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1.^ Discretización 03 a Sistemas Discretos.doc 1
1.^ Discretización
___________________________________________________
1.1. Historia _____________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Futuro ______________________________________________________________________________________________________________ 3 1.3. Características del Control Digital_______________________________________________________________________________________ 4 1.4. Sistema Discreto _____________________________________________________________________________________________________ 5 1.5. Ecuaciones en Diferencias
_____________________________________________________________________________________________ 6 1.6. Transformada de Laplace de una Secuencia ______________________________________________________________________________ 7 1.7. Transformada en Z ___________________________________________________________________________________________________ 9 1.8. Operador Desplazamiento ____________________________________________________________________________________________ 11 1.9. Algunas Funciones de Transferencia ___________________________________________________________________________________ 13 1.10. Relación de Polos y Ceros Continuos y Dicretos ________________________________________________________________________ 17 1.11. Discretización Aproximada __________________________________________________________________________________________ 19 1.12. Aproximación Basada en la Función de Transferencia____________________________________________________________________ 19^ 1.1.1. Aproximación de Tustin ________________________________________________________________________________________________________ 20 1.13. Elección del Período de Muestreo
_____________________________________________________________________________________ 24 1.14. Referencias _______________________________________________________________________________________________________ 27
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1.1. Historia •^ 1950: Período Inicial. Primeras computadoras de procesos. Grandes. Gran con-sumo. Poca fiabilidad. •^ 1956: Texaco: 26 caudales, 72 temperaturas y 3 composiciones. Suma en 1 ms,multiplicación en 20 ms. TMEF ó
MTBF^ 50 a 100 hs solo para la cpu. No existen modelos en tiempo real. Escasos sensores. Rechazo a las nuevas tecnologías. • 1962: Imperial Chemical Industries (Inglaterra): 224 entradas, 129 válvulas.Control Digital Directo (CDD o DDC). Suma 0,1 ms, multiplicación en 1 ms.TMEF 1000 hs. Se reemplazan tableros de instrumentos por teclado y pantallas.Fácil reconfiguración. • 1965: Minicomputadoras. Circuitos integrados. Reducción de costos y tamaños.Más rápidos y fiables. Suma 0,002 ms, multiplicación 0,007ms. TMEF 20000 hs.Aplicable a proyectos pequeños. Crecen las aplicaciones de 5000 a 50000 en 5años. Costo medio (1975) 10000 dólares. Costo del proyecto a 100000 dólares. • 1975: Microcomputadoras. Costo medio de 500 dólares. Consumo despreciable.Control dedicado. Desarrollo de la teoría de control. • 1980: PLC. Secuenciamiento Lógico. Control Distribuido.
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1.3. Características del Control Digital^ •^ No existe límite en la complejidad del algoritmo.^ •^ Facilidad de ajuste y cambio.^ •^ Exactitud y estabilidad en el cálculo.^ •^ Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos, administración,etc.).^ •^ Costo vs. número de lazos.^ •^ Tendencia al control distribuido o jerárquico.
y(t) Computador^
u(t) Proceso CDA CAD Sensor yk u rkk
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1.4. Sistema Discreto
{u}^ {y}kk^ SistemaDiscreto
Sumador^ {^ }^ {^
k =y iuk ∑^ } i=
[1.1]
Promediador^ {^ }^ (^
) k -1 k k+ (^1) = +^ k
y^ u^ ^ u^ u ^ ^3 ^ ^
[1.2]
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1.6. Transformada de Laplace de una Secuencia Secuencia^ x^ , muestreo de una señal continua, se puede escribir como una suma-{^ } k toria de impulsos modulados por los elementos de la secuencia,∞ x (t - kT)^ δ=^ x^ kTk ∑^ k=
[1.7]
se define su transformada de Laplace como^ ( )^
kTskT ∞− L s = x^ es ∑^ k=
[1.8]
es periódica respecto de s con período
2 T^ ω^ π=
Todas las singularides se repiten.
- 3π/Τ2π/Τ 1 π/Τ 03 a Sistemas Discretos.doc
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Propiedades Linealidad:^ (^ )^
(^ )^ (^ ) Z^ af^ bg^ aZ
f^ bZ^ g + = +^
[1.14]
Desplazamiento^ (^ )^ d^ d (^ ) Z^ q^ f^ z^ Z −^ −^ f =^
[1.15]
Valor Inicial^ (^ )^
(^ ) 0 lim^ lim f^ Zkk^ z f = (^) → →∞
[1.16]
Valor Final^ (^ )^ (^
1 (^ ))^1 lim^ lim 1 f^ kk^ z
− z Z^ f =^ −→∞ →
[1.17]
si^ (^ (^ )^ (^1) − 1 z Z^ f − no tiene ningún polo fuera del círculo unidad.)
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1.8. Operador Desplazamiento Es el equivalente discreto al operador diferencial
d p = dt
La secuencia debe ir desde
−∞^ a^ +∞ El muestreo es
1 T^ =
Operador Adelanto qf^ f^ =^1 k^ k +
[1.18]
Operador Retardo^1 − q^ f^ f =^1 k^ k −
[1.19]
Para análisis de estabilidad conviene Operador AdelantoPara causalidad, RetardoLas operaciones con ecuaciones en diferencias se reducen a operaciones algebrai-casEs fácil confundirlo con la Transformada en Z así como se confunde
s^ con^ p.
No son exactamente iguales.
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1.9. Algunas Funciones de Transferencia Equivalencia entre la función de transferencia continua y el sistema muestreado conbloqueador de orden cero^ S^ s ( )(^ ) ( ) (^) G s =^ (^ )^ E s ( )(^ )^ S q^ b q^ b^ +^1 2 G q = =^2 E q^ q^ a q^ a +^ +^1
resp. impulsional
respuesta g t (^) ( ) al escalón
1 1
t δ( )
T 1 1 q −^ s
1
Step Respo nseFrom: U(1)1.4 1.2 (^1) 0.8To: Y(1)0.6Amplitude0.4 0.2 00 0.1 0.2 0.3 0.4^ 0.5^ 0.6^ 0.7^ 0.8^ 0.9^1 Time (sec.)
(^21) T q^ +^ (^ ) (^122) s 2 1 q^ −^ (^ )
t
Step ResponseFrom: U(1)0.50.450.40.350.30.25To: Y(1)Amplitude0.20.150.10.05 00 0.1 0.2 0.3 0.4^ 0.5^ 0.6^ 0.7^ 0.8^ 0.9^1 Time (sec.)
(^1) − (^) sT − qe
retardo
aT − a 1 e − aT − s a + q e −
aT − e
Step ResponseFrom: U(1) (^1) 0.90.80.70.60.5To: Y(1)Amplitude0.40.30.20.1 00 1 2 3 4 5 6 Time (sec.)
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a^ (^ s s a + ( ) 1 1^ aT^ aT^ aT^ −^ −^ −^1 1 aT^ e^ q^ e^ aTe −^ +^ +^ −^ −)^ (^ ) a^ a^2 aT^ aT −^ −^1 q^ e^ q^ e −^ +^ +(^ )
1 aT^ −^1 e −^ (^ ) a
Step ResponseFrom: U(1) (^1098765) To: Y(1)Amplitude 432100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec.)
(^ abs a s b + + ( ) ( ) )^ (^ )^ (^
)^ (^ ) (^ ) 2 ( ) 1 1 aT^ bT^ bT^ aT^ aT^^1
bT a b T b^ e^ a^ e^ a^ e^ e^ b^ aT^ bT
e^ e −^ −^ −^ −^ qb^ a^ b^ a q^ e^ e^ q^ e
−^ − − + ^ −^ −^ −^ −^ −^ −^ −
−+ ^ ^ − − ^ − +^ +
ab^ bT^ aT^ −^ − be^ ae −^ (^ ) b a −
Step ResponseFrom: U(1)0.50.450.40.350.30.25To: Y(1)Amplitude0.20.150.10.05 00 1 2 3 4 5 6 Time (sec.)
s^ c^ + s a^ s^ b + + ( ) (^ )
(^ )^ (^ )^
(^ ) (^ )^ (^
) bT^ aT 1 1 (^ )^2 (^ )^ bT^ aT
a^ b T^ aT^
bT a^ b TaT bT c^ e^ c^ ee e
c^ b^ c^
c^ a b^ a^ q^
e^ e^
e b^ a^
ab^ b a^ b^
a a^ b −^ − q^ e^ e^ q^ e −^ −
−^ +^ −^
− −^ +− − ^
− − −^ +^ −
^ −^
− ^
^ +^ +^
−^
−^ − ^
^
^
− +^ +
1 bT^ aT^ −^ − b^ c e^ a^ c e −^ −^ −(^ )^ (^ )(^ ) b a −
Step ResponseFrom: U(1)1.2 (^1) 0.8 0.6To: Y(1)Amplitude0.4 0.2 (^0) -0.2 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec.)
(^2) ω (^02 22) s ζω^ ω+ +^0
(^ )^
(^ ) ( ) (^ ) (^2 00 00) ( ) 0
(^20) 1 0
(^020) 2
(^2 ) 2
(^0 ) 1 cos^1 1
sen^11 sen 1 cos^11 Tb e T^ T T T 2 cos^1 T
T b^ e^ e^
T^ T a^ e^
T ζω ζωζω ζω ζω a e
ζωω ζω^ ζ ω ζ ζω ω ζω^ ζ ω ζ ω ζ ^ − − − − −
=^ −^ −^
+^ −
^
− ^
^
=^ +^
−^ −^ −
^
−
= −^ − =
ω^ t^ ζω−^200 sen^1 e^ t ω^ ζ−^ (^ )^02 1 ζ−
Step ResponseFrom: U(1)1.4 1.2 (^1) 0.8To: Y(1)Amplitude0.60.4 0.2 00 5 10 15 20 Time (sec.)
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Significado de la Función de Transferencia:Ejemplo:( )^ ( )^ ( ) Y^ s^21 G s^ U^ s^ =^ =^ ,^ 0,1 T^ seg =^ s +^
,^ (^ )^
0,1 −2 1 e −( )0,1904 y kG q = = =0,1−0,9048 u q e q − − k
0,9048^ 0,1904 ( ) k
k y^ q^
u −^ = 0,9048^ 0,1904 (^1) k k^
k y^ y^
u =^ ++ (^) k U
Y
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1.10. Relación de Polos y Ceros Continuos y Dicretos Tenemos una^
N^ s ( ) G s = continua y una( ) D s ( )
N^ z (^ ) G z = (^) ( ) D z (^ ) discreta.
¿Existe relación entre los polos y los ceros de una y otra?La relación es s T^ iz^ e =^ i
[1.27] Plano S^ Plano Z^ ωN^ −ωN
Plano S^ Plano Z^ ωN^ −ωN
Plano S^ Plano Z3π/Τ^ π/Τ −π/Τ −3π/Τ
la transformación es
sT z e =.
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1.11. Discretización Aproximada Muchas veces ya existe un controlador analógicoSe intenta reproducir su comportamientoCon un período de muestreo pequeño se puede solucionar. 1.12. Aproximación Basada en la Función de Transferencia Se intenta aproximar
G s (^ )
Reloj u(t)
CDAAlgoritmo u(kt)^ CAD y(kt)^ y(t) text
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1.1.1. Aproximación de Tustin aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)^ ( )^ (^
)^ ( )^ 1 ( ) dx t^ x t^ T^
x t^ q px^
x t dt^ T^
+^ −^ − T
=^ ≈^
=^
[1.31]
como una diferencia hacia atrás^ ( )^
( )^ (^ )^
1 ( ) dx t^ x t^ x t
T^ q px^
x t dt^ T^ −^ −^ − qT =^ ≈^
=^
[1.32]
en transformadas significa reemplazar^1 z^ − s^ =^ o T
(^1) z − s = zT
[1.33]
que corresponden a un desarrollo en serie truncadoPara el método de Euler sT^1 z^ e^ sT =^ ≈^ +^
[1.34]
para la diferencia hacia atrás
