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Tema 2: SíTema 2: Síntesis de funciones lntesis de funciones lóógicasgicas
2.1. Simplificació 2.1. Simplificación de funciones ln de funciones lóógicasgicas
2.2. Mé2.2. Método detodo de KarnaughKarnaugh
2.3. Funciones incompletamente especificadas2.3. Funciones incompletamente especificadas
SISTEMAS DIGITALESSISTEMAS DIGITALES –– LLóógicagica CombinacionalCombinacional
2.1. Simplificaci2.1. Simplificacióón de funciones ln de funciones lóógicasgicas
Hemos visto como cualquier función lógica puede expresarse, a través de las operaciones del álgebra de boole, mediante dos formas de expresión: suma de productos canónicos y producto de sumas canónicas. Puesto que disponemos de los componentes electrónicos que realizan estas operaciones básicas, es posible implementar una función de conmutación mediante un circuito electrónico construido con puertas lógicas. El número de componentes dependerá de la complejidad de la expresión que queramos implementar. La simplificación de una función consiste en encontrar una expresión equivalente para dicha función, en la que el número de operaciones sea mínimo. Este proceso constituye una fase fundamental en el diseño de circuitos lógicos, puesto que permite reducir el número de componentes necesarios para construir el circuito que implementa una función.
Cualquier función lógica puede simplificarse a través de los postulados y teoremas del álgebra de Boole. Por ejemplo, f ( a,b,c ) = ac + ab + b + c = a ( b+c ) + ( b+c ) = ( a+ 1)( b+c ) =b+c. No obstante, este método no es sencillo de aplicar y no asegura que se obtenga finalmente una expresión mínima. Por este motivo se han diseñado métodos sistemáticos que proporcionan una expresión óptima para cualquier función del álgebra de conmutación. El más popular es el método de Karnaugh, que se presenta a continuación.
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Para utilizar este método es necesario representar la función a simplificar en una estructura denominada mapa de Karnaugh. Un mapa de Karnaugh es un diagrama compuesto por tantas celdas como combinaciones distintas se puedan realizar de las variables de la función. Cada celda está asociada con una combinación de las variables y en ella debemos anotar el valor que toma la función para dicha combinación. Para construir el mapa hay que tener en cuenta que las celdas que se encuentren adyacentes (contiguas o simétricas en horizontal y vertical) sólo pueden diferenciarse en el valor de una de las variables de la función.
(^1) f 4 f 5 f 7 f 6
(^0) f 0 f 1 f 3 f 2
a \bc^00011110
Mapa de Karnaugh para f ( a , b , c )
(^11) f 12 f 13 f 15 f 14
(^01) f 4 f 5 f 7 f 6
(^10) f 8 f 9 f 11 f 10
(^00) f 0 f 1 f 3 f 2
ab\cd^00011110
Mapa de Karnaugh para f ( a , b , c,d )
2.2. M2.2. Méétodo detodo de KarnaughKarnaugh
(^10) f 8 f 9 f 11 f 10 10 f 24 f 25 f 27 f 26
f 14
f 6
f 2
10
11
01
00
bc \
de
a =
f 28
f 20
f 16
00
f 29
f 21
f 17
01
f 31
f 23
f 19
11
(^11) f 12 f 13 f 15 f 30
(^01) f 4 f 5 f 7 f 22
a =
(^00) f 0 f 1 f 3 f 18
bc \de^00011110
Mapa de Karnaugh para f ( a , b , c,d,e )
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EjemplosEjemplos
- f ( a,b,c ) = ∑m(0,2,3,5)
a\bc^00011110
f ( a , b , c )= a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ c + a ⋅ b
- f ( a,b,c ) = ∏M(0,2,3,7)
a\bc^00011110
f ( a , b , c )=( a + c )⋅( b + c )
2.2. M2.2. Méétodo detodo de KarnaughKarnaugh
- f ( a,b,c,d ) = ∏M(1,2,10,11,14,15)
01
ab\cd^00011110
f ( a , b , c , d )=( a + b + c + d )⋅( b + c + d )⋅( a + c )
- f ( a,b,c,d ) = ∑m(0,1,3,4,6,12,14)
10
ab\cd^00011110
f ( a , b , c , d )= a ⋅ b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ d + b ⋅ d
9
- f ( a,b,c,d,e ) = ∑m(4,6,12,13,14,18,22,23,29,31)
f ( a , b , c , d , e )= a ⋅ c ⋅ e + b ⋅ c ⋅ d ⋅ e + a ⋅ c ⋅ d ⋅ e + a ⋅ b ⋅ d ⋅ e
10 10
10
11
01
00
bc \
de
a =
00
01
11
a =
bc \de^00011110
2.2. M2.2. Méétodo detodo de KarnaughKarnaugh
- f ( a,b,c,d,e ) = ∏M(0,1,4-6,10,11,14,16,20,22,28,30)
f ( a , b , c , d , e )=( a + b + d )⋅( a + b + c + d )⋅( b + d + e )⋅( c + d + e )⋅( a + c + e )
10
11
01
00
bc \
de
a =
00 01 11
a =
00 01 11 10
bc \
de
2.3. Funciones incompletamente especificadas2.3. Funciones incompletamente especificadas
EjemplosEjemplos
- f ( a,b,c,d ) = ∏M(0,1,4,8,9,14,15)·d(2,3,6,7,12,13)
11 X X 0 0
010 X X
0000 X X
ab\cd^00011110
f ( a , b , c , d )=( c + d )⋅( a + b )⋅( b + c )
- f ( a,b,c,d ) = ∑m(3,10,15)+d(0,1,7,8,9,11)
01 X
10 X X X 1
00 X X 1
00 01 11 10
ab\
cd
f ( a , b , c , d )= a ⋅ b + c ⋅ d
