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SERIES DE FOURIER

Series de Fourier

Contenido

1. Funciones Periódicas

2. Serie trigonométrica de Fourier

3. Componente de directa, fundamental y armónicos

4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno

5. Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier

6. Simetrías en señales periódicas

7. Fenómeno de Gibbs

8. Forma Compleja de las Series de Fourier

9. Espectros de frecuencia discreta

10. Potencia y Teorema de Parseval

11. De la serie a la Transformada de Fourier.

12. Obtención de la serie de Fourier usando FFT

13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales

Funciones Periódicas

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t. f(t)=f(t+T) A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función Repitiendo la propiedad se puede obtener: f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...

Funciones Periódicas

Ejemplo : ¿Cuál es el período de la función Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir: Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que T/3=2k 1 p, T/4=2k 2 p Es decir, T = 6k 1 p = 8k 2 p Donde k 1 y k 2 son enteros, El valor mínimo de T se obtiene con k 1 =4, k 2 =3, es decir,T=24p f(t) cos( ) cos( )? 4 t 3 t   f(t T) cos( ) cos( ) 4 t T 3 t  T     f(t) cos( ) cos( ) 4 t 3 t    f(t) cos( ) cos( )? 4 t 3 t   f(t T) cos( ) cos( ) 4 t T 3 t  T     f(t) cos( ) cos( ) 4 t 3 t   

Funciones Periódicas

Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica. Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función f(t) = cos(w 1 t)+cos(w 2 t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que w 1 T= 2pm, w 2 T=2pn De donde Es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un número racional. n m 2 1    n m 2 1   

Funciones Periódicas

Ejemplo : la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.      3 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30

• 0 1 2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) t f(t)      3 3 2 1

Serie Trigonométrica de Fourier

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a 0 + a 1 cos(w 0 t)+a 2 cos(2w 0 t)+...

• b 1 sen(w 0 t)+b 2 sen(2w 0 t)+... Donde w 0 =2p/T. Es decir, f (t) a [a cos(n t) b sen(n t) ]

n 1

2 0 n^0 n^0

     

f (t) a [a cos(n t) b sen(n t) ]

n 1

2 0 n^0 n^0

     

Serie Trigonométrica de Fourier

Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw 0 t)+bnsen(nw 0 t) se puede escribir como Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:               sen(n t) a b b cos(n t ) a b a a b 0 2 n 2 n n 0 2 n 2 n (^2) n n 2 n               sen(n t) a b b cos(n t ) a b a a b 0 2 n 2 n n 0 2 n 2 n (^2) n n 2 n

Serie Trigonométrica de Fourier

Si además definimos C 0 =a 0 /2, la serie de Fourier se puede escribir como Así, y

 

n 1 0 n 0 n

f(t) C C cos(n t )

2 n 2 n n

C  a b

n (^1) n n

a

b

tan

 

n 1 0 n 0 n

f(t) C C cos(n t )

2 n 2 n n

C  a b

n (^1) n n

a

b

tan

Serie Trigonométrica de Fourier

Tarea : Definir adecuadamente los coeficientes C 0

, C

n y q n , de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como           n 1 0 n 0 n f (t) C C sen (n t )         n 1 0 n 0 n f(t) C C sen(n t )

Componentes y armónicas

A la componente de frecuencia cero C 0 , se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo. Los coeficientes Cn y los ángulos qn son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.

Componentes y armónicas

Ejemplo : La función Como ya se mostró tiene un periodo T=24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w 0 =1/12 rad/seg. Componente fundamental es de la forma: 0*cos(t/12). Tercer armónico: cos(3t/12)=cos(t/4) Cuarto armónico: Cos(4t/12)=cos(t/3) 0 50 100 150 200

• 0 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 p f(t) cos( ) cos( )

t

t

f(t) cos( ) cos( )

t

t

 

Componentes y armónicas

Tarea : ¿Cuál es la componente fundamental, las armónicas distintas de cero y la componente de directa de a) f(t) = sen 2 t b) f(t) = cos 2 t? Justifícalo además mostrando la gráfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.

Ortogonalidad de senos y cosenos

Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen        r para m n 0 para m n f (t)f (t) dt n b a m n        r para m n 0 para m n f (t)f (t) dt n b a m n