on 3 x + 2
(Sol.:
n=
)n xn^ |x| < 2 )
Ejercicio 4.15 Desarrolla en serie de potencias centrada en c = 0 la funci´on
−
(1 + x)^2
(Sol.:
∑^ +∞
n=
(−1)nnxn−^1 |x| < 1 )
Ejercicio 4.16 Desarrolla en serie de potencias centrada en c = 0 la funci´on 2 (1 + x)^3
(Sol.:
∑^ +∞
n=
(−1)nn(n − 1)xn−^2 |x| < 1 )
Ejercicio 4.17 Desarrolla en serie de potencias centrada en c = 0 la funci´on log(x + 1).
(Sol.:
n=
(−1)n n + 1
xn+1^ x ∈] − 1 , 1] )
Ejercicio 4.18 Desarrolla en serie de potencias centrada en c = 0 la funci´on 1 4 x^2 + 1
(Sol.:
n=
(−1)n 4 nx^2 n^ |x| <
Ejercicio 4.19 Desarrolla en serie de potencias centrada en c = 0 la funci´on cos x.
(Sol.:
n=
(−1)n (2n)!
x^2 n^ )
