Señales y Sistemas I
Transformada de Fourier
Antonio Bonafonte
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
con la colaboración de Asunción Moreno
Otoño 2010
v. (14 de octubre de 2010)
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
SIS1-apuntes4, Apuntes de Análisis de Circuitos Electrónicos
Asignatura: S, Profesor: , Carrera: Enginyeria de Sistemes Electrònics, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 81
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Vista previa parcial del texto
¡Descarga SIS1-apuntes4 y más Apuntes en PDF de Análisis de Circuitos Electrónicos solo en Docsity!
Señales y Sistemas I
Transformada de Fourier
Antonio Bonafonte
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
con la colaboración de Asunción Moreno
Otoño 2010
v. (14 de octubre de 2010)
ii
- Transformada de Fourier
- 2.1. Series y Transformada de Fourier
- 2.1.1. Autofunciones de los S.L.I.
- 2.1.2. Series de Fourier
- 2.1.3. Transformada de Fourier
- 2.1.4. Representación de la Transformada de Fourier.
- 2.1.5. Aplicación a S.L.I.
- 2.2. Convergencia de la transformada de Fourier
- 2.2.1. Convergencia puntual
- 2.2.2. Convergencia cuadrática
- 2.3. Generalización de la transformada de Fourier
- 2.4. Propiedades
- Linealidad
- Simetrías: paridad
- Hermicidad
- Convolución
- Dualidad
- Retardo
- Producto
- Modulación
- Escalado
- Derivación
- Multiplicación por t
- Integración
- Teorema de Parseval
- 2.5. Transformada de Fourier de señales periódicas.
- 2.5.1. De series de Fourier a transformada de Fourier.
- 2.5.2. De la transformada de Fourier a las series de Fourier. iv ÍNDICE GENERAL
- 2.5.3. Fórmula de Poisson
- 2.6. Muestreo
- 2.6.1. Muestreo ideal
- 2.6.2. Interpolación en el muestreo ideal
- 2.6.3. Muestreo real
- 2.7. Limitación en tiempo y en frecuencia
- 2.7.1. Limitación en banda: efecto en las discontinuidades
- 2.7.2. Enventanado
- 2.8. Resumen de Transformadas de Fourier y Propiedades
- 2.9. Problemas propuestos
Capítulo 2
Transformada de Fourier
En el tema I, vimos que, como cualquier señal x(t) puede ponerse como combinación lineal de funciones δ(t) y δ(t−t 0 ), el conocimiento de h(t) = T [δ(t)] caracteriza a cualquier sistema lineal e invariante. Sin embargo, la función δ(t), desde el punto de vista experimental, no es muy práctica: no es fácil generar una señal (asociada a una magnitud física) tal que su duración tienda a cero y su amplitud a infinito. Además, muchos sistemas sólo se comportan como lineales e invariantes para un rango limitado de amplitudes.
Vamos a estudiar ahora la respuesta de un S.L.I. a una función exponencial compleja est, (s complejo) y en particular la respuesta a las exponenciales imaginarias (ej^2 πf t). Veremos en este tema, de la mano de las series y transformadas de Fourier, como la mayoría de las señales de interés pueden representarse como combinaciones lineales de exponenciales complejas. Por tanto, la respuesta de un S.L.I. a las exponenciales complejas nos servirá para conocer la respuesta a cualquiera de estas señales. Podríamos utilizar funciones senoidales, en vez de exponenciales complejas, pero estas últimas simplifican el tratamiento matemático.
Aunque estamos introduciendo la transformada de Fourier para caracterizar los S.L.I., esta es sólo una de las motivaciones. La transformada de Fourier nos permitirá analizar las señales desde un punto de vista distinto, facilitando la comprensión de muchos procedimientos utilizados en telecomunicaciones, tales como la modulación, la multiplexación, o la representación digital de las señales.
Además, la transformada de Fourier nos proporcionará las primeras herramientas para la síntesis de sistemas: en el tema 1, aprendimos a analizar sistemas, por ejemplo, determinar la respuesta de S.L.I. a entradas, mediante la convolución. Sin embargo, no podemos deconvolucionar, es decir, buscar la respuesta impulsional que ha de tener un sistema para que transforme una entrada en una salida.
2.1. Series y Transformada de Fourier
En este apartado se definirán las series y la transformada de Fourier. En primer lugar, en el apartado 2.1.1 veremos cuál es la respuesta de un sistema lineal e invariante a la exponencial compleja ej^2 πf^0 t^ y, a partir del resultado, la respuesta a funciones como el cos(2πf 0 t), que son combinanción lineal de exponenciales complejas, para distintos valores de f 0.
En el apartado 2.1.2 veremos como las series de Fourier permiten expresar señales periódicas
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 3
H(f ) es una función compleja de variable real (el resultado de la integral es un número complejo y f es real) y se conoce como la transformada de Fourier de h(t). En general, la transformada de Fourier de x(t), que llamaremos X(f ) se define como
X(f ) = F {x(t)} =
−∞
x(t)e−j^2 πf tdt (2.4)
Respuesta a una señal senoidal
Ahora que ya sabemos como afecta a una exponencial imaginaria el paso por un sistema lineal e invariante, podemos ver cual es el efecto de cualquier señal que sea combinación lineal de exponenciales imaginarias.
Estudiemos primero un caso concreto, en el que la señal sea una senoidal. Sea un sistema lineal e invariante caracterizado por su respuesta impulsional h(t), y sea H(f ) la transformada de Fourier de h(t). A el sistema se le aplica una señal senoidal x(t) = cos(2πf 0 t).
Expresemos x(t) como combinación lineal de exponenciales imaginarias:
x(t) = cos(2πf 0 t) =
ej^2 πf^0 t^ +
e−j^2 πf^0 t
x(t) es combinación lineal de dos exponenciales imaginarias ej^2 πf t^ y la salida será la combinación lineal de las mismas exponenciales afectadas, por la constante H(f ):
y(t) =
H(f 0 )ej^2 πf^0 t^ +
H(−f 0 )e−j^2 πf^0 t
Asumiendo que h(t) es real, H(f 0 ) y H(−f 0 ) están relacionados por la propiedad de la hermicidad de la transformada de Fourier: H(−f 0 ) = H∗(f 0 ). En efecto:
H∗(f 0 ) =
−∞
h(t)e−j^2 πf^0 tdt
−∞
h∗(t)
e−j^2 πf^0 t
dt = {h(t) = h∗(t) por ser real}
−∞
h(t)ej^2 πf^0 tdt =
−∞
h(t)e−j^2 π(−f^0 )tdt = H(−f 0 )
Por lo que
H(f 0 ) = |H(f 0 )| ej∠H(f^0 ) H(−f 0 ) = |H(f 0 )| e−j∠H(f^0 )
4 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
y la salida, y(t), es
y(t) =
|H(f 0 )| ej∠H(f^0 )ej^2 πf^0 t^ +
|H(f 0 )| e−j∠H(f^0 )e−j^2 πf^0 t
= |H(f 0 )|
ej(2πf^0 t+∠H(f^0 ))^ +
e−j(2πf^0 t+∠H(f^0 ))
= |H(f 0 )| cos(2πf 0 t + ∠H(f 0 ))
Se puede observar que cuando en cualquier sistema lineal e invariante entra una señal senoidal, la salida es una señal senoidal, de la misma frecuencia. El sistema lo único que hace es amplificar o atenuar su amplitud y añadir una componente de fase, es decir, un retardo.
Si la señal de entrada tuviera una cierta fase xˆ(t) = cos(2πf 0 t + φ), podemos expresar la fase como un retardo y, dada la invarianza del sistema, aplicar ese retardo a la salida. Es decir:
x ˆ(t) = cos(2πf 0 t + φ) = cos
2 πf 0 (t +
φ 2 πf 0
= x(t + t 0 )
siendo t 0 = (^2) πfφ 0. Por tanto, la salida yˆ(t) será y(t + t 0 ):
ˆy(t) = y(t + t 0 ) = |H(f 0 )| cos(2πf 0 (t + t 0 ) + ∠H(f 0 )) ˆy(t) = |H(f 0 )| cos(2πf 0 t + φ + ∠H(f 0 ))
La figura 2.1 ilustra el paso de exponencial compleja, imaginaria o una función senoidal por un sistema lineal e invariante.
x 1 (t) = est x 2 (t) = ej^2 πf^0 t x 3 (t) = cos(2πf 0 t + φ)
h(t) S.L.I. y 1 (t) = HLB (s)est y 2 (t) = H(f 0 )ej^2 πf^0 t y 3 (t) = |H(f 0 )|cos(2πf 0 t + φ + ∠H(f 0 ))
Figura 2.1: Efecto de un sistema lineal e invariante sobre funciones exponenciales y senoidales
2.1.2. Series de Fourier
En este apartado veremos como las series de Fourier permiten expresar señales periódicas como combinación lineal de exponenciales complejas.
Sea x(t) una señal periódica, con periodo T 0 = 1/f 0. Bajo ciertas condiciones de convergencia x(t) puede representarse como combinación lineal de exponenciales complejas:
x(t) =
∑^ ∞
k=−∞
ckej^2 πkf^0 t^ (2.5)
6 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
entonces,
< x(t), ej^2 πmf^0 t^ > =
T 0
x(t)e−j^2 πmf^0 tdt
T 0
k=−∞
ckej^2 πkf^0 t
e−j^2 πmf^0 tdt
∑^ ∞
k=−∞
ck
T 0
ej^2 πkf^0 te−j^2 πmf^0 tdt
∑^ ∞
k=−∞
ck < ej^2 πkf^0 t, ej^2 πmf^0 t^ >
Como hemos adelantado, los distintos fasores son ortogonales. Si k = m, el producto escalar vale 1 :
< ej^2 πkf^0 t, ej^2 πkf^0 t^ >=
T 0
ej^2 πkf^0 te−j^2 πkf^0 tdt =
T 0
dt = 1
Y si k 6 = m, el producto escalar se anula, ya que integramos una exponencial compleja (es decir, un seno más un coseno), de periodo submúltiplo de T 0 , en un intervalo T 0. En cada periodo el seno y el coseno tienen área nula. Veámoslo analíticamente, llamando r = k − m,
< ej^2 πkf^0 t, ej^2 πmf^0 t^ > =
T 0
ej^2 π(k−m)f^0 tdt =
T 0
ej^2 πrf^0 tdt
T 0
ej^2 πrf^0 t
∣T^0 /^2
−T 0 / 2 j 2 πrf 0
T 0
ej^2 πrf^0 T^0 /^2 − e−j^2 πrf^0 T^0 /^2 j 2 πrf 0
=
T 0
sin(πr) πrf 0
= sinc(r)
que se anula si r 6 = 0. Nótese que aunque hemos integrado entre ±T 0 / 2 , el mismo resultado se obtiene con cualquier intervalo de longitud T 0.
Continuando con la resolución de la expresión (2.9), todos los términos del sumatorio son nulos, salvo cuando k = m, en cuyo caso vale T 0 , por tanto,
< x(t), ej^2 πmf^0 t^ > =...
=
∑^ ∞
k=−∞
ck < ej^2 πkf^0 t, ej^2 πmf^0 t^ >
= · · · + 0 + 0 + cm + 0 + · · · = cm
Por tanto,
cm =
T 0
x(t)e−j^2 πmf^0 tdt (2.11)
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 7
El intervalo de integración, de duración T 0 , puede elegirse arbitrariamente según convenga.
E 2.1.1 (R) Determine el desarrollo en serie de Fourier (DSF ) de un tren de pulsos rectangulares de anchura T 1 y periodo T 0 (T 1 < T 0 ):
x(t) =
X^ ∞
k=−∞
Π
„ t − kT 0 T 1
«
¥ Solución: Al ser una señal periódica de periodo T 0 , se puede expresar mediante desarrollo en serie de Fourier,
x(t) =
X^ ∞
k=−∞
ck ej^2 πkt/T^0
El valor de los coeficientes es:
cm = 1 T 0
Z
x(t)e−j^2 πmf^0 tdt
La expresión queda más sencilla si elegimos como intervalo de integración entre ±T 0 / 2 pues así, sólo queda una parte de la integral no nula:
cm = 1 T 0
Z (^) T 0 / 2
−T 0 / 2
Π
„ t T 1
« e−j^2 πmf^0 tdt = 1 T 0
Z (^) T 1 / 2
−T 1 / 2
e−j^2 πmf^0 tdt
(Ejercicio: calcule los coeficientes eligiendo como intervalo de integración [t 0 , t 0 + T 0 ], con t 0 ∈ (0, T 1 ).) Si m = 0,
co = 1 T 0
Z (^) T 1 / 2
−T 1 / 2
dt = T 1 T 0
y si m 6 = 0,
cm = 1 T 0 · 1 −j 2 πmf 0
“ e−j^2 πmf^0 T^1 /^2 − e−j^2 πmf^0 T^1 /^2
”
= 1 T 0 · 1 πmf 0 sin(πmf 0 T 1 ) = T^1 T 0 · 1 πmf 0 T 1 sin(πmT 1 /T 0 ) = T^1 T 0 sinc(mT 1 /T 0 )
Expresión que, de hecho, es también válida para co. Por tanto, x(t) se expresa como combinación de exponenciales complejas, donde la exponencial m tiene frecuencia m/T 0 = mf 0 , y la constante es cm = T T^10 sinc
“ m T T^10
”
. Dependiendo de la relación entre T 0 y T 1 se toman unos u otros valores de la sinc(.). Como comprobación, ¿cuál es el desarrollo en serie de Fourier de x(t) si T 1 = T 0? Justifique el resultado. La figura 2.2 muestra los coeficientes de la serie de Fourier para el caso T 0 = 2T 1. Una representación alternativa para el eje de abscisas es indicar, en vez del indice m, la frecuencia de la exponencial compleja a la que modifica esa constante, es decir, mf 0 :
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 9
¥
E 2.1.2 (R) Encuentre el desarrollo en serie de Fourier de un tren de deltas de Dirac, separadas T 0 :
x(t) =
X^ ∞
k=−∞
δ(t − kT 0 )
¥ Solución: La señal puede expresarse como desarrollo en serie de Fourier,
x(t) =
X^ ∞
k=−∞
ck ej^2 πkt/T^0
con coeficientes ck ,
ck = 1 T 0
Z (^) T 0 / 2
−T 0 / 2
δ(t)e−j^2 πkf^0 tdt
Por las propiedades de δ(t), la integral es el valor de la función en el origen,
ck = 1 T 0 e−j^2 πkf^0 t|t=0 = 1 T 0
En este caso, todas las constantes ck tienen el mismo valor; el desarrollo en serie buscado es:
x(t) =
X^ ∞
k=−∞
δ(t − kT 0 ) = 1 T 0
X^ ∞
k=−∞
ej^2 πkt/T^0
La figura 2.4 ilustra este resultado. Observese que hemos preferido etiquetar el eje abcisas con valores frecuenciales: el primer coeficiente, k = 1, lo hemos dibujado en un eje frecuencial, de la frecuencia de la exponencial compleja a la que multiplica c 1 , que es (^) T^10. Esto nos permite observar que cuanto más espaciadas en tiempo están las deltas, más cercanas han de ser las frecuencias de las exponenciales complejas.
t
x(t)
u u u u u u u
T 0
1
f
DSF
b c b c b c b c b c
1 T 0
1 T 0
Figura 2.4: Coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier (DSF) de un tren de deltas
¥
10 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
E 2.1.3 Calcule el desarrollo en serie de Fourier de | cos(2πf 0 t)|. Expréselo como suma de exponenciales complejas y también como suma de funciones senoidales.
E 2.1.4 Sea x(t) el tren de pulsos triangulares que se muestra en la figura:
− 6 T 0 − 4 T 0 − 2 T 0 2 T 0 4 T 0 6 T 0
t
x(t)
Calcule su desarrollo en serie de Fourier y demuestre que puede expresarse como
x(t) = 1 2
4 π^2
X^ ∞
k=
1 (2k − 1)^2 cos
` 2 π(2k − 1) t T
´
2.1.3. Transformada de Fourier
Las señales no periódicas también pueden ponerse como combinación lineal de exponenciales
complejas. Por ejemplo, consideremos un pulso rectangular, Π
1 T 1
. Es como el ejemplo del tren
de pulsos (figura 2.2), pero con la separación entre pulsos, T 0 → ∞, es decir, con f 0 → 0.
La figura 2.5 representa el resultado obtenido para la serie de Fourier del tren de pulsos (ejercicio E 2.1.1) para distintos valores de T 0.
Como puede observarse, cuanto mayor es T 0 (pulsos más separados), más próximas están las frecuencias de las exponenciales complejas (kf 0 ). Y los coeficientes de estas exponenciales, ck = T 1 f 0 sinc(kT 1 f 0 ) se calculan a partir de valores próximos de la función sinc. En el límite, el sumatorio se transforma en integral, sumando un continuo de frecuencias. Por tanto, para señales no periódicas:
x(t) =
−∞
X(f )ej^2 πf tdf (2.12)
Si comparamos con las series de Fourier, ecuación (2.5), hemos cambiado la frecuencia kf 0 por f , y su constante de proporcionalidad, ck, que multiplicaba a ej^2 πkf^0 t, por una constante que hemos llamado X(f ), que multiplica a la exponencial ej^2 πf t
Calculo de X(f )
Para ver el valor de X(f ), procederemos análogamente a lo que hemos visto con las series, buscando el producto escalar con una exponencial compleja de una frecuencia determinada, fr. Ahora, al ser señales no periódicas, definidas en R, el producto escalar se define como
< x(t), y(t) >=
−∞
x(t)y∗(t)dt (2.13)
12 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
El producto escalar de x(t) por una exponencial compleja es:
< x(t), ej^2 πfr^ t^ > =
t=−∞
x(t)e−j^2 πfr^ tdt
t=−∞
f =−∞
X(f )ej^2 πf tdf
e−j^2 πfr^ tdt
Por linealidad de las integrales, si éstas convergen podemos cambiar el orden de la integración:
< x(t), ej^2 πfr^ t^ >=
f =−∞
X(f )
t=−∞
ej^2 π(f^ −fr^ )tdt
df (2.15)
Análogamente a lo que ocurría antes con las series, la integral interna se anula salvo que f = fr , en cuyo caso la integral tiende a infinito (
t=−∞ dt). De hecho, en el ejercicio E 2.1.9 veremos que esa integral se comporta como una delta de Dirac:
t=−∞
ej^2 πfstdt = δ(fs) (2.16)
Por tanto, sustituyendo δ(f − fr ) en la expresión anterior,
t=−∞
x(t)e−j^2 πfr^ tdt =
f =−∞
X(f )δ(f − fr )df = X(fr ) (2.17)
Por tanto X(f ) puede calcularse mediante el producto escalar de x(t) y una exponencial compleja de frecuencia f :
X(f ) =
t=−∞
x(t)e−j^2 πf tdt (2.18)
Esta expresión coincide con la que en la ecuación (2.4) ya habíamos llamado transformada de Fourier, a partir del estudio de exponenciales complejas a través de S.L.I.
El par formado por una señal y su transformada de Fourier se suele representar mediante una flecha, x(t) ←→ X(f ). También se denota mediante F la transformada de Fourier y mediante F−^1 su inversa: X(f ) = F {x(t)}, x(t) = F−^1 {X(f )}
E 2.1.5 (R) Calculad la transformada de Fourier de un pulso:
Π
„ t T
« ←→ T sinc(T f ) (2.19)
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 13
¥ Solución:
F
Π
„ t T
«ff
Z (^) ∞
t=−∞
Π
„ t T
« e−j^2 πf tdt
=
Z (^) T / 2
t=−T / 2
e−j^2 πf tdt
= e−j^2 πf T /^2 − ej^2 πf T /^2 −j 2 πf = sin πT f πf = T sinc(T f )
En particular, si T = 1:
Π(t) ←→ sinc(f ) (2.20)
La figura 2.6 ilustra esta transformada.
t
x(t)
T 2
1
f
X(f )
1 T
T
Figura 2.6: Transformada de Fourier de un pulso rectangular
¥
E 2.1.6 (R) Comprobar la transformada de Fourier de una exponencial decreciente, real, y causal:
e−αt^ u(t) ←→ 1 α + j 2 πf (2.21)
¥ Solución:
X(f ) =
Z (^) ∞
t=−∞
e−αt^ u(t)e−j^2 πf tdt =
=
Z (^) ∞
t=
e−(α+j^2 πf^ )tdt =
= −
e−(α+j^2 πf^ )t
˛ ˛˛∞ t= α + j 2 πf =
= 1 α + j 2 πf
¥
E 2.1.7 (R) Determinar la transformada de Fourier de (^) πt^1
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 15
¥ Solución:
X(f ) =
Z (^) ∞
−∞
e−πt
2 e−j^2 πf tdt =
Z (^) ∞
−∞
e−π(t
(^2) +j 2 f t) dt
=
Z (^) ∞
−∞
e−π((t+jf^ )
(^2) −(jf ) (^2) ) dt =
Z (^) ∞
−∞
e−π(t+jf^ )
2 e−πf^
2 dt = e−πf^
2 Z^ ∞ −∞
e−(
√πt+j√πf ) 2 dt
Aplicando el cambio de variable
√ πt + j
√ πf = √x 2 ,
X(f ) = e−πf^
2 Z^ ∞ −∞
e−^
x 22 dx √ 2 π
Como el valor de la integral es la unidad,
e−πt
2 ←→ e−πf^
2 (2.25)
¥
E 2.1.9 (R) Demostrar que δ(f ) =
R (^) ∞ −∞ e
j 2 πf tdt
¥ Solución: Z (^) ∞
t=−∞
ej^2 πf tdt = l´ım a→∞
Z a 2
t=− a 2
ej^2 πf tdt =
= l´ım a→∞
ej^2 πf t|
a 2 − a 2 j 2 πf =
= (^) al´→∞ım ejπf a^ − e−jπf a j 2 πf =
= l´ım a→∞
sin(πf a) πf =
= (^) al´→∞ım a sinc(af )
En los apuntes del tema I vimos que la función δ(.) puede expresarse como límite de funciones, en particular, de la función sinc(.). Por tanto,
Z (^) ∞
t=−∞
ej^2 πf tdt = δ(f )
¥
2.1.4. Representación de la Transformada de Fourier.
A partir de la expresión de la transformada de Fourier de x(t),
X(f ) =
−∞
x(t)e−j^2 πf tdt
16 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER
puede observarse que X(f ) es en general una función compleja, ya que consiste en una suma de números complejos; es decir, para cada valor de f , X(f ) es un número complejo. Veáse por ejemplo la transformada de Fourier de la exponencial causal (ejercicio E 2.1.6).
Para representar X(f ) en función de la frecuencia f podría utilizarse la representación de las partes real e imaginaria de X(f ). No obstante, habitualmente proporciona más información representar el módulo, |X(f )| y la fase, ∠X(f ).
E 2.1.10 (R) Representad el módulo y fase de la transformada de Fourier de Π(t).
¥ Solución: Como X(f ) = sinc(f ) es real, el módulo es el valor absoluto. En cuanto a la fase, si el número es positivo la fase es φ = 0 y si es negativa, la fase es φ = π.
f
|X(f )|
1 T
T
f
∠X(f )
1 T
π
Figura 2.7: Módulo y fase de la transformada de Fourier de un pulso rectangular
¥
E 2.1.11 (R) Representad el módulo y fase de la transformada de Fourier de e−αt^ u(t).
¥ Solución: Tal y como se vió en el ejercicio E 2.1.6,
e−αt^ u(t) ←→ 1 α + j 2 πf
Si dibujamos el complejo α + j 2 πf , podemos ver que para f = 0, el modulo vale α y la fase φ = 0. Según crece la frecuencia, el módulo crece hacia infinito, y la fase hacia φ = π 2. Un punto característico es cuando 2 πf = α, es decir, f = 2 απ , ya que en esa frecuencia el módulo vale α
√ 2 , y la fase φ = π 4. Y si suponemos que la frecuencia es negativa, el vector quedaría reflejado respecto el eje de abscisas: el módulo para f es el mismo que para −f , y la fase cambiaría el signo.
real
imag.
φ
α
2 πf
Como este complejo está en el denominador, el módulo va de (^1) α hasta cero. En cuanto a la fase, para frecuencias positivas varía desde 0 hasta −π/ 2. La figura muestra la representación de la transformada de Fourier. ¥