Solución de ejercicios con hipérbolas, Diapositivas de Matemáticas

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Solución de ejercicios

con hipérbolas

Pensamiento Matemático IV

SOLUCION DE EJERCICIO DE HIPERBOLA

 (^) Para resolver problemas de hipérbolas lo primero q debemos aprender es a convertir ecuaciones generales a su forma canónica y para eso resolveremos el siguiente ejercicio:  (^) 1.- Convertir la siguiente ecuación gral. en su forma de ecuación canónica.  (^) 9x² - 4y² - 36 = 0  (^) a) Primero debemos de entender q este tipo de ecuaciones es con centro en el origen porque solo aparecen 3 términos, uno de los términos debe ser contrario (en este caso “y” es negativa y “x” es positiva, aunque también se puede presentarse al revés: a “x” negativa y “y” positiva) y termina con un igual a cero.  (^) b) Los términos x² = a, y² = b y f = termino independiente en este caso el 36.  (^) c) Observar q forma tiene la ecuación canónica.

 (^) III.- Simplificamos el primer termino sencillo que tenemos, en este caso el que nos dará como resultado el 1 y nuestra ecuación empieza a tomar la forma de ecuación canónica:  (^) - = 1  (^) IV.- Ya que tomo la forma de fracción, que es la forma canónica, eliminaremos los primeros termino q nos estorba, en este caso el 9 y el

4. En el primer termino le sacaremos tercera hasta simplificarlo a su menor exponente pero recuerda que lo q hagas en el numerador lo harás también en el denominador y en el segundo termino sacaremos mitad hasta obtener un valor en los numeradores de “1”:  (^) le sacamos tercera y te queda le sacamos tercera otra vez y nos queda.  (^) le sacamos la mitad y queda así le sacamos mitad y queda  (^) Por lo tanto la ecuación quedara escrita de la siguiente forma:

• = 1  (^) Al observar podrás darte cuenta que es mas grande que por lo tanto esta será una hipérbola horizontal ya que el valor mas grande esta en “x”.

 (^) Ahora aprenderás es a convertir ecuaciones generales a su forma canónica pero de hipérbolas fuera del origen y para eso resolveremos el siguiente ejercicio:  (^) 1.- Convertir la siguiente ecuación gral. en su forma de ecuación canónica.  (^) -4x² + 7y² + 8x +42y + 31 = 0  (^) a) Primero debemos de entender que este tipo de ecuaciones es fuera del origen porque aparecen varios términos en ella, uno de los términos debe ser contrario (en este caso “x” es negativa y “y” es positiva, aunque también se puede presentarse al revés: a “y” negativa y “x” positiva) y termina con un igual a cero.  (^) b) Hay q observar la forma que tiene la ecuación canónica de una hipérbola fuera del origen presentan valores de “x” y “h” y valores en “y” y “k”.  (^) c) Igual que la canónica q esta con origen en el centro donde se encuentre “a” será para donde gire la hipérbola ya sea horizontal o vertical.

 (^) Del primer termino obtenemos esta raíz: = x de = 3  (^) Paso 3: obtenemos el doble producto de estas raíces: 2(x)(3)=6x, Si obtenemos el segundo termino del trinomio entonces si es un TCP (TRINOMIO Cuadrado Perfecto)  (^) Paso 4: Si es así factorizamos: x²+6x+9 = (x + 3)²  (^) Entendido esto pasaremos a resolver nuestra ecuación de hipérbola con centro fuera del origen: -4x² + 7y² + 8x +42y + 31 = 0  (^) En este caso vamos a ordenar por grados cada uno de los términos de la ecuación, las “x” con las “x” y la “y” con la “y” para formar un trinomio, el 31 lo pasaremos del otro lado y como es positivo será ahora negativo. -4x² + 8x 7y² + 42y = - 31

 (^) Como es un trinomio cuadrado perfecto debe de tener 3 términos y si observas las ecuaciones notaras q falta un termino el cual obtendremos a continuación: -4x² + 8x ± ____ +7y² + 42y ± ___ = - 31  (^) Para eso la forma mas fácil de encontrar un TCP es cuando la letra que esta al cuadrado esta sola sin ningún numero al lado, entonces lo q se va a ser es quitar el numero que esta con el factorizando con factor común: -4x² + 8x ± ____ Factorizando: -4 (x² - 2x ) +7y² + 42y ± ____ Factorizando: +7(y² + 6y ) Y quedara en la siguiente forma: -4 (x² - 2x ) + 7(y² + 6y ) = -

 (^) -4 (x² - 2x + 1 ) + 7( y² + 6y + 9 ) = -31 -4 +63 factorizando -4 (x - 1 )² + 7( y + 3 )² = 28  (^) Si observas bien ya tiene la forma de ecuación canónica de buscábamos, solo necesitamos quitar el -4 y el +7 y que el 28 pase a ser una igualdad con valor de “1”para eso realizaremos el siguiente paso:  (^) Paso 5 Dividiremos toda la ecuación entre 28 y quedara de la siguiente forma:  (^) + =  (^) Ya que tomo la forma de fracción, que es la forma canónica, eliminaremos los primeros termino q nos estorba, en este caso el -4 y el 7. En el primer termino le sacaremos mitad hasta simplificarlo a su menor exponente pero recuerda que lo q hagas en el numerador lo harás también en el denominador y en el segundo termino sacaremos sextina hasta obtener un valor en los numeradores de “1”:  (^) le sacamos la mitad y te queda le sacamos mitad otra vez y nos queda.  (^) le sacamos la sextima y queda así y = 1 y quedara de la siguiente forma:

 Al observar podrás darte cuenta que es mas grande que por lo tanto esta

será una hipérbola Vertical ya que el valor mas grande esta en “y”.

• • • =
•  – x² + 5y² =  Resolver los siguientes ejercicios:
•  9y² + 8x + 4x² + 36 – 68 =
•  2x² – 5y² – 20 =
•  8x² – 12y² + 112x + 120y – 4 =
•  – 6x² + 12y² – 72 =
•  4x² – 3y² – 8y – 8 =
•  9x² – 16y² – 108x + 128y + 212 =
•  4x² – 9y² – 16x + 18y – 9=
•  100x² – 16y² –1600 =
•  36x² + 64y² + 288x + 128y – 2816 =