¡Descarga Solució parcial estadistica II y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
ESTADÍSTICA-2. CURS 2016-17. GRUP Z1 (GIE)
PAC-
INSTRUCCIONS
- La prova té una duració de 50 minuts.
- La prova té 4 versions (00, 11, 22 i 33). S’ha d’indicar la versió a la columna Questionari del full de la lectora.
- La prova té dues parts: un qüestionari de 10 preguntes i dos exercicis , amb un pes del 50% cada part.
- En el qüestionari les respostes incorrectes resten 1/3 de punt.
- S’ha de fer l’exercici 1 i l’exercici 2A o l’exercici 2B.
- Les solucions s’han de localitzar en el quadern en blanc i no en aquest enunciat.
- Resultats sense les operacions que permeten obtenir-los no puntuaran.
- Es valorarà la precisió en l’ús del llenguatge (verbal i matemàtic).
QUESTIONARI
1.La producció (tones per hectàrea) de les explotacions agràries d’una regió (X) es distribueix de forma normal amb mitjana 80 i variància 400. Si el govern atorga una subvenció (Y) que té una component fixe de 1000 (euros) i una de variable, per tona produïda, de 50 (euros) indica l’afirmació falsa:
a) La subvenció mitjana és de 5.000 (euros) b) La desviació estàndard (de la subvenció) és de 2000 (euros). c) Les subvencions per sobre dels 7.500 euros són menys del 1%. d) Les subvencions per sota dels 4.000 euros són més del 10%.
Informació addicional: Pr ≤ 1,28 = 0,90 Pr ≤ 2,33 = 0,
2.Les donacions individuals que fan els socis d’una ONG (X) es distribueixen segons una normal de mitjana 40 euros i variància 100. Aleshores, indica l’afirmació falsa:
a) Un 99,73% de les donacions tenen un import entre els 10 i els 70 euros. b) La suma de 25 donacions (Y) es distribueix també segons una normal. c) El valor esperat d’Y és 1000. La desviació estàndard és 250. d) Pr > 800 ≅ 1 Pr − 3 ≤ ≤ + 3 = 0,
3.Un local nocturn rep una mitjana de 3 inspeccions al mes. (Aquestes inspeccions tenen una distribució de Poisson). Aleshores, el nombre d’inspeccions al llarg d’un any:
a) Es distribueix segons una Poisson amb mitjana 36. b) Es distribueix segons una normal amb mitjana i variància 36. c) Serà inferior a 60 amb tota seguretat. d) Totes són correctes.
4.La distribució t d’Student:
a) És molt semblant a la Z (funció de densitat amb forma de campana centrada en el zero) però té una menor dispersió (variància/desviació estàndard) que aquesta: (^)! < = 1. b) Pr^ # > 1,28 és inferior a 0,10. c) (^) $;&,&# (percentil 95 d’una t3) és un valor inferior a 1,65. d) Totes són falses.
Informació addicional: Pr ≤ 1,28 = 0,90 Pr ≤ 1,65 = 0,
- Una distribució )!*:
a) Resulta de sumar n normals estàndard (Z) independents. b) No pot prendre mai un valor negatiu. c) És una distribució simètrica amb valor esperat igual a zero. d) Totes són correctes.
6.Sigui X el nombre de fills de les famílies d’una comunitat. Es seleccionarà una mostra (aleatòria simple) de només 2 famílies. Es calcularà la mitjana mostral. Indica l’afirmació correcta:
X 0 1 2 3 Suma P(X) 0,10 0,30 0,40 0,20 1,
a) Aquesta mitjana mostral tindrà una distribució de probabilitat normal. b) Aquesta mitjana mostral tindrà un valor esperat de 1,70. c) Aquesta mitjana mostral tindrà una variància de 0,81. d) Totes són correctes.
- Sigui X la distribució normal dels ingressos mensuals de les llars d’un país. Si es selecciona una mostra del 10 famílies, quina probabilitat hi ha que la variància mostral sigui superior al doble de la poblacional?
a) Inferior a un 2,5%. b) Inferior a un 5% (però superior a un 2,5%). c) No es pot calcular: s’hauria de conèixer (mitjana poblacional). d) No es pot calcular: s’hauria de conèixer (variància poblacional).
Informació addicional: Pr)+^ ≤ 17 = 0,95 Pr)+^ ≤ 19 = 0,
8.L’estadístic
,-. ,/.^ té una distribució mostral^ 01^2 − 1, 1^3 − 1^ :
a) Quan les poblacions són normals. b) Quan les mitjanes poblacionals són iguals. c) Quan les variàncies poblacionals són iguals. d) Quan es verifiquen a) i c).
SOLUCIONS
1.La producció (tones per hectàrea) de les explotacions agràries d’una regió (X) es distribueix de forma normal amb mitjana 80 i variància 400. Si el govern atorga una subvenció (Y) que té una component fixe de 1000 (euros) i una de variable, per tona produïda, de 50 (euros) indica l’afirmació falsa:
a) La subvenció mitjana és de 5.000 (euros) b) La desviació estàndard (de la subvenció) és de 2000 (euros). c) Les subvencions per sobre dels 7.500 euros són menys del 1%. d) Les subvencions per sota dels 4.000 euros són més del 10%.
Informació addicional: Pr ≤ 1,28 = 0,90 Pr ≤ 2,33 = 0,
X = Producció de les explotacions
= 456789 2 = 80; 2 *^ = 400
Y = Subvenció de les explotacions
= 1000 + 50
Y és una transformació lineal d’X en la qual 8 = 1000 i A = 50. Aleshores:
B = 1000 + 50B = 1000 + 50 ∗ 80 = 1000 + 4000 = 5000DE65F = A = 50^ ∗ 400 = 1000000 15 DF GD7818H IB = AIB = 50 ∗ 20 = 1000(euros) = 456789 3 = 5000; 3 = 1000
Per tant,
Pr > 7500 = ?6 J >
1000 K = Pr > 2,5^ < 0,011%
Pr < 4000 = ?6 J <
K = Pr < −1 > 0,1010%
2.Les donacions individuals que fan els socis d’una ONG (X) es distribueixen segons una normal de mitjana 40 euros i variància 100. Aleshores, indica l’afirmació falsa:
a) Un 99,73% de les donacions tenen un import entre els 10 i els 70 euros. b) La suma de 25 donacions (Y) es distribueix també segons una normal. c) El valor esperat d’Y és 1000. La desviació estàndard és 250. d) Pr > 800 ≅ 1 Pr − 3 ≤ ≤ + 3 = 0,
X = Donacions individuals
= 456789 2 = 40; 2 *^ = 100
Pr − 3 ≤ ≤ + 3 = 0, Pr40 − 3 ∗ 10 ≤ ≤ 40 + 3 ∗ 10 = 0, Pr40 − 30 ≤ ≤ 40 + 30 = 0, Pr10 ≤ ≤ 70 = 0,
Y = Suma de 25 donacions
= M N
*#
NOP B = 1B = 25 ∗ 40 = 1000DE65F = 1 = 25 ∗ 100 = 2500 15 DF GD7818H
IB = √1IB = √25 ∗ 10 = 5 ∗ 10 = 50DE65F = 456789 3 = 1000; 3 = 50
Pr > 800 = ?6 J >
K = Pr > −4 ≅ 1
- Una distribució )!*:
a) Resulta de sumar n normals estàndard (Z) independents. b) No pot prendre mai un valor negatiu. c) És una distribució simètrica amb valor esperat igual a zero. d) Totes són correctes.
Una variable aleatòria (distribució de probabilitat) )!*^ resulta de sumar variables aleatòries normals estàndard independents prèviament elevades al quadrat.
En conseqüència, el rang de variació d’aquest tipus de variables és de 0 a infinit. Mai poden prendre un valor negatiu.
La distribució és asimètrica a la dreta. L’asimetria es va reduint conforme augmenten els graus de llibertat.
6.Sigui X el nombre de fills de les famílies d’una comunitat. Es seleccionarà una mostra (aleatòria simple) de només 2 famílies. Es calcularà la mitjana mostral. Indica l’afirmació correcta:
X 0 1 2 3 Suma P(X) 0,10 0,30 0,40 0,20 1,
a) Aquesta mitjana mostral tindrà una distribució de probabilitat normal. b) Aquesta mitjana mostral tindrà un valor esperat de 1,70. c) Aquesta mitjana mostral tindrà una variància de 0,81. d) Totes són correctes.
Aquesta mitjana no serà normal (la seva distribució de probabilitat en el mostratge) ja que la població és discreta amb pocs valors diferents (només 4) i la mostra és (molt) petita: només dues observacions. Els possibles valors que podria prendre serien només set: 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 i 3.
X2 (segona observació mostral) X1 (primera obs.) 0 1 2 3 0 0 0,5 1 1, 1 0,5 1 1,5 2 2 1 1,5 2 2, 3 1,5 2 2,5 3
Així tindria una distribució de probabilitat discreta; la següent (no es demanava):
Mitjana 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Suma Prob. 0,01 0,06 0,17 0,28 0,28 0,16 0,04 1,
B<^ = B = 0 ∗ 0,1 + 1 ∗ 0,3 + 2 ∗ 0,4 + 3 ∗ 0,2 = 1,7WR99F
<^ =
() = B^ − B ^ = 3,7 − 1,7^ = 0,
- Sigui X la distribució normal dels ingressos mensuals de les llars d’un país. Si es selecciona una mostra del 10 famílies, quina probabilitat hi ha que la variància mostral sigui superior al doble de la poblacional?
a) Inferior a un 2,5%. b) Inferior a un 5% (però superior a un 2,5%). c) No es pot calcular: s’hauria de conèixer (mitjana poblacional). d) No es pot calcular: s’hauria de conèixer (variància poblacional).
Informació addicional: Pr)+^ ≤ 17 = 0,95 Pr)+^ ≤ 19 = 0,
= 456789; ^ → 1 = 10 → :
Pr:^ > 2^ = Pr Y
*^
> 2Z = ?6 [1 − 1
*^
9 − 1 2\ = Pr)+*^ > 18
Entre un 2,5% i un 5%.
8.L’estadístic
,-. ,/.^ té una distribució mostral^ 01^2 − 1, 1^3 − 1^ :
a) Quan les poblacions són normals. b) Quan les mitjanes poblacionals són iguals. c) Quan les variàncies poblacionals són iguals. d) Quan es verifiquen a) i c).
- Sigui X una variable de Poisson amb mitjana igual a 4. Es seleccionarà una mostra (aleatòria simple) i es calcularà la mitjana (mostral). De quina mida ha de ser la mostra per tal que la mitjana mostral no es separi de la poblacional en més de 0,5 amb una probabilitat del 95%?
a) 44 b) 62 c) 75 d) Caldria conèixer la desviació est. poblacional.
Informació addicional: Pr−1,96 ≤ ≤ 1,96 = 0,
?5RFF51 87A B = S = 4 R IB = √S = 2 → 1 → < n =? tal que Pr|< − | ≤ 0,5 = 0,
Pr|< − | ≤ 0,5 = Pr − 0,5 ≤ < ≤ + 0,5 =∗= ?6 e
f = 0,
() < = 456789 = 4; (^) √!g = (^) √!
I, per tant,
0,5√ 2 = 1,96 →^ 1 = J
0,5 K
= 61,5 → 1 = 62
EXERCICI 2A
a)
< = 456789 J 2 = 1500;
√^
= 40K
< = 456789 J 3 = 1200;
= 20K
b)
< − < = 456789 k 2 − 3 = 1500 − 1200 = 300; l
= l
= 44,72m
c)
Pr< < <^ = Pr< − < < 0 = ?6 J <
44,72 K = Pr < −6,7^ = 0
No seria possible, en aquest cas, observar < < <. Però s’ha de calcular la probabilitat: en una altra situació (mitjanes més properes, variàncies més grans, mostres més petites) podria ser possible observar aquest resultat (mostral) malgrat que la primera mitjana (poblacional) fos més gran que la segona.
EXERCICI 2B
a)
=̂ 2 = 456789 k= 2 = 0,4; l
12 = l
50 = 0,069m
=̂ 3 = 456789 k= 3 = 0,2; l
= l
= 0,057m
b) La variància/desviació estàndard és diferent perquè malgrat ser n igual en rels dos casos també depèn de p (proporció poblacional). Quant més propera a 0,5 p , major la variància/d.e de la proporció mostral. Per això és més gran la des.est. de =̂ 2 (igual a 6,9 punts percentuals) que la de =̂ 3 (de 5,7).
c) Per la circumstància que s’ha comentat en l’apartat anterior, la probabilitat que una de les proporcions mostrals no es separi de la (corresponent)proporció poblacional en més de 5 punts percentuals (de fet, en qualsevol quantitat) és més gran per =̂ 3 (amb una distribució de probabilitat més concentrada).
d)
Pr=̂ 2 < =̂ 3 = Pr=̂ 2 − =̂ 3 < 0 = ?6 J <
0,09 K = Pr < −2,2^ = 1 − Pr ≤ 2,2^ ≅ 1 − 0, = 0,011%
∗ =̂ 2 − =̂ 2 = 456789 k= 2 − = 3 = 0,4 − 0,2 = 0,2; l
50 = 0,09m
E.Rico
