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SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009− 2010
Problemas Tema 2: Sistemas
PROBLEMA 1. Dados los siguientes sistemas en tiempo continuo y las señales de entrada
indicadas, determine las señales de salida correspondientes:
a) Sistema T 1 : y( t) = x(t )y señal de entrada: ( )
( )
1 1 =^ − −
− − x t e ut
t .
b) Sistema T 1 : y (t ) = x( t) y señal de entrada: x 2 ( t) = {u ( t+ 1 )−u(t+ 3 )} +{u (t − 1 )−u(t− 3 )}.
c) Sistema T 2 : ( )
dt
dx t
y t = y señal de entrada: ( )
t x t e
− 3 =.
d) Sistema T 2 : ( )
dt
dx t
y t = y señal de entrada: x 4 (t ) = Λ(t − 1 ) +Λ(t − 2 ).
PROBLEMA 2. Dados los siguientes sistemas en tiempo discreto y las señales de entrada
indicadas, determine las señales de salida correspondientes:
a) Sistema T 1 : [ ] ∑ [ ]
=−∞
n
k
y n x k y señal de entrada:
x 1 [n ] = δ [n + 2 ] − 2 δ[n + 1 ] + 3 δ[n ] − 2 δ[n − 1 ] + δ[ n− 2 ].
b) Sistema T 2 : [ ]
[ ]
^ [ ]^ [^ ]^ [ ]
xn xn x n
xn y n y señal de entrada:
x 2 [ n] = −u[n + 3 ] + 2 u[n + 1 ] − 2 u[n − 2 ] +u[ n− 4 ]..
PROBLEMA 3. Considere la siguiente interconexión de sistemas:
en la que T 1 : y(t) = 2x(t-2); T 2 : y(t) = dx(t)/dt y T 3 : y(t) = x(-t+1)
a) Determine la relación entre la entrada x(t) y la salida y(t).
b) Calcule la salida cuando la entrada es x(t) = u(t).
PROBLEMA 4. Considere la siguiente interconexión de sistemas:
en la que T 1 : y[n] = x[n-1]; T 2 : y[n] = x[n+5] y T 3 : y[n] =x[n]-
a) Determine la relación entre la entrada x[n] y la salida y[n].
T 1
T 3
x(t) (^) y(t)
T 2
x[n] y[n]
T 2 T 3
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009− 2010
PROBLEMA 5. Considere un sistema discreto con entrada x[ n ] y salida y[ n]. La relación
entrada−salida para este sistema es [Prob. 1.16 del Oppenheim]:
y [n ] = x[n ] ⋅x[n − 2 ]
a) ¿El sistema es sin memoria?
b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es A⋅ δ[n ], donde “A” es un número
real o complejo.
c) ¿El sistema es invertible?
PROBLEMA 6. Considere un sistema continuo con entrada x( t ) y salida y( t ), estando
relacionadas mediante [Prob. 1.17 del Oppenheim]:
y (t )=x (sen( t))
a) ¿El sistema es causal?
b) ¿El sistema es lineal?
PROBLEMA 7. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria,
invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas continuos
[Prob. 1.27 del Oppenheim]:
a) y( t)= x(t− 2 )+x( 2 −t) b) y ( t)=[cos( 3 t)] ⋅x(t)
c) (^) ∫
−∞
t
yt x d
2
() (τ ) τ d)
xt xt t
t yt
e)
xt xt xt
xt y t f) (^)
t yt x
g) dt
dx t y t
PROBLEMA 8. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria,
invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas discretos
[Prob. 1.28 del Oppenheim]:
a) y[ n ] = x[− n] b) y[ n] = x[ n− 2 ] − 2 ⋅x[n − 8 ]
c) y[ n ] = n⋅x[n ] d) y[ n] = Par{x [ n− 1 ]}
e) [ ]
[ ]
[ ]
xn n
n
xn n
y n f) [ ]
[ ]
[ ]
xn n
n
xn n
yn
g) y[ n] = x[ 4 n+ 1 ]
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a) Determine y dibuje cuidadosamente la respuesta del sistema a la entrada x 2 (t)dibujada
en la Figura 1(c).
b) Determine y dibuje la respuesta del sistema considerado para la entrada x 3 (t) mostrada
en la Figura 1(d).
PROBLEMA 11. Considere una entrada x[ n ]y una respuesta al impulso unitario h[ n ]dadas
por [Prob. 2.3 del Oppenheim]:
[ ] [ 2 ]
2
⋅^ −
−
xn u n
n
h [n ] = u[n + 2 ]
Determine y dibuje la salida y[ n ] = x[n ] *h[ n].
PROBLEMA 12. Suponga que [Prob. 2.10 del Oppenheim]:
resto
t x t 0 :
y que h (t )=x( t α)donde 0 < α ≤ 1.
a) Determine y dibuje y( t)= x(t)*h(t).
b) Si dy (t )dt contiene sólo tres discontinuidades, ¿cuál es el valor de α?
PROBLEMA 13. Calcule la convolución y[ n ] = x[n ] *h[n ]de los siguientes pares de señales
[Prob. 2.21 del Oppenheim]:
a)
[ ] [ ]
[ ] [ ]
hn u n
xn un
n
n
b) x[ n] h[ n] u[n ]
n
c)
[ ] [ ]
h[ ]n u[ n]
xn un
n
n
d) x[ n ]y h[ n ]son como se muestran en la Figura 2.
-1 0 1 2 3 4 5 6
x[n]
-1 0 1 2 3 4 5 6
h[n]
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
1
Figura 2
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009− 2010
PROBLEMA 14. Para cada uno de los siguientes pares de formas de ondas, use la integral de
convolución para encontrar la respuesta y (t) a la entrada x (t) del sistema LTI cuya
respuesta al impulso es h( t)[Prob. 2.22 del Oppenheim].
a) α β α β
β
α
≠ =
−
−
para ,y para () ()
ht e u t
xt e ut
t
t
b) () ( 1 )
2 ht e u t
xt ut ut ut
t = ⋅ −
c) x( t)y h( t)son como se muestra en la Figura 3(a).
d) x( t)y h( t)son como se muestra en la Figura 3(b).
e) x( t)y h( t)son como se muestra en la Figura 3(c).
(^0 1 )
1
x(t)
t t
t 0 1 t
2
0 1 2
1
h(t)
x(t) h(t)
(a)
(b)
(c)
Un periodo de sen(πt)
3
b Pendiente = a
4/
-1/
(^0 1 )
1
x(t)
t 0 1 t
1
h(t)
3
Figura 3
PROBLEMA 15. Dadas las señales x(t) y h(t) siguientes [Prob. 2.23 del Oppenheim]:
( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
k t t
t t x t t kT ht 1 , 0 1
Determine y dibuje y( t)= x(t)*h(t) para los siguientes valores de T:
a) T = 4; b) T = 2; c) T = 3/2; d) T = 1
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009− 2010
PROBLEMA 18. Considere la siguiente interconexión de sistemas LTI. [Septiembre 2001].
¿h 1 [ ]n?
h 2 [ ]n
h 3 [ ]n h 4 [ ]n
donde se sabe que h 3 [n ] = h 4 [− n] y las respuestas al impulso h 2 [n] y h 4 [n] están
representadas en las figuras siguientes:
Determine el valor de h 1 [n] para que la interconexión anterior pueda sustituirse por un único
sistema h[n] de respuesta al impulso:
h n [ ]
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
h n [ ]
n
PROBLEMA 19. Considere la siguiente interconexión de sistemas lineales e invariantes en el
tiempo. [Febrero 2003].
Las respuestas al impulso de los bloques son:
h ( t) e u(t ) ; h 2 (t ) u( t) 2 u(t 2 ) u(t 4 ); h 4 ( t) u(t ) 2 u( t 10 )
t 1 =^ = − − + − = − −
−
y h 3 (t) y h 5 (t) corresponden a sendos derivadores.
Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente h(t).
1
-1 0 1 2 3 n
2
3
4 5
h 4 [ ]n
2
-1 0 1 2 3 n
7
13
4
7
2
-4 -3 -
h 2 [ ]n
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009− 2010
Soluciones
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
PROBLEMA 3. a) y( t)= 2 d{x (t− 2 )} dt+x(− t+ 1 ); b) y( t)= 2 δ ( t− 2 ) +u( −t+ 1 ).
PROBLEMA 4. a) y[ n ] − y[ n+ 4 ] =x[n − 1 ] − 3.
PROBLEMA 5. a) No; b) y[n] = 0; c) No.
PROBLEMA 6. a) No; b) Sí.
PROBLEMA 7. a) Lineal, estable; b) Sin memoria, lineal, causal, estable; c) Lineal; d) Lineal,
causal, estable; e) Invariante, causal, estable; f) Lineal, estable; g) Invariante, lineal.
PROBLEMA 8. a) Lineal, estable; b) Invariante, lineal, causal, estable; c) Sin memoria, lineal,
causal; d) Lineal, estable; e) Lineal, estable; f) Sin memoria, lineal, causal, estable; g)
Lineal, estable.
PROBLEMA 9. a) Invertible, y ( t)= x(t+ 4 ); b) No invertible, x 1 (t)= x(t), x 2 (t)= x(t)+ 2 π;
c) No invertible, x 1 [ n] = δ[ n], x 2 [n ] = 2 ⋅ δ[n ]; d) Invertible, y (t )= dx(t)dt; e) Invertible,
[ ]
[ ]
^ [ ]
xn n
xn n
y n ; f) No invertible, x 1 [n ] =x[n ], x 2 [n ] =−x[n ]; g) Invertible,
y [ n] = x[ 1 −n]; h) Invertible, y (t )= x(t)+dx(t) dt; i) Invertible, y[ n ] = x[n ] − 0 ' 5 ⋅x[ n− 1 ];
j) No invertible, x 1 (t)= x(t), x 2 (t)= x(t)+cte.; k) No invertible, x 1 [ n] = δ[ n],
x 2 [ n] = 2 ⋅ δ[n ]; l) Invertible, y ( t)= x(t/ 2 ); m) No invertible, x 1 [ n] = δ [n ] + δ[ n− 1 ],
x 2 [ n] = δ[ n]; n) Invertible, y[ n] = x[ 2 n].
a) b) c) d)
a) b)
SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS Curso Académico 2009− 2010
PROBLEMA 17. a) Causal, estable; b) No causal, estable; c) No causal, no estable; d) No
causal, estable; e) Causal, no estable; f) No causal, estable; g) Causal, estable; h) Causal,
estable; i) No causal, no estable; j) No causal, estable; k) No causal, estable; l) No causal y
estable; m) Causal y no estable; n) Causal y no estable.
PROBLEMA 18. h 1 [n] = δ [n+2] + δ [n+1] + 2 δ [n] + 3 δ [n-1] + 5 u[n-2].
PROBLEMA 19. ( ) ( )
( )
( )
2 4 = − − + − + − −
− −− − − h t e ut e ut e ut t t
t t t
INGENIER´IA DE TELECOMUNICACI ON – Sistemas y Circuitos´ Problemas – 14/10/
Propiedades de los sistemas
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y(t) = x(t^2 )
(a) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(b) ¿El sistema es causal?
(c) ¿El sistema es estable?
Sol. NO, NO, SI
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y(t) = t
2 x
2 (t)
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(c) ¿El sistema es invertible?
(d) ¿El sistema es estable?
(e) ¿El sistema es causal?
(f) ¿El sistema es lineal?
Sol. SI, NO, NO, NO, SI, NO
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y[n] = x[n] +
1
2
x[n − 1] +
1
2
x[n + 1]
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(c) ¿El sistema es estable?
(d) ¿El sistema es causal?
(e) ¿El sistema es lineal?
Sol. NO, SI, SI, NO, SI
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y[n] = ex[n]^ + x[n]
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(c) ¿El sistema es estable?
(d) ¿El sistema es causal?
(e) ¿El sistema es lineal?
Sol. SI, SI, SI, SI, NO
INGENIER´IA DE TELECOMUNICACI ON – Sistemas y Circuitos´ Problemas – 14/10/
Propiedades de los sistemas LIT
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y[n] = x[n] +
1
2
x[n − 1]
(a) Halle la respuesta al impulso
(b) ¿El sistema es causal?
(c) ¿El sistema es estable?
Sol. h[n] = δ[n] + 12 δ[n − 1], SI, SI
- Considere el sistema con respuesta al impulso
h[n] = δ[n] −
π
2
δ[n − 1] −
π
2
δ[n + 1]
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
Sol. NO, SI, NO
- Considere el sistema con respuesta al impulso
h[n] = u[n]
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
(d) Halle la respuesta s[n] al escal´on unitario.
Sol. NO, NO, SI, s[n] = (n + 1) u[n].
- Considere el sistema con respuesta al impulso
h[n] = e−^5 nu[n]
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
(d) Halle la respuesta s[n] al escal´on unitario.
Sol. NO, SI, SI, s[n] =
1 − e−5(n+1)
1 − e−^5
.
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y[n] =
n∑− 1
k=−∞
2 x[k]
(a) Halle la respuesta al impulso.
(b) ¿El sistema es sin memoria?
(c) ¿El sistema es estable?
(d) ¿El sistema es causal?
Sol. h[n] = 2 u[n − 1], NO, NO, SI
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y(t) = x(t) + x(t − 0 .5) + x(t − 1) + x(t − 1 .5)
(a) Halle la respuesta al impulso
(b) ¿El sistema es sin memoria?
(c) ¿El sistema es estable?
(d) ¿El sistema es causal?
Sol. h(t) = δ(t) + δ(t − 0 .5) + δ(t − 1) + δ(t − 1 .5), NO, SI, SI
- Considere el sistema con respuesta al impulso
h(t) = 5 Π(t)
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
(d) Halle la respuesta al escal´on unitario
Sol. NO, SI, NO, s(t) =
{ 5(t + 1/2) − 1 / 2 < t < 1 / 2 5 t ≥ 1 / 2
- Considere el sistema con respuesta al escal´on unitario
s(t) =
( 1 − e
−t/ 10
) u(t)
(a) Halle la respuesta al impulso
(b) ¿El sistema es sin memoria?
(c) ¿El sistema es estable?
(d) ¿El sistema es causal?
Sol. h(t) = 101 e−t/^10 u(t), NO, SI, SI
- Considere el sistema con relaci´on entrada-salida
y(t) =
∫ (^) t− 1
t− 2
π x(τ ) dτ
(a) Halle la respuesta al impulso
INGENIER´IA DE TELECOMUNICACI ON – Sistemas y Circuitos´ Problemas – 27/10/
Sistemas – Propiedades y convoluci´on
- Considere el sistema cuya relaci´on entrada-salida es
y(t) = x^3 (t)
y considere la se˜nal peri´odica x(t)
t
x(t)
− 1
1
2
− 1 1 2 3 4
(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜nal x(t).
(b) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la se˜nal x 1 (t) = 2 x(t − 1).
(c) ¿El sistema es causal?
(d) ¿El sistema es sin memoria?
(e) ¿El sistema es estable?
(f) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(g) ¿El sistema es LIT?
(h) ¿El sistema es invertible? Si lo es, encuentre el sistema inverso.
Sol. (sin dibujo) y(t) = x(t);
t
y 1 (t)
− 8
8
16
− 1 1 2 3 4
SI; SI; SI; SI; NO; SI sistema inverso y(t) = 3
√ x(t).
- Considere la se˜nal w[n] = 10−^2 n. La se˜nal x[n] = −w[n] δ[n + 1] se aplica al sistema LIT con respuesta al impulso h[n] = 5 e−n^ u[n].
(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema.
(b) ¿El sistema es causal?
(c) ¿El sistema es estable?
Sol. (sin dibujo) y[n] =
{ 0 n < − 1 − 500 e−n−^1 n ≥ − 1
; SI; SI.
- Considere el sistema LIT con la respuesta al escal´on unitario s(t) representada
t
s(t)
3
1
2
− 1 1 2 3 4 5
(a) Encuentre y dibuje la respuesta al impulso.
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
Sol.
t
h(t) 3
1
2
− 1 1 2 3 4 5
; SI; NO.
- Considere el sistema con respuesta al impulso
h(t) = δ(t) −
1
2
δ(t − 1 /2) +
1
4
δ(t − 1)
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
(d) Encuentre y dibuje la respuesta s(t) al escal´on unitario.
Sol. NO; SI; SI; s(t) = u(t) −
1 2 u(t^ −^1 /2) +^
1 4 u(t^ −^ 1)
t
s(t)
1 3 / 4
1 / 4
1 / 2
− 1 / 2 1 / 2 1 3 / 2 2 5 / 2
- Encuentre y dibuje la convoluci´on z(t) = x(t) ∗ y(t), con
(a) x(t) =
{ t 0 < t < 1
0 otros
y(t) =
{ −t − 1 < t < 0
0 otros
(b) x(t) = −10 sin(4πt) y(t) = eπ^ Π(t + 5)
Sistemas y Circuitos Curso Académico 2008
Segunda Entrega de Problemas Tema 2: Sistemas. Apellidos y Nombre 1: _____________________________________________________________ Apellidos y Nombre 2: _____________________________________________________________
Ejemplo:
3
4
n
1
2
... ...
[ ] x n
1
2
5
3
n
1
2
... ...
1 [ ] s n
[^
] n x
[^
] n s
3
4
n
1
2
... ...
1
2
5
1
6
7
[ ] y n [^
]^
[^
]^
[^
] n s n x n y
Pág. 2
