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5 Sistemas de partículas y conservación del momento lineal.
Centro de masas
1. Dar un ejemplo de un objeto tridimensional que no tenga masa en su centro de
masas.
Arandela, círculo hueco, cubo hueco, …
2. Tres masas puntuales de 2 kg cada una están localizadas sobre el eje x, en el origen,
en x=0, x = 0,20 m y en x= 0,5 m. Hallar el centro de masas del sistema.
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒙
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒙
𝟐
+𝒎
𝟑
∗𝒙
𝟑
𝒎
𝒎∗𝟎+𝒎∗𝟎,𝟐𝟎+𝒎∗𝟎,𝟓
𝟑∗𝒎
𝟎,𝟕𝟎
𝟑
3. Un muchacho de 24 kg está a 20 m de un hombre de 86 kg. ¿Dónde se encuentra el
centro de masas del sistema?
Tomando como origen de coordenadas al hombre:
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒙
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒙
𝟐
𝒎
𝟐𝟒∗𝟐𝟎+𝟖𝟔∗𝟎
𝟐𝟒+𝟖𝟔
= 𝟒, 𝟑𝟔 𝒎 𝒅𝒆𝒍 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 i a 20-4,36=15,63 m del
chico.
4. Tres objetos de 2 kg cada uno están localizados en el plano xy en los puntos (
cm,0) y (10 cm,10 cm). Determinar la localización del centro de masas.
𝒄𝒎
𝒎 𝟏
∗𝒙 𝟏
+𝒎 𝟐
∗𝒙 𝟐
𝒎
𝟎,𝟏∗𝟐+𝟎,𝟏∗𝟐
𝟐+𝟐
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒚
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒚
𝟐
𝒎
𝟐∗𝟎+𝟐∗𝟎,𝟏
𝟐+𝟐
5. Determinar el centro de masas x cm
de las tres masas indicadas en la figura.
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒙
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒙
𝟐
+𝒎
𝟑
∗𝒙
𝟑
𝒎
𝟏∗𝟏+𝟐∗𝟐+𝟖∗𝟒
𝟏+𝟐+𝟖
6. El hacha de piedra de la figura, en donde se muestran sus dimensiones, está formada
por una piedra simétrica de 8 kg atada al extremo de un palo homogéneo de 2,5 kg.
¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su centro de masas?
El centro de masas del palo está en x= 40 cm, el de la piedra estará en x=80+9=89 cm.
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒙
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒙
𝟐
𝒎
𝟐,𝟓∗𝟎,𝟒+𝟖∗𝟎,𝟖𝟗
𝟖+𝟐,𝟓
= 𝟎, 𝟕𝟕 𝒎 tomando el origen de coordenadas a
la izquierda.
7. Tres pequeñas bolas A, B y C de masas 3 kg, 1 kg y 1 kg respectivamente, están
conectadas por barras de masas despreciables. Las bolas están localizadas en la
forma indicada en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de masas?
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒙
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒙
𝟐
+𝒎
𝟑
∗𝒙
𝟑
𝒎
𝟑∗𝟐+𝟏∗𝟏+𝟏∗𝟑
𝟑+𝟏+𝟏
𝒄𝒎
𝒎
𝟏
∗𝒚
𝟏
+𝒎
𝟐
∗𝒚
𝟐
+𝒎
𝟑
∗𝒚
𝟑
𝒎
𝟑∗𝟐+𝟏∗𝟏+𝟏∗𝟎
𝟑+𝟏+𝟏
8. Por simetrías, localizar el centro de masas de un triángulo equilátero de lado a, que
tiene un vértice sobre el eje y y los otros dos en (-a/2,0) y (+a/2,0).
En el eje x tendremos x cm
Considerando la figura, en el eje y:
𝒚
𝒄𝒎
𝒂/𝟐
𝒄𝒎
9. Una lámina uniforme de madera muy fina (figura) tiene una masa de 20 kg.
Determinar su centro de masas.
𝒄𝒎
∫ 𝒙∗𝒅𝒎
𝑳
𝟎
∫ 𝝀 𝟎
𝑳
𝟎
∗(𝟏+
𝒙
𝟐
𝑳
𝟐
)𝒅𝒙
∫ 𝒙∗𝝀∗𝒅𝒙
𝑳
𝟎
𝝀
𝒐
∗(𝒙+
𝒙
𝟑
𝟑∗𝑳
𝟐
)
𝟎
𝑳
∫ (𝟏+
𝒙
𝟐
𝑳
𝟐
)∗𝒙∗𝒅𝒙
𝑳
𝟎
𝟒∗
𝑳
𝟑
∫ (𝒙+
𝒙
𝟑
𝑳
𝟐
)∗𝒅𝒙
𝑳
𝟎
𝟒∗
𝑳
𝟑
𝒄𝒎
𝟑
𝟒∗𝑳
[
𝒙
𝟐
𝟐
𝒙
𝟒
𝟒∗𝑳
𝟐
]
𝟎
𝑳
𝟑
𝟒∗𝑳
𝑳
𝟐
𝟐
𝑳
𝟒
𝟒∗𝑳
𝟐
𝟑
𝟒∗𝑳
𝟐
𝟑
𝟒
𝟗∗𝑳
𝟏𝟔
12. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de radio R y
masa M.
𝒄𝒎
∫ 𝒛 𝒅𝒎
𝑴
∫ 𝒛∗𝝆∗𝝅∗𝒓
𝟐
∗𝒅𝒛
𝑹
𝟎
𝟏
𝟐
∗𝝆∗
𝟒
𝟑
∗𝝅∗𝑹
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄𝒎
𝟑∗∫ 𝒛∗(𝑹
𝟐
−𝒛
𝟐
)∗𝒅𝒛
𝑹
𝟎
𝟐∗𝑹
𝟑
𝟑∗𝑹
𝟒
/𝟒
𝟐∗𝑹
𝟑
𝟑
𝟖
13. Determinar el centro de masas de una corteza semiesférica delgada.
𝒄𝒎
∫
𝒛 𝒅𝒎
𝑴
∫
𝒛∗𝝈∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒅𝒛
𝟏
𝟐
∗𝟒∗𝝅∗𝑹
𝟐
∗𝝈
Substituyendo:
𝒄𝒎
𝝈∗𝟐∗𝝅∗∫ 𝑹
𝟑
∗𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒔𝒆𝒏𝜽∗𝒅𝜽
𝝅/𝟐
𝟎
𝟐∗𝝅∗𝑹
𝟐
∗𝝈
𝑹
𝟑
∗∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽∗𝒅𝜽
𝝅/𝟐
𝟎
𝑹
𝟐
[
𝟏
𝟐
]
𝟎
𝝅
𝟐
14. Una lámina de metal se corta en forma parabólica. El borde de la lámina viene dado
por la expresión y=ax
2
, en donde y varía de y=0 a y=b. Determinar el centro de masas
en función de a y b.
𝒄𝒎
∫ 𝒚∗𝝈∗𝒅𝑨
∫ 𝒙∗𝝈∗𝒅𝒚
∫ 𝒙∗𝒚∗𝒅𝒚
𝒃
𝟎
∫ 𝒙∗𝒅𝒚
𝒃
𝟎
Calculamos las integrales:
𝒚
𝟏
𝟐
√𝒂
𝒃
𝟎
𝟏
√𝒂
𝟑
𝟐 𝒅𝒚
𝒃
𝟎
𝒃
𝟎
𝟏
√𝒂
∗ [
𝟐∗𝒚
𝟓
𝟐
𝟓
]
𝟎
𝒃
𝟐∗𝒃
𝟓/𝟐
𝟓∗√𝒂
𝒃
𝟎
𝒚
𝟏/𝟐
√𝒂
𝒃
𝟎
𝟏
√𝒂
∗ [
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐 ]
𝟎
𝒃
𝟐∗𝒃
𝟑/𝟐
𝟑∗√𝒂
Substituyendo:
𝒄𝒎
𝟑
𝟓
Movimiento del centro de masas de un sistema
15. La víspera del examen de Física, un estudiante A dice a otro B “Tengo un gran
problema. De acuerdo con la Física de Newton, sólo las fuerzas externas pueden
acelerar el centro de masas de un sistema. Sin embargo, un coche acelera por la
acción de su motor; por tanto, Newton estaba equivocado”. ¿Cómo puede el
estudiante B explicar al A que su razonamiento no es correcto?
La fuerza que impulsa el coche es la que ejerce el suelo sobre las ruedas, reacción de
la que hacen las ruedas sobre el suelo.
16. Dos discos de masas m 1
y m 2
yacen desconectados sobre una mesa sin rozamiento.
Una fuerza horizontal F 1
se ejerce sobre m 1
solamente. ¿Cuál es la magnitud de la
aceleración del centro de masas de los discos?
a) 𝑭
𝟏
𝟏
b) 𝑭
𝟐
𝟐
c) 𝑭
𝟏
𝟏
𝟐
d) (𝒎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝒄𝒎
𝒎 𝟏
∗𝒂 𝟏
+𝒎 𝟐
∗𝒂 𝟐
𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
En nuestro caso 𝒂
𝟏
𝟏
𝟏
y 𝒂
𝟐
Por tanto, 𝒂
𝒄𝒎
𝑭
𝟏
𝒎
𝟏
+𝒎
𝟐
**. Respuesta c.
- Los dos discos del problema 16 yacen sobre una mesa sin rozamiento y están**
conectados por un muelle de constante de fuerza k. Una fuerza horizontal F 1
se
ejerce de nuevo sobre m 1
a lo largo del muelle alejándose de m 2
. ¿Cuál es la
magnitud de la aceleración del centro de masas?
22. Un muelle vertical de constante de fuerza k está sujeto por la parte inferior a una
plataforma de masa m p
y en la parte superior posee una cápsula sin masa como
indica la figura. La plataforma reposa sobre una balanza. Una bola de masa m p
se
sitúa en la cápsula. ¿Cuál es la lectura de la balanza cuando
a) ¿El muelle se comprime la longitud d=m b
g/k?
b) ¿La bola alcanza momentáneamente el reposo con el muelle comprimido?
c) ¿La bola alcanza de nuevo el reposo en su posición original?
a) Las fuerzas que actúan sobre el muelle son:
La resultante ha de ser cero.
𝒏
𝒑
𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒓𝒕𝒆
𝒏
𝒑
𝒏
𝒑
𝒎 𝒃
∗𝒈
𝒌
𝒑
𝒃
b) En la situación de reposo, máxima compresión, considerando el nivel de altura
cero en ésta posición y la situación inicial con una altura d:
En la posición inicial toda la energía es potencial gravitatoria y en la final
potencial elástica:
𝒃
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐∗𝒎
𝒃
∗𝒈
𝒌
Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre el resorte:
𝒏
𝒑
𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒓𝒕𝒆
𝒏
𝒑
𝒑
𝟐∗𝒎
𝒃
∗𝒈
𝒌
𝒏
𝒑
𝒃
c) En este caso d=0.
𝒏
𝒑
23. En la máquina de Atwood de la figura, la cuerda pasa por una polea fija, sin
rozamiento, de masa m c
a) Determinar la aceleración del centro de masas del sistema formado por los
bloques y la polea.
b) Utilizar la segunda ley de Newton (para sistemas) para determinar la fuerza F
ejercida por el soporte.
c) Determinar la tensión de la cuerda que conecta los bloques y demostrar que
F=m c
g+ 2 T.
Tomamos como positiva el sentido hacia abajo
a) 𝒂
𝒄𝒎
𝒎 𝟏
∗𝒂 𝟏
+𝒎 𝟐
∗𝒂 𝟐
+𝒎 𝒄
∗𝒂 𝒄
𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
+𝒎 𝒄
Las aceleraciones de las masas 1 y 2 :
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒎
𝟏
−𝒎
𝟐
𝒎
𝟏
+𝒎
𝟐
𝒄𝒎
𝒎 𝟏
−𝒎 𝟐
𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
+𝒎 𝒄
Para la polea a =0.
𝒄𝒎
𝒎 𝟏
−𝒎 𝟐
𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
+𝒎 𝒄
𝒎 𝟏
−𝒎 𝟐
𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
𝒄𝒎
( 𝒎 𝟏
−𝒎 𝟐
)
𝟐
( 𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
) ∗(𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
+𝒎 𝒄
)
b) Considerando positivo hacia arriba:
𝟏
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐
𝒄
𝒄𝒎
𝟏
𝟐
𝒄
𝒄𝒎
𝟏
𝟐
𝒄
( 𝒎 𝟏
−𝒎 𝟐
)
𝟐
( 𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
)
𝟒∗𝒎 𝟏
∗𝒎 𝟐
( 𝒎 𝟏
+𝒎 𝟐
)
𝒄
c) 𝑻 =
𝟐∗𝒎
𝟏
∗𝒎
𝟐
𝒎
𝟏
+𝒎
𝟐
c) La velocidad del centro de masas de un sistema es igual al momento lineal total
del sistema dividido por su masa total.
Las tres son verdaderas.
26. ¿Cómo es el movimiento de retroceso de un rifle o de un cañón en relación con la
conservación de la cantidad de movimiento?
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
−𝒎
𝟏
∗𝒗
𝟏
𝒎
𝟐
27. Un hombre está aislado en el medio de una pista de patinaje sin ningún tipo de
rozamiento, ¿Cómo podría alcanzar el borde la pista?
Lanzando los objetos que tenga (ropa, zapatos,) en un sentido, el se moverá en
sentido contrario.
28. Una muchacha salta de un bote al muelle. ¿Por qué debe saltar con más energía de
la que necesitaría si saltase la misma distancia de un muelle al otro?
Al saltar desde el barco:
𝒃𝒂𝒓𝒄𝒐
𝒎𝒖𝒄𝒉𝒂𝒄𝒉𝒂
𝒎𝒖𝒄𝒉𝒂𝒄𝒉𝒂
𝒑 𝒃𝒂𝒓𝒄𝒐
𝒎 𝒎𝒖𝒄𝒉𝒂𝒄𝒉𝒂
Una parte de la energía se invierte en energía del barco.
𝒎𝒖𝒄𝒉𝒂𝒄𝒉𝒂
𝒑
𝟐
𝒎𝒖𝒄𝒉𝒂𝒄𝒉𝒂
𝟐∗𝒎 𝒎𝒖𝒄𝒉𝒂𝒄𝒉𝒂
𝒃𝒂𝒓𝒄𝒐
𝒑
𝟐
𝒃𝒂𝒓𝒄𝒐
𝟐∗𝒎 𝒃𝒂𝒓𝒄𝒐
Al saltar desde el suelo, la masa de la Tierra es muy grande, y la velocidad y energía
del suelo es cero. Aprovecha tota la energía del salto.
29. Una gran parte de la investigación pionera sobre el movimiento de cohetes fue
realizada por Robert Goddard, profesor de física en el Clark College de Worcester,
Massachusetts. Un editorial de New York Times, publicado en 1921, ilustra la
aceptación pública de su trabajo:” El profesor Goddard con su cátedra de Clark
College y elapoyo de la Institución Smithsoniana desconoce la relación entre acción y
reacción y la necesidad de tener algo mejor que el vacío frente a lo cual reaccionar-
es decir, su idea es absurda. Naturalmente parece desconocer las enseñanzas
impartidas diariamente en los centros de enseñanza media”. La creencia de que un
cohete necesitaba algúnmedio sobre el cual empujar, era un concepto erróneo
predominante antes de que los cohetes en el espacio fueran algo común. Explicar
por qué dicha creencia es errónea.
La tercera ley de Newton aplicada a nuestro movimiento dice que, si hacemos una
fuerza sobre el suelo, su reacción nos impulsa hacia delante.
En el caso de los cohetes, tenemos un sistema aislado, su cantidad de movimiento se
ha de conservar. Si los gases son impulsados hacia atrás con una velocidad, la parte
delantera del cohete será impulsada hacia delante para conservar la cantidad de
movimiento del sistema.
30. Tres jóvenes L, J y T descubren que un producto químico escapa uniformemente por
un agujero que existe en el fondo de un vagón de ferrocarril. Para comprobar la
posibilidad de un accidente medioambiental graban por medio de un vídeo el
movimiento del vagón cuando rueda sin rozamiento con una velocidad inicial v o
. T
opina que un análisis cuidadoso del vídeo, mostrará que la velocidad del vagón
aumenta porque pierde masa al perder el producto. L opina, por el contrario, que,
con una pérdida de masa, la velocidad del vagón debe disminuir. J dice que la
velocidad no se modificará.
a) ¿Qué opinión es la correcta?
b) ¿Qué fuerzas se ejercen sobre el sistema formado por el vagón más el producto
químico?
a) La opinión correcta sería la de T, la velocidad ira aumentando al ir saliendo el gas
para conservar la cantidad de movimiento del sistema.
34. Una granada de masa m y velocidad v explota en dos fragmentos idénticos. Si la
granada se movía horizontalmente respecto a la tierra y después de la explosión uno
de los fragmentos se mueve verticalmente con la magnitud de la velocidad v,
determinar la velocidad v’ del otro fragmento.
𝒎
𝟐
𝒙
′
𝒙
′
𝒎
𝟐
𝒎
𝟐
𝒚
′
𝒚
′
35. En un camión de circo, Marcelo (masa 70,0 kg) sale disparado de un cañón con una
velocidad inicial de 24,0 m/s formando un ángulo de 30º con la horizontal. La
compañera de equipo, Tina (masa 50,0 kg), está de pie sobre una plataforma elevada
con el punto más alto de la trayectoria del hombre bala. Marcelo atrapa a Tina y
ambos siguen el recorrido conjuntamente hasta caer en una red que se encuentra a
una distancia x del cañón y a la misma altura que éste. Calcular x.
En el punto alto:
𝒐
𝒗
𝒐
∗𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒈
𝒐
(𝒗 𝒐
∗𝒄𝒐𝒔𝜽)
𝟐
𝒈
En el choque:
𝟏
𝒐
𝟏
𝟐
𝒐
𝒄𝒐𝒔𝜽
( 𝒎
𝟏
+𝒎
𝟐
)
Estará el mismo tiempo en bajar que el que ha estado subiendo, el choque no afecta
al movimiento vertical, únicamente al movimiento horizontal. La posición de caída
será:
𝒂𝒍𝒕 𝒎𝒂𝒙
(𝒗
𝒐
∗𝒄𝒐𝒔𝜽)
𝟐
𝒈
𝒐
𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒎
𝟏
+𝒎
𝟐
)
𝒗
𝒐
∗𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒈
Substituyendo valores:
(𝟐𝟒∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎)
𝟐
𝟗,𝟖
(𝟐𝟒∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎)
𝟐
(𝟓𝟎+𝟕𝟎)∗𝟗,𝟖
36. Un bloque y una pistola cargada están firmemente fijos en los extremos opuestos de
una plataforma de masa despreciable que descansa sobre una mesa de colchón de
aire sin rozamiento (figura). La masa de la pistola es m p
, la del bloque m bl
y la de la
bala m b
. El arma está dispuesta de modo que, al disparar, la bala se incrusta en el
bloque. La velocidad inicial de la bala es v b
, medida por un observador en reposo
respecto a la mesa. Suponer que la caída de la bala es despreciable y su penetración
en el bloque es pequeña.
a) ¿Cuál es la velocidad de la plataforma inmediatamente después de que la bala se
detenga en el bloque?
b) ¿Cuál es la velocidad de la plataforma inmediatamente después de que la bala
quede en reposo dentro del bloque?
c) ¿Qué distancia ha recorrido el bloque desde su posición inicial hasta que la bala
se detiene en el bloque?
a) Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento a éste caso:
𝒑
𝒃𝒍
𝒑
𝒃
𝒃
𝒑
−𝒎
𝒃
∗𝒗
𝒃
(𝒎
𝒑
+𝒎
𝒃𝒍
)
La masa de la plataforma es igual a la de la pistola al estar adherida a ella.
b) Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento a esta segunda colisión:
𝒃
𝒃
𝒃𝒍
𝒑
𝒑
𝒃
𝒃𝒍
𝒑
Utilizando la velocidad obtenida en a para v p
obtenemos v=0.
También directamente, suponiendo sistema aislado, si inicialmente la cantidad
de movimiento era cero, la final también ha de serlo. Por tanto, v=0.
c) 𝒗
𝒃
𝑳
∆𝒕
𝑳
𝒗
𝒃
𝒑
−𝒎
𝒃
∗𝒗
𝒃
(𝒎
𝒑
+𝒎
𝒃𝒍
)
𝑳
𝒗
𝒃
−𝒎
𝒃
∗𝑳
(𝒎
𝒑
+𝒎
𝒃𝒍
)
37. Un pequeño objeto de masa m desliza hacia abajo por una cuña de masa 2 m y luego
se desliza suavemente sobre una mesa sin rozamiento. La cuña está inicialmente en
reposo sobre la mesa. Si el objeto está inicialmente en reposo sobre una altura h por
encima de la mesa, determinar la velocidad de la cuña cuando el objeto se separa de
esta.
En ausencia de fricción, la energía se conserva durante la bajada:
𝟏
𝟐
𝒐
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄
𝟐
Por otra parte, tenemos conservación de la cantidad de movimiento:
𝒐
𝒄
𝒐
𝒄
Substituimos en la ecuación de la energía:
𝟏
𝟐
𝒄
𝟐
𝒄
𝟐
𝒄
𝒈∗𝒉
𝟑
Energía cinética de un sistema
38. Describir como se mueve una pelota de baloncesto cuando
a) Su energía cinética total sea exactamente la energía del movimiento del centro
de masas.
b) Su energía cinética sea la energía del movimiento respecto del centro de masas.
a) En este caso las partículas se moverán linealmente como el centro de masa, sin
rotaciones alrededor de él.
De esta forma:
𝒄
𝟏
𝟐
𝒄𝒎
𝟐
𝟏
𝟐
𝒊
𝒊
𝟐
𝒊
b) En este caso
42. Explicar por qué una red de seguridad puede salvar la vida de un trapecista.
Si ampliamos el tiempo que dura la interacción reduciremos la fuerza que actúa
sobre el trapecista.
43. ¿Cómo podría estimarse el tiempo de colisión entre un bate y una pelota de béisbol?
Si sabemos la distancia del cambio de velocidad tendremos:
∆𝒙
∆𝒗
Suponiendo el cambio de velocidad de la de llegada hasta cero ∆𝒗 = 𝒗 ; ∆𝒕 = ∆𝒙/𝒗
44. ¿Cómo es posible que una copa de vino no se rompa al caer sobre una alfombra y en
cambio se rompe siempre al caer sobre un suelo de piedra?
En la alfombra aumenta el tiempo de interacción, disminuye la fuerza.
45. Un balón de rugby de masa 0,43 kg sale del pie del chutador con una velocidad inicial
de 25 m/s.
a) ¿Cuál es el impulso impartido al balón por el chutador?
b) Si el pie del jugador está en contacto con el balón durante 0,008 s, ¿Cuál es la
fuerza media ejercida por el pie sobre el balón?
a) 𝑰 = ∆𝒑⃗⃗ ; 𝑰 = 𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
𝒐
b) 𝑰 = 𝑭
𝑰
∆𝒕
𝟏𝟎,𝟕𝟓
𝟎,𝟎𝟎𝟖
46. Un ladrillo de 0,3 kg se deja caer desde una altura de 8 m. Choca contra el suelo y
queda en reposo.
a) ¿Cuál es el impulso ejercido por el suelo sobre el ladrillo?
b) Si desde que el ladrillo toca el suelo hasta que queda en reposo transcurren
0,0013 s, ¿Cuál es la fuerza media ejercida por el suelo sobre el ladrillo?
a) Por conservación de energía:
𝟏
𝟐
𝟐
En el choque:
𝒇
𝒐
b) 𝑰 = 𝑭
𝑰
∆𝒕
𝟑,𝟕𝟔
𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟑
𝟑
47. En el Hayden Planetarium de Nueva York se exhibe un meteorito de 30,8 ton
(ton=1000 kg). Supongamos que la energía cinética del meteorito cuando chocó
contra el suelo fue de 617 MJ. Determinar el impulso I experimentado por el
meteorito en el momento (unos 3,0 s) en que su energía cinética se había reducido a
la mitad. Determinar también la fuerza media ejercida sobre el meteorito durante
este intervalo de tiempo.
𝒄𝒊
𝟏
𝟐
𝒊
𝟐
𝒊
𝟐∗𝑬
𝒄𝒊
𝒎
𝒄𝒇
𝑬 𝒄𝒊
𝟐
𝒇
𝟐∗𝑬
𝒄𝒇
𝒎
𝑬 𝒄𝒊
𝒎
𝑰 = ∆𝒑
⃗⃗ ; 𝑰 = 𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
− 𝒎 ∗ 𝒗
𝒊
= 𝟑𝟎, 𝟖 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
∗
√
𝟔𝟏𝟕∗𝟏𝟎
𝟔
𝟑𝟎,𝟖∗𝟏𝟎
𝟑
∗
( 𝟏 − √𝟐
) = 𝟏, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎
𝟔
𝒌𝒈 ∗ 𝒎/𝒔
𝑰
∆𝒕
𝟏,𝟖𝟏∗𝟏𝟎
𝟔
𝟑,𝟎
𝟓
48. Al golpear una pelota de béisbol de 0,15 kg, su velocidad cambia de +20 m/s a - 20
m/s.
a) ¿Cuál es la magnitud del impulso impartido por el bate a la pelota?
b) Si la pelota está en contacto con el bate 1,3 ms, ¿Cuál es la fuerza media ejercida
por el bate sobre la pelota?
a) 𝑰 = ∆𝒑
⃗⃗ ; 𝑰 = 𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
− 𝒎 ∗ 𝒗
𝒊
= 𝟎, 𝟏𝟓 ∗
( −𝟐𝟎 − 𝟐𝟎
) = −𝟔, 𝟎 𝒌𝒈 ∗ 𝒎/𝒔
b) 𝑰 = 𝑭
𝑰
∆𝒕
−𝟔,𝟎
𝟏,𝟑∗𝟏𝟎
−𝟑
𝟑
49. Una pelota de frontón de 300 g a la velocidad de 5,0 m/s, choca contra la pared bajo
un ángulo de 40º y rebota con la misma velocidad y el mismo ángulo. Si está en
contacto con la pared durante 2 ms, ¿Cuál es la fuerza media ejercida por la bola
sobre la pared?
𝑰 = ∆𝒑⃗⃗ ; 𝑰 = 𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
⃗⃗⃗⃗ − 𝒎 ∗ 𝒗
𝒊
⃗⃗⃗
En el eje x:
𝒙
𝒚
𝒙
𝑰 𝒙
∆𝒕
𝟐∗𝒎∗𝒗∗𝒄𝒐𝒔𝜽
∆𝒕
−𝟐∗𝟎,𝟑∗𝟓,𝟎∗𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎
𝟎,𝟎𝟎𝟐
Para la fuerza ejercida sobre la pared por la pelota tendremos que será igual i de
sentido contrario.
50. Un coche de 2000 kg que viaja a 90 km/h choca contra una pared de hormigón que
no cede.
a) Estimar el tiempo de choque, suponiendo que el centro del coche recorre la
mitad del camino hasta la pared con desaceleración constante. (Utilizar cualquier
longitud razonable para el coche).
b) Estimar la fuerza media ejercida por la pared sobre el coche.
a) Supongamos una distancia L como longitud del coche.
𝟐
𝒐
𝟐
𝒗
𝒐
𝟐
𝑳
𝒐
𝒗
𝒐
𝒂
𝑳
𝒗
𝒐
Si suponemos una longitud de 5 m.
𝟓
𝟗𝟎/𝟑,𝟔
b) 𝑭 =
∆𝒑
∆𝒕
𝒎∗𝒗 𝒇
−𝒎∗𝒗 𝒐
∆𝒕
𝒎∗𝒗 𝒐
𝑳
𝒗
𝒐
𝒗 𝒐
𝟐
𝑳
Para L= 5 m:
(
𝟗𝟎
𝟑,𝟔
)
𝟐
𝟓
𝟓
51. Se lanza una pelota de 150 g a una altura de 40 m.
𝑰 = ∆𝒑⃗⃗ ; 𝑰 = 𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
⃗⃗⃗⃗ − 𝒎 ∗ 𝒗
𝒊
⃗⃗⃗ = 𝟎, 𝟑𝟎𝟎 ∗
( −𝟖 − 𝟖
) = −𝟒, 𝟖𝒌𝒈 ∗ 𝒎/𝒔
El impulso transmitido a la pared será de igual dirección y sentido contrario.
b) 𝑭 =
𝑰
∆𝒕
𝟒,𝟖
𝟎,𝟎𝟎𝟑
c) Para la pelota:
𝑰 = 𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
⃗⃗⃗⃗ − 𝒎 ∗ 𝒗
𝒊
⃗⃗⃗ = 𝟎, 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟎 − 𝟎, 𝟑𝟎𝟎 ∗
( −𝟖
) = −𝟐, 𝟒 𝒌𝒈 ∗ 𝒎/𝒔
El impulso del jugador será el mismo de sentido contrario.
d) 𝒗
𝒎
𝒗 𝟐
𝟐
𝒅
∆𝒕
𝟐∗𝒅
𝒗 𝟐
𝑰
∆𝒕
𝑰
𝟐∗𝒅
𝒗
𝑰∗𝒗
𝟐∗𝒅
𝟐,𝟒∗𝟖
𝟐∗𝟎,𝟓
53. Las grandes cavernas de piedra caliza se formaron gracias al goteo constante de
agua.
a) ¿Cuál es la fuerza mínima ejercida sobre el suelo de caliza por las gotas de agua
de 0,03 mL que caen desde una altura de 5 m a razón de 10 por minuto?
b) Comparar esta fuerza con el peso de una gota de agua.
a) Calculamos la velocidad de llegada al suelo de las gotas:
𝟏
𝟐
𝟐
𝒎 ∗ 𝒗
𝒇
− 𝒎 ∗ 𝒗
𝒊
𝒇
𝒊
𝟑
−𝟖
𝟑
−𝟓
La fuerza anterior es la que actúa sobre las 10 gotas, sobre el suelo actuará la
misma fuerza con sentido contrario.
b) El peso de una gota es:
𝒌𝒈
𝒎
𝟑
−𝟖
𝟑
𝑵
𝒌𝒈
La relación:
𝑷
𝑭
𝟐,𝟗𝟒∗𝟏𝟎
𝟒
𝟒,𝟗𝟓∗𝟏𝟎
−𝟓
54. Un juego típico en las excursiones campestres es el lanzamiento de huevos. Dos
personas se lanzan un huevo no cocido de una a otra repetidamente mientras se
separan cada vez más. Si la fuerza requerida para romper la cáscara es de unos 5 N y
la masa del huevo es de 50 g, estimar la máxima separación q que pueden
encontrarse las dos personas. Hacer cualquier hipótesis razonable.
Supongamos que tenemos lanzamientos verticales sin velocidad inicial. El que está
arriba deja caer el huevo, el que está abajo recibe el impacto.
La velocidad de llegada del huevo a la persona será: 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉
La fuerza del impacto vendrá dada por:
∆𝒑
∆𝒕
𝒎∗𝒗
∆𝒕
𝒎∗√𝟐∗𝒈∗𝒉
∆𝒕
Despejando la altura:
𝑭
𝟐
∗∆𝒕
𝟐
𝒎
𝟐
∗𝟐∗𝒈
Suponemos un tiempo de choque de 0,01 s:
𝟓
𝟐
∗𝟎,𝟎𝟏
𝟐
𝟎,𝟎𝟓𝟎
𝟐
∗𝟐∗𝟗,𝟖𝟏
−𝟐
Si el tiempo es de 0,02 s: h=0,2 m.
Para 0,03 s: 0,5 m.
Para 0,05 s: 1,3 m.
Para 0,1 s: 5 m
Colisiones en una dimensión
55. Verdadero o falso:
a) En un choque perfectamente inelástico se pierde toda la energía cinética de las
partículas.
b) En un choque elástico frontal la velocidad relativa de retroceso después del
choque es igual a la velocidad relativa de aproximación antes del mismo.
c) La energía cinética se conserva en una colisión elástica.
a) Falso
b) Verdadero, es un sistema aislado.
c) Verdadero.
56. ¿En qué condiciones puede perderse toda la energía cinética inicial en un choque?
Ha de ser un choque perfectamente inelástico, y la cantidad de movimiento inicial de
las partículas que chocan ha ser cero.
57. Considerar una colisión perfectamente inelástica de dos objetos de igual masa.
a) ¿En qué caso es mayor la pérdida de la energía cinética: si los dos objetos tienen
velocidades directamente opuestas y de igual magnitud v/2, o si uno de los
objetos se encuentra inicialmente en reposo y el otro tiene una velocidad inicial
v?
b) ¿En qué situación es mayor el porcentaje de pérdida de energía cinética?
a) En el primer caso:
𝒗
𝟐
𝒗
𝟐
𝒇
𝒇
Se pierde toda la energía cinética:
𝒄
𝟏
𝟐
𝒗
𝟐
𝟒
𝒗
𝟐
𝟒
En el segundo caso:
𝒇
𝒇
𝒗
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐
𝒗
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
Se pierde la misma energía.
b) En el primer caso:
∆𝑬 𝒄
𝑬 𝒄𝒐
En el segundo caso:
