Sistemas Mecánicos
Cinemática del de elementos rígidos - Aceleraciones
Grado en ingeniería en electrónica y automática industrial
Curso Académico 2015/2016
Curso 1º – Cuatrimestre 2º
Dr. José Luis Pérez Díaz.
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Asignatura: circuitos, Profesor: Yo mismo, Carrera: Ingeniería en Electrónica y Automática Industrial, Universidad: UAH
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 20
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Sistemas Mecánicos
Cinemática del de elementos rígidos - Aceleraciones
Grado en ingeniería en electrónica y automática industrial
Curso Académico 2015/
Curso 1º – Cuatrimestre 2º
Dr. José Luis Pérez Díaz.
Cinemática de elementos rígidos- aceleraciones
▫Componentes intrínsecas de la aceleración
▫Transformación de sistemas de referencia.
▫Componentes de la aceleración en sistemas no
inerciales.
Sistemas de referencia
Para el caso de la aceleración del punto A se obtiene
´ 𝒂 𝑨
| 𝒔
=
𝑑
2 ´ 𝑶𝑨
𝑑 𝑡
2 |
𝑆
=
𝑑
2
𝑥 𝐴
𝑑 𝑡
2
´ i+
𝑑
2
𝑦 𝐴
𝑑 𝑡
2
´ j+
𝑑
2
𝑧 𝐴
𝑑 𝑡
2
´ k
𝒂^ ´ 𝑨 | 𝒔 ´
=
𝑑
2 ´ 𝑶 ´ 𝑨
𝑑 𝑡
2 |
𝑆
=
𝑑
2
𝑥 ´ 𝐴
𝑑 𝑡
2
´ i´ +
𝑑
2
𝑦 ´ 𝐴
𝑑 𝑡
2
´ j´ ´ +
𝑑
2
𝑧 ´ 𝐴
𝑑 𝑡
2
´ k ´
Sistemas de referencia
Recordando que
𝒂^ ´ 𝑨 | 𝒔
=
𝑑
2 ´ 𝑶𝑨
𝑑 𝑡
2
𝑆
=
𝑑
2 ´ 𝑶𝑶 ´
𝑑 𝑡
2
𝑆
𝑑
2 ´ 𝑶 ´ 𝑨
𝑑 𝑡
2
𝑆
𝑨
𝒔
𝑆
𝑶 ´
𝒔
𝑺
𝑨
𝒔 ´
𝑆
𝒗^ ´ 𝑨
| 𝒔
= 𝒗 ´ 𝑶 ´
| 𝒔
- 𝒗 ´ 𝑨
| 𝒔 ´
- 𝝎 ´ 𝑥
´
𝑶 ´ 𝑨
Sistemas de referencia
donde se define la aceleración de arrastre como aquélla que posee la partícula en el sistema inercial S cuando la
velocidad y la aceleración relativas son nulas (𝒗 𝑨
ሬሬሬሬሬሬሬ ሬ 𝒔´
= 𝟎 y 𝒂 𝑨
ሬሬሬሬሬȁ 𝒔´
= 𝟎) siendo su expresión:
´ 𝒂
𝒂𝒓𝒓.
=
´ 𝒂
𝑶 ´
|
𝒔
´ 𝜶 𝑥
´
𝑶 ´ 𝑨 +
´ 𝝎 𝑥
( ´ 𝝎 𝑥
´
𝑶 ´ 𝑨
)
Sistemas de referencia
PROBLEMA PROPUESTO:
Una placa circular gira en sentido antihorario con una aceleración angular constante y de módulo α. A una distancia. A una distancia
de su centro, se dispone de un canal concéntrico en el que se sitúa una masa puntual, A , que se mueve con una
velocidad de módulo constante v, respecto de la placa. Determinar la aceleración de la masa puntual para cualquier
instante de tiempo:
Sistemas de referencia
´
𝑶𝑨 =
´
𝑶 ´ 𝑨 =𝑅𝑐𝑜𝑠 ( 𝛽+ 𝛾)
´ i + 𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝛽+𝛾 )
´ j
𝒗^ ´
𝑨 | 𝒔
|
𝑆
𝑶 ´ | 𝒔
𝑨 | 𝒔 ´
𝑆 ´ 𝑆
𝝎^ ´
𝑆 ´ 𝑆
k
𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
k
Sistemas de referencia
Cada uno de los términos puede expresarse como:
𝒗^ ´
𝑶 ´
| 𝒔
𝑆 ´ 𝑆
k 𝑥 [ 𝑅𝑐𝑜𝑠 (^ 𝛽+𝛾 )^
i+ 𝑅𝑠𝑒𝑛 (^ 𝛽+ 𝛾)^
j]= −
𝑅𝑠𝑒𝑛 (^ 𝛽+ 𝛾)^
i+
𝑅𝑐𝑜𝑠 (^ 𝛽+𝛾 )^
j
𝒗^ ´ 𝑨
| 𝒔 ´
= 𝒗 ´ 𝑶 ´ ´
| 𝒔 ´
- 𝒗 ´ 𝑨
| 𝒔 ´ ´
- 𝝎 ´ 𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
𝑥
´
𝑶 ´ ´ 𝑨
Cuyos términos a su vez se descomponen en:
𝒗^ ´
𝑶 ´´ | 𝒔 ´
𝑆 ´´ 𝑆 ´
k 𝑥 [ 𝑅𝑐𝑜𝑠 (^ 𝛽 +𝛾 )^
i+ 𝑅𝑠𝑒𝑛(^ 𝛽+𝛾 )^
j]= −
𝑅𝑠𝑒𝑛(^ 𝛽+𝛾 )^
i+
𝑅𝑐𝑜𝑠 (^ 𝛽+ 𝛾)^
j
𝒗^ ´
𝑨
| 𝒔 ´ ´
𝝎^ ´
𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
Sistemas de referencia
Cada uno de los términos puede expresarse como:
𝑶 ´
| 𝒔
𝑆 ´ 𝑆
𝑨
| 𝒔 ´
k 𝑥
[
i+
j
]
[ 𝑐𝑜𝑠^ (^ 𝛽^ +𝛾)^
i+ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝛽+ 𝛾)
j]
𝜶^ ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´ 𝑶 ´ 𝑨 = α
´ k 𝑥 (^) [ 𝑅𝑐𝑜𝑠 ( 𝛽 +𝛾)
´ i+ 𝑅𝑠𝑒𝑛 ( 𝛽 +𝛾)
´ j] = − α 𝑅𝑠𝑒𝑛 ( 𝛽+ 𝛾)
´ i+ α 𝑅𝑐𝑜𝑠 ( 𝛽+ 𝛾)
´ j
´ 𝒂 𝑨
| 𝒔
=
𝑑 𝒗 ´ 𝑨
| 𝒔
𝑑𝑡
|
𝑆
=
´ 𝒂 𝑶 ´
| 𝒔
´ 𝒂 𝑨
| 𝒔 ´
- 2 𝝎 ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥 𝒗 ´ 𝑨
| 𝒔 ´
´ 𝜶 𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´ 𝑶 ´ 𝑨 + 𝝎 ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥 (^) ( 𝝎 ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´ 𝑶 ´ 𝑨 (^) )
Sistemas de referencia
Cada uno de los términos puede expresarse como:
´ 𝝎
𝑆 ´ 𝑆
𝑥 (
´ 𝝎
𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´
𝑶 ´ 𝑨 )
=
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
´
k 𝑥
{
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
´
k 𝑥 [ 𝑅𝑐𝑜𝑠 (^ 𝛽 +𝛾)^
´
i+ 𝑅𝑠𝑒𝑛(^ 𝛽 +𝛾 )^
´
j]
}
=
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
´
k 𝑥
[
−
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
𝑅𝑠𝑒𝑛 (^ 𝛽 +𝛾)^
´
i+
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
𝑅𝑐𝑜𝑠 (^ 𝛽 +𝛾)^
´
j
]
= −
(
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
)
2
𝑅
[
𝑐𝑜𝑠(^ 𝛽+𝛾 )^
´
i+
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
𝑅𝑠𝑒𝑛 (^ 𝛽 +𝛾)^
´
j
´ 𝒂 𝑨
| 𝒔
=
𝑑 𝒗 ´ 𝑨
| 𝒔
𝑑𝑡
|
𝑆
=
´ 𝒂 𝑶 ´
| 𝒔
´ 𝒂 𝑨
| 𝒔 ´
- 2 𝝎 ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥 𝒗 ´ 𝑨
| 𝒔 ´
´ 𝜶 𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´ 𝑶 ´ 𝑨 + 𝝎 ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥 (^) ( 𝝎 ´ 𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´ 𝑶 ´ 𝑨 (^) )
Sistemas de referencia
Cuyos términos a su vez se descomponen en:
´ 𝒂
𝑶 ´ ´
| 𝒔 ´
=
𝑑 𝒗 ´
𝑶 ´´
| 𝒔 ´
𝑑𝑡
|
𝑆 ´
=¿ ¿
𝑨
| 𝒔 ´ ´
𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
𝑨
| 𝒔 ´ ´
0 𝜶 ´^
𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
𝑥 (^) (
𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
𝑶 ´ ´ 𝑨 )=
De forma que se obtiene:
´ 𝒂
𝑨
|
𝒔
=+
´ 𝝎
𝑆 ´ 𝑆
𝑥 (
´ 𝝎
𝑆 ´ 𝑆
𝑥
´
𝑶 ´ 𝑨 )
= −
𝑑
2
𝛾
𝑑 𝑡
2
𝑅𝑠𝑒𝑛
( 𝛽 +𝛾
)
´
i +
𝑑
2
𝛾
𝑑 𝑡
2
𝑅𝑐𝑜𝑠
( 𝛽+𝛾
)
´
j − 2 𝑅
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
𝑑 𝛾
𝑑𝑡
[ 𝑐𝑜𝑠
( 𝛽+𝛾
)
´
i+ 𝑠𝑒𝑛
( 𝛽 +𝛾
)
´
j] −α 𝑅𝑠𝑒𝑛
( 𝛽+𝛾
)
´
i + α 𝑅𝑐𝑜𝑠
( 𝛽+𝛾
)
´
j −
(
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
)
2
𝑅
[
𝑐𝑜𝑠
( 𝛽+𝛾
)
´
i +
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
𝑅𝑠𝑒𝑛
( 𝛽+𝛾
)
´
j
]
Sistemas de referencia
Como la aceleración angular α es constante:es constante:
𝑑
2
𝛽
𝑑 𝑡
2
= α
¿ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
¿ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡
⇒
𝑑 𝛽
𝑑𝑡
= αt + ω 𝑜
| 𝑆 ´ 𝑆
¿ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
¿ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑡
⇒
𝛽= α
t
2
2
- ωw 𝑜
| 𝑆 ´ 𝑆
𝑡 + 𝛽 𝑜
𝒗^ ´ 𝑨
| 𝒔 ´
=𝑣
´ j ´´= 𝝎 ´ 𝑆 ´ ´ 𝑆 ´
𝑥
´ 𝑶 ´ 𝑨 =
𝑑 𝛾
𝑑𝑡
´ k ´´ 𝑥𝑅
´ i´´=𝑅
𝑑 𝛾
𝑑𝑡
´ j´´
¿ 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜
¿ 𝑚 ó 𝑑𝑢𝑙𝑜𝑠
⇒
𝑑 𝛾
𝑑𝑡
=
𝑣
𝑅
=𝑐𝑡𝑒
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒
⇒
𝑑
2
𝛾
𝑑 𝑡
2
= 0 ; 𝛾=
𝑣
𝑅
𝑡 +𝛾 𝑜
Sustituyendo en la expresión anterior proporciona la dependencia buscada.
Aceleraciones.
Aceleraciones.