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PRACTICA Nº1 TEMA CALCULO DE ERRORES:
- Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado
aproximado de 19.999cm. mientras que, al medir la longitud de un clavo, se
obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la
varilla y el clavo son de 20.000cm. y de 10 cm. respectivamente. Calcular el
error Absoluto y relativo en ambos casos.
DATOS:
V
a
varilla =19.999cm V
a
clavo =9cm V
e
varilla =20cm V
e
clavo =10cm
SOLUCION:
E
a
varilla =
| 20 cm −19.999 cm |
=0.001cm
E
a
clavo =
| 10 cm − 9 cm |
=1cm
E
r
varilla =
0.001 cm
20 cm
E
r
clavo =
1 cm
10 cm
- Teniendo en cuenta las siguientes medidas: 4 m; 4,0 m; 4,00 m; indica de
manera razonada qué afirmaciones son verdaderas y falsas:
a) Los ceros que siguen a la coma son innecesarios. (V)
b) La medida más precisa es la primera. (F)
c) Todas las medidas son iguales. (V)
d) La tercera es la más precisa. (F)
PRACTICA Nº2 TEMA SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES:
- f(x) = x
3
2
Hallamos los puntos de intersección:
Intersección en x
Y = 0 = x
3
2
Desarrollamos por el método de Ruffini
1 -7 14 -
1 -6 8 0
(X
2
X -4 = -4x
X -2 = -2x
-6x
(x-4) (x-2) (x-1) = 0 x = 4 , x = 2 , x = 1
Puntos de intersección con el eje x
P(4,0) ;P(2,0) ;P(1,0)
Intersección con el eje y
Y = 0
3
2
Y = -
Puntos de intersección con el eje y
Q(0,-8)
1
1 -6 8
1 12 21 10
1 11 10 0
(X
2
X 10 = 10X
X 1 = 1X
11X
(x+10) (x+1) (x+1) = 0 x = -10 , x = -1 , x = -
Puntos de intersección con el eje x
P(-10,0) ;P(-1,0) ;P(-1,0)
Intersección con el eje y
Y = 0
3
2
Y = 10
Puntos de intersección con el eje y
Q(0,10)
Por lo tanto, las raíces son:
PRACTICA Nº3 TEMA METODO DEL PUNTO FIJO:
- f(x) = x
3
Encontramos el intervalo de confianza:
X
1
= -10; X
2
= -
g 1
(-2.5) =
3
= -2.
luego iterando tenemos:
i X i
g(x i
) |
x
i
− x
i − 1
|
0 -2.5 -2.0625 0
1 -2.0625 -1.
2 -1.377368164 -0.
3 -0.76130 -0.
4 -0.54412 -0.
5 -0.51610 -0.
6 -0.51374 -0.
7 -0.51355 -0.
8 -0.51354 -0.51354 0
la mejor aproximación a la raíz es:
x
r
= -0.
reemplazando en la ecuación original
f(x) = x
3
f(-0.51354) = -0.
3
10(-0.51354) – 5 = -3.247970 x 10
- f(x) = e
-x
Encontramos el intervalo de confianza:
x f(x) = e
-x
1 0.
2 -0.
3 -1.
4 -1.
5 -1.
1º intervalo de confianza
I.C = [1,2]
P
m
=
Despejamos x.
f(x) = e
-x
g 1
(x) = e^e
-x
g 2
(x) =
−ln ¿
reemplazamos el punto medio del intervalo de confianza en la condición
de convergencia.
| g ’ ( x )| ≤ 1
g’ 1
(1.5) = e^(e
-x
-x) = e^(e
-1.
-1.5)= 0.
g’
2
(1.5) =
xlnx
=
1.5 ln 1.
= 1.
iteramos con el despeje apto. g 1
(x) = e^e
-x
g 1
(1.5) = e^e
-x
= 1.
luego iterando tenemos:
i X i
g(x i
) |
x
i
− x
i − 1
|
0 1.5 1.249983 0
1 1.249983 1.
2 1.331770 1.
3 1.
4 1.
5 1.
6 1.
7 1.
8 1.
9 1.
10 1.
11 1.
g’ 1
(x) = e^(e
-x
-x)
g’ 2
(x) =
xlnx
apto
No apto
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
Error porcentual :
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.8125) = -0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = -0.040136 x 0.155816 < 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo izquierdo
entonces x r
= x
u
= 0.
tercera iteración
x
l
=0.75 f ( x
l
)= f
x
u
=0.8125 f (
x
u
)
= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.78125) = -0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = -0.058243 x 0.155816 < 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo izquierdo
entonces x r
= x u
= 0.
cuarta iteración
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
x
l
=0.75 f (
x
l
)
= f ( 0.75)=0.
x
u
=0.78125 f ( x
u
)= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.76562) = 0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = 010716 x 0.155816 > 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo derecho
entonces x r
= x
l
= 0.
quinta iteración
x
l
=0.76562 f ( x
l
)= f
x
u
=0.78125 f (
x
u
)
= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Entonces la mejor aproximación a la raíz es:
X r
= 0.
- f(x) = 3x + senx – e
x
; I.C = [0;1]
Primera iteración
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
x
l
=0.5 f (
x
l
)
= f ( 0.5)=−0.
x
u
=0.75 f ( x
u
)= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.625) = -0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = -0.017662x
> 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo derecho
entonces x r
= x
l
= 0.
cuarta iteración
x
l
=0.625 f ( x
l
)= f
x
u
=0.75 f (
x
u
)
= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.6875) = 0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = 0.085761 x - 0.017662 < 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo izquierda
entonces x r
= x u
= 0.
quinta iteración
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
x
l
=0.625 f (
x
l
)
= f ( 0.625)=−0.
x
u
=0.6875 f ( x
u
)= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.65625) = 0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = 0.052653x - 0.017662 < 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo izquierda
entonces x r
= x
u
= 0.
sexta iteración
x
l
=0.625 f ( x
l
)= f
x
u
=0.65625 f (
x
u
)
= f
La posible raíz será:
X r
=
= 0.
EP=
x 100
Entonces la mejor aproximación a la raíz es:
X r
= 0.
PRACTICA Nº5 TEMA METODO DE LA FALSA POSICION:
- f(x) = e^-x
3
- 2x + 1; I.C = [ 0.75;1]; e > 1%
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
x f(x)
-5 153.
-4 58.
-3 23.
-2 9.
-1 3.
0 1
1 -0.
2 -1.
3 -2.
4 -3.
5 -4.
Primera iteración
x
l
= 0 f ( x
l
)= f
x
u
= 1 f (
x
u
)
= f
La posible raíz será:
X r
x
u
f
(
x
l
)
− x
l
f ( x
u
f (
x
l
)
− f ( x
u
=
1 x 1 − 0 x (−0.63212)
= 0.
Luego:
f(x r
) = f(0.61270) = -0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x
l
) = -0.070814 x 1 < 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo izquierdo
entonces x r
= x u
= 0.
segunda iteración
x
l
= 0 f (
x
l
)
= f
x
u
=0.61270 f (
x
u
)
= f ( 0.61270)=−0.
La posible raíz será:
X r
x
u
f (
x
l
)
− x
l
f ( x
u
f
(
x
l
)
− f ( x
u
=
0.61270 x 1 − 0 x (−0.632120)
= 0.
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
Error porcentual :
EP=
x 100
Luego:
f(x r
) = f(0.57218) = -0.
analizamos la ubicación de la raíz:
f(x r
).f(x l
) = -0.007886 x 1 < 0
la raíz se encuentra en el sub intervalo izquierdo
entonces x r
= x u
= 0.
tercera iteración
x
l
= 0 f (
x
l
)
= f
x
u
=0.57218 f (
x
u
)
= f
La posible raíz será:
X r
x
u
f
(
x
l
)
− x
l
f ( x
u
f
(
x
l
)
− f ( x
u
=
0.57218 x 1 − 0 x (−0.007886)
= 0.
Error porcentual :
EP=
x 100
Entonces la mejor aproximación a la raíz es:
X r
= 0.
PRACTICA Nº6 TEMA METODO DE NEWTON RAPHSON:
- f(x) = X
3
+ 2X
2
+ 10X – 20, X
0
Hallamos la derivada de f(x)
f’(x) = 3x
2
f(
x
l
x f(
x
u
) < 0
f’(x) = 3x
2
x
primera iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 1 =
= 0.
Error
E =
|
X
1
− X
0
|
= 0.
segunda iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 2 =
= 0.
Error
E =
|
X
2
− X
1
|
= 0.
tercera iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 3 =
= 0.
Error
E =
|
X
3
− X
2
|
= 0.
cuarta iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 4 =
= 0.
Error
E =
|
X
4
− X
2
|
= 0.
quinta iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 5 =
= 0.
Error
E =
|
X
4
− X
2
|
=
= 0.
sexta iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 6 =
= 0.
Error
E =
|
X
4
− X
2
|
=
= 0.
septima iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
f ' ( X
k
= X 7 =
= 0.
Error
E =
|
X
4
− X
2
|
= 0
Entonces la mejor aproximación a la raíz es:
X 7
= 0.
PRACTICA Nº7 TEMA METODO DE LA SECANTE:
- f(x) = -1.5x
2
x f(x)
primera iteración: la condición inicial la reemplazamos en la formula
X
K+
= X
K
f ( X
k
)( X
k − 1
− X
k
f ( X
k − 1
)− f ( X ¿¿ k )¿
= X 2 =
= 1.
X
K-
=2; X
K
Hallamos el intervalo de confianza:
I.C = [1 , 2 ]
X
0
= 1
X 1
= 2
