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CAPITULO TRES
3. LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
3.1. DEFINICIÓN Y PRESENTACIÓN DE CADA SISTEMA
3.1.1. INTRODUCCIÓN
En la electrónica digital se trabaja con cantidades discretas. Los sistemas de numeración son ejemplo del tratamiento discreto, si se escribe el 321 se interpreta la existencia de trescientos veintiún elementos. La expresión (345) 8 representa el número tres cuatro cinco pero en base de numeración ocho. Hay diversos sistemas tantos como se quieran. El más conocido y usado es el Sistema de numeración Decimal, no es el único y por el contrario los más utilizados en los circuitos digitales son el octal, el hexadecimal y sobre todo el binario.
El binario en el que hay tan solo dos valores es el que realmente representa la importancia de los circuitos digitales y su comportamiento. Solo hay dos estados posibles o se es o NO se es, pero no hay intermedios. Encendido o apagado, día o noche, funciona o no funciona, Activado o desactivado, en cada caso existe un uno o existe un cero lógico.
El estudio de este apartado le permitirá al lector armarse de las herramientas suficientes para comprender la llamada lógica binaria a la que se tendrá que enfrentar en los capítulos subsiguientes.
3.1.2. BOSQUEJO HISTÓRICOi
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa o abarca a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser
ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases, y la numeración la Maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que se sigue haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren demasiada cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron esgrimiendo razones como: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones
3.1.2.1. Sistemas de Numeración Aditivos ii
Considérese el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.
- Escribir los símbolos correspondientes a cada valor del número anterior:
En este caso, se escribieron de izquierda a derecha, pero podría ser a la inversa. La vara y la cuerda ocupan dos renglones.
- ¿Qué número es éste?
- Observando cuántos símbolos hay y cuál es su valor. La ilustración muestra:
1 pez (100 000), 2 flores (1 000 cada una), 2 cuerdas (100 cada una) y 2 varas.
- Se suman los valores:
100.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 1 + 1 = 102.
**3.1.2.1.2. El Sistema de Numeración Griego ****
** (^) idem
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba símbolos, como los de la figura No 31, para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
**Figura No 31. Representación del sistema de numeración griego. Ejemplo del 3737 *****
3.1.2.2. Sistemas de Numeración Híbridos
En el anterior sistema los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto se piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc.; pero, para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
*** (^) Idem
60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio, en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.
Figura No 33.Sistema Posicional base 20
La figura No 33 ilustra el sistema del que se hace mención. Parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Ejemplo de varios números se ilustran en la figura No 34 donde se presenta un sistema de numeración comercial con base veinte(20).
Figura No 34. Representación de varios números en base 20
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18= para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. Tal presentación es lo reflejado en la gráfica No 35.
Figura No 35. Aplicación astronómica al sistema posicional base 20 de los Mayas
3.1.2.3.1. El Sistema de Numeración Babilónico$
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. Uno de ellos fue un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.
En el sistema decimal babilónico, las reglas para representar una cantidad son las siguientes:
a. La cuña con valor 1 se podía repetir hasta un total de nueve veces.
b. Cuando se repiten símbolos se suman sus valores. A la izquierda se escriben los símbolos mayores.
Por ejemplo:
$ (^) Algunos de los ejemplos son tomados de: http://www.tareasya.com/noticia.asp?noticia_id=1319#egipcio
Figura 36. Representación sexagesimal babilónico
En esta tabla se representó el número 3.661 porque hay una cuña de valor 1 en cada casilla, lo cual equivale a: 1 x 3 600 + 1 x 60 + 1 = 3 600 + 60 + 1 = 3661
También puede escribirse más de una cuña por casilla. En ese caso, se suma primero el valor total de las cuñas y luego se multiplica por la potencia correspondiente.
Ejemplo:
- ¿Cuál es el valor de los siguientes numerales?
Solución :
∗ En este caso, tenemos:
3 x 60 1 + 10 = 3 x 60 + 10 = 180 + 10 = 190
∗ El segundo número es:
3 x 60 2 + 12 x 60 1 + 30 = 3 x 3 600 + 12 x 60 + 30 = 10 800 + 720 + 30 = 11.
En la segunda casilla se suma primero 10 + 2 = 12 y después se multiplica por la potencia correspondiente.
El sistema sexagesimal se usa actualmente en la medición de ángulos (grados, minutos y segundos) y del tiempo (horas, minutos y segundos).
Ejemplos
- Sumar 28 grados 13 minutos y 25 segundos con 76 grados 28 y 17 segundos
- Verifica el resultado para comprobar si se deben transformar alguna de las unidades a su inmediata superior.:
En este caso, 83’’ puede convertirse a minutos, porque 60'' = 1'. Así que la respuesta es:
61 o^ 55’ 23”
3.1.2.3.2. El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico.
Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el cual el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.
3.1.3. ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE NUMERACIÓN?
Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que u n sistema de numeración es el conjunto de elementos(símbolos o números),
3.1.4.2. Sistema binariov"
3.1.4.2.1. Definición. El sistema de numeración Binario es el conjunto de elementos formado por el 0 y el 1, con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación) y lógicas (OR, AND y NOT) y además sus propias relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones entre sus dos elementos.
3.1.4.2.2. Operaciones Aritméticas
3.1.4.2.2.1. Suma. Se realiza exactamente igual que en el sistema de numeración decimal teniendo en cuenta que si se excede la base se lleva en la siguiente cifra una unidad de orden superior. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplos:
- Sumar (100101) 2 con (110010) 2
- Resolver (100111) 2 + (110010) 2
- Resolver: (1001,101) 2 + (0110,010) 2
- Resolver: (1011,111) 2 + (0010,010) 2
" (^) Referencias conceptuales no textuales.
- Resolver: (1011,111) 2 + (1011,111) 2 + (0010,010) 2
- Resolver: (1011,111) 2 + (1011,111) 2 + (10010,000) 2 + (0010,010) 2
3.1.4.2.2.2. Resta. Se realiza exactamente igual que en el sistema de numeración decimal teniendo en cuenta que si se excede la base se lleva en la siguiente cifra una unidad de orden superior. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplos
- Resolver. (111101) 2 - (110010) 2
- Resolver: (1011,111) 2 - (0010,010) 2
- (110010) 2 el complemento a uno será 001101 ahora
001101 + 1 = 001110
Luego el complemento a dos es 001110
- (000101) 2 el complemento a uno será 111010, ahora
111010 + 1 = 111011
Luego el complemento a dos es 111011
Ahora sí se pueden realizar restas. Para resolver adecuadamente una operación de resta se debe tomar el sustraendo sacar complemento a dos y tal número resultante se suma con el minuendo. Es decir, se aplica la tesis: La resta es una suma pero con un número negativo. La forma de expresar un número negativo es sacándole el complemento a dos al número vi$$^.
Ahora bien, si el número da con un acarreo este se desecha y el número se asume positivo. De lo contrario, es decir, sí da sin acarreo el número es negativo: Lo que se obtiene hasat aquí es la representación del número en complemento a dos, se debe por tanto sacar el complemento a dos y ese será el resultado pero negativo^1.
Ejemplos
- (111101) 2 - (110010) (^2)
Complemento a uno de 110010 es 001101 Complemento a dos de 110010 es 001101 + 1, es decir, 001110 La suma del minuendo con el complemento a dos del sustraendo será:
Acarreo
$$ (^) La referencia es conceptual no textual. (^1) No olvidar que la representación en complemento a dos de un número positivo es el mismo número, pero de
un número negativo es el proceso mostrado en esta sección.
Como hay acarreo este se suprime y se asume que el resultado es positivo y es (1011) 2
- (1011,111) 2 - (0010,010) 2
Complemento a uno de 0010,010 es 1101, Complemento a dos de 0010,010 es 1101,101 + 0,001, es decir, 1101, La suma del minuendo con el complemento a dos del sustraendo será:
Acarreo
Como hay acarreo este se suprime y se asume que el resultado es positivo y es (1001,101) 2
Complemento a uno de 111101 es 000010 Complemento a dos de 111101 es 000010 + 1, es decir, 000011 La suma del minuendo con el complemento a dos del sustraendo será:
**(110010) 2
(110101)** (^2)
Como no hay acarreo el número es negativo y debe sacarse el complemento a dos, pues está expresado como complemento a dos, para saber que número es 001010 +1 el resultado es: -(001011) (^) 2
- (0010,010) 2 - (1011,111) 2
Complemento a uno de 1011,111 es 0100, Complemento a dos de 1011,111 es 0100,000 + 0,001, es decir, 0100, La suma del minuendo con el complemento a dos del sustraendo será:
- Multiplicar: (110,0001)*(1001,10) (^2)
1 1 0 ,0 0 0 1 1 0 0 1 ,1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 ,1 0 0 1 1 0
(110,0001)*(1001,10) 2 = (111001, 100110) 2
- Multiplicar (110101)*(100100,1) (^2)
1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 , 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 ,
(110101)*(100100,1) 2 = (11110001110,1) 2
- Multiplicar: (10101)*(110,1) (^2)
1 0 1 0 1 1 1 0 , 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 ,
- Multiplicar (0101,101)*(11,110) (^2)
.x 1 ,0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 ,0 1 0 1 1
- Multiplicar: (1001,101) 2 *(11101,101) 2
3.1.4.2.2.4. División****. Igual cosa que la multiplicación en este caso las restas deben hacerse como ya se dijo antes, teniendo en cuenta el complemento a dos para el minuendo, ya que es un número negativo. El procedimiento general es:
- Se toma el mismo número de cifras en el dividendo que las que tiene el divisor, si no cabe ninguna vez se toma una más.
x 11101,
1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
(1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1)
