¡Descarga solucionario matrices y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Solucionario
Solucionario
2 Determinantes
ACTIVIDADES INICIALES
I. Enumera las inversiones que aparecen en las siguientes permutaciones y calcula su paridad,
comparándolas con la permutación principal 1234.
a) 1342 b) 3412 c) 4321 d) 2314 e)4123 f) 2341
a) 3 ↔ 2,4 ↔ 2 , par d) 2 ↔ 1,3 ↔ 1 , par
b) 3 ↔ 1,3 ↔ 2,4 ↔ 1,4 ↔ 2 , par e) 4 ↔ 1,4 ↔ 2,4 ↔ 3 , impar
c) 4 ↔ 1,4 ↔ 2,4 ↔ 3,3 ↔ 1,3 ↔ 2,2 ↔ 1 , par f) 2 ↔ 1,3 ↔ 1,4 ↔ 1 , impar
II. Para las siguientes matrices, forma todos los posibles productos en los que aparezca un único elemento
de cada fila y columna.
a) 11 12 21 22
a a A a a
b)
B
c)
C
= ^ −
a) a 11 (^) a 22 (^) , a 21 (^) a 12 b) 2·5, 1( − (^3) ) c) 3·2·5, (^) ( − 1 2) ( − 3 , 4·0·1, 3·2·1,) ( − 1 ·0·5, 4·2) ( − (^3) )
EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1. (TIC) Halla los siguientes determinantes.
a)
b)
a)
b)
2.2. Verifica que para las matrices de órdenes 2 y 3:
a) El determinante de la matriz unidad es 1.
b) El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
c) Para el orden 3, la definición en términos de productos de elementos lleva a la regla de Sarrus.
a) 1 0 0 1
b) 11 22
a a
= a 11 a 22
11 22 33
a a a
= a 11 a 22 a 33
c)
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a a a a a a a
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 3
Solucionario
2.3. (TIC) Desarrolla el siguiente determinante de orden 4 por la segunda fila y halla su valor.
A =
( ) ( )
2.4. (TIC) Calcula el determinante de la siguiente matriz de orden 5 explicando, razonadamente, cada uno de los pasos dados.
B =
Desarrollamos por la última columna:
| B | =
2.5. (PAU) De una matriz cuadrada A se sabe que su determinante vale − 1, y que el determinante de la matriz 2 A vale − 8. ¿Cuál es el orden de la matriz?
Si A es una matriz de dimensión n , se sabe que | kA | = kn^ | A |. Como |2 A | = 8 | A | = 2^3 | A |, resulta que n = 3.
2.6. Escribe una matriz genérica de orden 3 y comprueba que su determinante coincide con el de su matriz traspuesta.
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a a a a a a a
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31
11 21 31 12 22 32 13 23 33
a a a a a a a a a
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31
Los determinantes coinciden.
2.7. (PAU) Obtén el valor del siguiente determinante explicando razonadamente las propiedades que aplicas en cada paso.
² ² 2 ² ² ² ² 3
abc ab a b c b ab b c b c abc
Sacando el factor b c de la primera columna, el factor b de la segunda columna y el factor a de la tercera columna, se tiene:
² ² 2 ² ² ² ² 3
abc ab a b c b ab b c b c abc
= bc · b · a 2 3
a a a b b b bc bc bc
Ahora sacamos el factor a de la primera fila, el factor b de la segunda y el factor bc de la tercera, y se obtiene:
ab ² c 2 3
a a a b b b bc bc bc
= ab ² c · a · b · bc
= 2 a ² b^4 c ²
Solucionario
2.13. (PAU) (TIC) Calcula la matriz inversa de I – A siendo I la matriz unidad de orden 3 y A =
B I A
= − = ^ −
; det( B ) = 1;
( ) −^ ( ( )) −
= ^ ^ = = ^ ^ = ^ − ^ =
1 1
Adj 1 1 0 ; Adj 0 1 1 ; 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
t B B B BB I
2.14. (TIC) Calcula, si es posible, la matriz inversa de las siguientes matrices: B =
, C =
| B| = 26 ≠ 0; Adj( B ) =
B −
= ^ − ^ =^
| C| = –3 ≠ 0; Adj( C ) =
−^ −
C −
= ^ − − ^ = ^ −
− ^ − −
2.15. (PAU) (TIC) Sean las matrices A =
y B =
Estudia, si existe, la matriz inversa de la matriz ( AB ) y, en caso afirmativo, calcúlala.
AB =
Como det ( AB ) = 0, la matriz AB es singular y, en consecuencia, no tiene inversa.
2.16. (PAU) Calcula, utilizando el concepto de determinante, el rango de la matriz A =
Como la matriz tiene dimensiones 4 x 3, el mayor rango posible es 3.
El determinante
= − 4 ≠ 0, por tanto, el rango de la matriz es 3.
2.17. (PAU) Se consideran los vectores de R 4 : u 1
= (1, 0, − 1, 2); u 2
= (2, 1, − 1, 0); u 3
¿Son linealmente independientes? ¿Por qué?
Los vectores
u 1 ,
u 2 y
u 3 serán linealmente independientes si el rango de la matriz formada por sus
coordenadas es tres. Sea la matriz M =
. Como
= 3 ≠ 0 rg( M ) = 3, los vectores
dados son linealmente independientes.
Solucionario
Solucionario
2.18. (PAU) Las matrices A y B tienen 3 filas y 12 columnas, pero en el proceso de edición algunas de estas se han borrado:
A =
B =
a) ¿Se puede averiguar algo sobre los posibles valores de su rango?
b) Si llamamos C a la matriz cuyas columnas son las 24 que forman las dos matrices A y B , ¿cuál será el rango de C****?
a) Como
= 0 y 1 1 3 − 1
= −4, el rango de A es, como mínimo, 2, podría ser 3, dependiendo de las
otras columnas.
Como
= 23 ≠ 0, el rango de B es 3. No puede ser mayor pues solo tiene tres filas.
b) Esta matriz tiene 3 filas y 24 columnas y su rango, como máximo, será 3. Además podemos afirmar que el
rango es 3, ya que podemos formar el determinante
2.19. (PAU) Calcula el rango de la matriz A según los valores de k : A =
k k k
De la matriz dada extraemos los siguientes determinantes: 1 1 2 1 1 1 1
k k
= −( k − 2)( k + 1) = 0
k k
k
− k −
= −( k − 2)(2 k − 1) = 0
k
k
−^ −
. Como
= 3 ≠ 0 rg( A ) = 3
= 0, ya que C 3 = − C 1 y C 4 = C 1 ; 1 2 2 1
≠ 0, por tanto, rg( A ) = 2
A =
; como
≠ 0 rg( A ) = 3
En resumen, si k = 2, rg( A ) = 2, y si k ≠ 2, rg( A ) = 3
2.20. (PAU) Halla el rango de la siguiente matriz según los valores de α. A =
α (^) α α
Calculamos det ( C 1 C 2 C 3 ) =
α α α = −α³ + 3α² − 2 α, cuyas raíces son α 1 = 0, α 2 = 1, α 3 = 2.
y como
= 2 ≠ 0 rg( M ) = 3
y como
= − 1 ≠ 0 rg( M ) = 3
y como F 1 (^) = F 3 , se deduce que rg( M ) = 2
En resumen: Si α = 2, rg( M ) = 2, y si α ≠ 2, rg( M ) = 3
Solucionario
Solucionario
2.24. (PAU) Halla la matriz X ² + Y ², siendo X e Y las soluciones del siguiente sistema matricial:
1 4 2 2 0 1 1 1 0
X Y
X Y
+^ =^ ^
^ −
X Y
X X Y X
X Y
+^ =^ ^ ^ ^ ^ ^ −
^ =^ ^ =^ ^ =^ −^ =
^ − ^ ^ ^ ^ ^ ^
2 2
X Y
−^ −^ −
+ = ^ ^ ^ + ^ ^ ^ = + ^ =
EJERCICIOS
Cálculo y propiedades de los determinantes
2.25. Calcula los siguientes determinantes de orden 2.
a)
c)
e)
g)
i)
b)
d)
f)
h)
a) 2 5 7 3 4
= − c) 1 0 3 2 3
e) 2 1 2 0 1
g) 0 0 0 1 25
i) 10 60 0 1 6
b) 3 7 0 0 0
= d) 3 1 4 4 0
− (^) = − f) 1 5 3 0 3
− (^) = − h) 8 7 2 6 5
2.26. (TIC) Calcula los siguientes determinantes de orden 3.
a)
− b)
c)
d)
e)
f)
a)
− = − c)
e)
b)
d)
f)
2.27. (TIC) Calcula los siguientes determinantes de orden 4.
a)
b)
a)
b)
Solucionario
2.28. Calcula el valor del siguiente determinante:
a b c d a b c d a b c d a b c d
Como F 1 (^) + F 3 (^) = F 2 (^) + F 4 , el determinante vale 0.
2.29. Sean A y B las matrices siguientes:
2 5 y 1 4 10 6 5 5 6
x x x A x B x x x
= ^ ^ = ^ .
Sabiendo que el determinante de B vale 7, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor del determinante de A****.
( )
x x x x x x x A x x x x x x x
= = + = ^ + = + =
+ + ^
2.30. (PAU) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 verificando que 2 A ² = A****. Calcula razonadamente los posibles valores del determinante de A****.
Si 2 A ² = A |2 A ²| = | A |
Al ser A una matriz de orden 2, |2 A ²| = 2² | A ²| = | A | 4| A |² = | A | | A | (4 | A | − 1) = 0 | A |= 0 ó | A | =
Así pues, los valores posibles del determinante de A son 0 y
2.31. (PAU) Si la matriz A =
a b c d e f g h i
tiene determinante n , averigua el valor del determinante de las
siguientes matrices: B =
d e f g h i a b c
, C =
d f e f e a c b c b g i h i h
+^ +
- Sacando factores comunes de filas y columnas e intercambiando dos veces las filas del determinante, se obtiene:
| B | =
d e f g h i a b c
d e f g h i a b c
d e f g h i a b c
a b c d e f g h i
= 36 n
- A la columna primera se le suma la segunda y se le resta la tercera.
| C | =
d f e f e a c b c b g i h i h
d e f e a b c b g h i h
d e f a b c g h i
d e e a b b g h h
a b c d e f g h i
2.32. (PAU) Supongamos que C 1 , C 2 , C 3 y C 4 son las cuatro columnas de una matriz cuadrada A , cuyo determinante vale 3. Calcula razonadamente:
a) El determinante de la inversa de A
b) El determinante de la matriz 2 A
c) El determinante de una matriz cuyas columnas son: 2 C 1 − C 3 , C 4 , 5 C 3 y C 2.
a) | A − 1 | =
A
b) |2 A | = |2 c 1 , 2 c 2 , 2 c 3 , 2 c 4 | = 2^4 | c 1 , c 2 , c 3 , c 4 | = 2^4 | A | = 16 · 3 = 48
c) |2 c 1 − c 3 , c 4 , 5 c 3 , c 2 | = 5 |2 c 1 − c 3 , c 4 , c 3 , c 2 | = −5 |2 c 1 − c 3 , c 2 , c 3 , c 4 | = (sumando la tercera columna a la primera) = −5 |2 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 | = −10 | c 1 , c 2 , c 3 , c 4 | = −30.
39
Solucionario
2.37. (PAU) Dadas las matrices A =
y B =
, ¿es cierto que rg( AB ) = rg( A ) rg( B )?
Justifica la respuesta.
rg( A ) = 2, pues
= − 1 ≠ 0. rg( B ) = 2, pues
rg( AB ) ≤ 3 ya que la matriz es de dimensión 3 × 3.
Como rg( A ) rg( B )= 2 · 2 = 4 y rg( AB ) ≤ 3, se deduce que la igualdad rg ( AB ) = rg( A ) rg( B ) es falsa.
2.38. (PAU) Halla el rango de la siguiente matriz:
cos sen 0 sen cos 0 0 0 1
α^ −^ α (^) α α
| A | =
α − α α α
cos sen 0 sen cos 0 0 0 1
= 1(cos² α + sen² α) = 1 rg( A ) =
Cálculo de la matriz inversa por determinantes
2.39. (TIC) Calcula la inversa de las siguientes matrices.
A =
B =
C =
D =
( )
( ( )) −
− − ^
−^ −
1
Adj det 10 1 1 1 1 10 10
t A A A
( ( )) −
−^
1
Adj 0 6 1 0 1 det( ) 6 0 0 1 6 1 0 0 6
t C C C
( ( )) ( )
−
= = ^ −
1 Adj 0 1 0 1 1 1 1 det (^1 3 3 )
t B B B
−
−^ −
= ^
1
D
2.40. (PAU) Siendo las matrices A =
y B =
a) ¿Es cierto que det ( AB ) = det ( BA )? b) Calcula, si es posible, la inversa de AB****.
a)
−^ ^ −
−^ −
AB BA ; det ( AB ) = 23, det ( BA ) = 0. Son distintos.
b) ( ) 1
AB
−
− ^
−^ −
Solucionario
Solucionario
2.41. (PAU) Sea A =
sen cos 0 cos sen 0 sen cos sen cos 1
x x x x x x x x
¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A****?
Calcula dicha matriz inversa.
Como | A | = sen² x + cos² x = 1 ≠ 0, la matriz A tiene inversa cualquiera que sea el valor de x.
Adj ( A ) =
−^ −
sen cos 1 cos sen 1 0 0 1
x x x x. La matriz inversa es: A − 1 =
sen cos 0 cos sen 0 1 1 1
x x x x.
2.42. (PAU) Dadas las matrices A =
y B =
, halla para qué valores de m la matriz B + mA no tiene
inversa.
Calculamos la matriz B + mA : B + mA = 3 1 2 2
m m m
Esta matriz no tiene inversa cuando su determinante es 0: | B + mA | =
m m m
= − 2 m ² − 2 m + 4 = 0
m = −2 ó m = 1. Por tanto, la matriz B + mA no tiene inversa cuando m = −2 ó m = 1.
Matrices con parámetros
2.43. (PAU) Calcula los valores de los parámetros a , b , c , para los cuales rg( B ) = 1, donde B =
a b
c
Para que rg( B ) = 1, las dos columnas de la matriz han de ser proporcionales, es decir: 1 a
b
c
a = –1, b = –2, c = 3
2.44. (PAU) Encuentra, en función de los valores del parámetro a , el rango de la matriz: A =
a a a a a a
Calculamos el determinante extraído de la matriz
a a a a a
= a ³ − a ² − a + 1 = ( a − 1)²( a + 1)
- Si a ≠ −1 y a ≠ 1, el rango de esta matriz es 3.
- Si a = 1, la matriz A queda: A =
rg( A ) = 1
- Si a = −1, la matriz A queda: A =
−^ −
rg( A ) = 2, pues F 3 = − F 1.
2.45. (PAU) Estudia, según los valores de x ∈ R, el rango de la matriz: A =
x x x x x
−^ −
rg( A ) = rg
x x x x x
−^ −
C 1 (^) C 2
rg
x x x x
−^ −^ −
F 4 (^) − F 3
= rg
x x x x x
−^ −^ −
det A = ( x − 1)
x x x x
= ( x − 1) ( x ³ + 1) det ( A ) = 0 si x = 1 ó x = −1. Si x ≠ 1 y x ≠ −1, rg( A ) = 4.
- Si x = 1, la matriz transformada es:
−^ −
, como
= 2 rg( A ) = 3.
−^ −^ −
, como
= − 2 rg( A ) = 3.
Solucionario
Solucionario
2.50. (PAU) a) Halla razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa.
A =
p p p
b) Halla la inversa para p = 2.
a) Calculamos det A = p ( p − 1) ( p + 1). Por tanto, A no tiene inversa para p = 0, p = 1 y p = −1. Para los demás valores sí tiene inversa.
b) Si p = 2, A =
y A − 1 =
2.51. (PAU) Se consideran las matrices: A =
^ m (^) − −
; B =
m
donde m es un número real. Encuentra
los valores de m para los que AB es inversible.
AB =
^ m (^) − −
m
m m m
+^ +
. La matriz AB es inversible si su determinante es distinto de
cero: | AB | =
m m m
= 2 m ² + 3 m − 2. La matriz AB será inversible si m ≠ −2 y m ≠
2.52. (PAU) ¿Tiene inversa siempre una matriz cuadrada diagonal de dimensión 4? Justifica la respuesta. ¿Tiene inversa la matriz B****? En caso de que la tenga, calcúlala.
B =
a b c
, con a , b , c ∈ R.
Para que una matriz tenga inversa, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea no nulo. Por tanto, la matriz B tiene inversa cuando a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0.
La matriz inversa es: B − 1 =
a b c
abc bc ac ab
a
b
c
2.53. (PAU) Se consideran las matrices A =
k
y B =
^ k^ −
a) Discute, en función de los valores que pueda tomar el parámetro real k , si la matriz AB tiene inversa.
b) Discute, en función de los valores de k , si la matriz BA tiene inversa.
a) Calculamos la matriz AB : AB =
k
^ k^ −
k k k k
Como | AB | = 0, independientemente del valor de k , la matriz AB nunca tiene inversa.
b) Calculamos la matriz BA : BA =
^ k^ −
k
k k
Como | BA | = k ² + 2 k + 3 ≠ 0 para cualquier valor real de k , la matriz BA siempre tiene inversa.
Solucionario
2.54. (PAU) Se consideran las matrices: A =
^ m (^) − −
y B =
m
, donde m es un número real.
Encuentra los valores de m para los que AB es inversible.
AB =
^ m (^) − −
m
m m m
+^ +
La matriz AB es inversible si su determinante es distinto de cero: | AB | =
m m m
= 2 m ² + 3 m − 2.
Como 2 m ² + 3 m − 2 = 0 si m = 2 ó m =
, la matriz AB será inversible para cualquier valor m ≠ − 2 y m ≠
2.55. (PAU) Sea la matriz A =
a a a a a a a a a a a a a a a a
a) Calcula el valor de su determinante en función de a****.
b) Encuentra su inversa, si existe, cuando a = 1.
a) Para calcular el determinante hacemos transformaciones elementales:
|A| =
a a a a a a a a a a a a a a a a
(1)
a a a a a a a a a a a a a a a a
(2)
a a a a a a a
= 5 a 4
(1) Sumamos a la primera columna las otras tres. (2) A cada fila se le resta la primera.
b) Para a = 1 A =
, y su determinante vale 5; por tanto, tiene inversa.
Calculamos la matriz inversa A −^1 : Adj A =
A−^1 =
2.56. (PAU) a) Demuestra que A ² − A − 2 I = 0, siendo: A =
, I =
b) Calcula A −^1 utilizando el apartado anterior o de cualquier otra forma.
a) Calculamos separadamente los términos de la expresión A ² − A − 2 I
A ² =
, A ² − A =
= 2 I A ² − A − 2 I = 0.
b) Puesto que A ² − A = 2 I A
A I
= I A −^1 =
( A − I ) =
Ecuaciones matriciales
2.57. (PAU) Resuelve la ecuación matricial AXB = C , siendo A =
, B =
y C =
Como A = I ; la ecuación matricial es I X B = C ; XB = C ; XBB − 1 = CB − 1 ; X = CB − 1 , siempre que B admita inversa. Como | B | = 1, la matriz es regular.
B −^1 =
. X = CB −^1 =
Solucionario
2.62. (PAU) Considera las matrices: A =
y B =
a) Determina si A y B son inversibles y, si lo son, calcula la matriz inversa.
b) Resuelve la ecuación matricial BA − A ² = AB − X****.
a) | A | = −3 existe inversa. Calculamos A − 1 =
| B | = 0 y, por tanto, no existe inversa.
b) De la ecuación BA − A ² = AB − X , despejamos la matriz X :
X = AB − BA + A ² =
2.63. (PAU) Resuelve la ecuación matricial B (2 A + I ) = AXA + B , siendo: A =
−^ −
; B =
De la ecuación B (2 A + I ) = AXA + B, despejamos la matriz X :
Como B (2 A + I ) = 2 BA + B , entonces, sustituyendo en la ecuación:
2 BA + B = AXA + B 2 BA = AXA 2 B = AX X = A −^1 (2 B )
Calculamos la matriz A − 1 : A − 1 =
X = A −
1 (2 B ) =
−^ −
PROBLEMAS
2.64. (TIC) Los números 20 604, 53 227, 25 755, 20 927 y 78 421 son divisibles por 17. Demuestra que también es divisible por 17 el determinante:
(1)
(1) A la quinta columna le sumamos 10 000 C 1 + 1000 C 2 + 100 C 3 +10 C 4 , y este determinante es múltiplo de 17, porque lo son todos los elementos de la última columna.
47
Solucionario
Solucionario
2.65. (PAU) Si la matriz A = a^ b c d
tiene rango 1 y la matriz B = x^ y z w
tiene rango 2, explica qué valores
puede tener el rango de las matrices C, D y E. C^ =
a b c d x y z w
, D =
a b c d x y z w
y E =
a b c d x y z w
Si la matriz A = a^ b c d
tiene rango 1, la segunda fila es proporcional a la primera, además, a ≠ 0 ó b ≠ 0.
Si la matriz B = x^ y z w
tiene rango 2, entonces x^ y z w
La matriz C tiene rango 3, pues se cumple alguna de las dos opciones siguientes: 0 0 0 0
a x y z w
= a x y z w ≠ 0, si a ≠ 0;
b x y z w
= b x y z w ≠ 0, si b ≠ 0.
La matriz C no puede tener rango 4, ya que las filas primera y segunda son proporcionales.
rg( D ) = rg
a b c d x y z w
= rg
a b c d x y z w
rg( E ) = rg
a b c d x y z w
= rg
a b c d x y z w
= rg
a b x y z w
. Si b ≠ 0 rg( E ) = 3. Si b = 0 rg( E ) = 2.
2.66. (PAU) Halla los valores de x para los cuales la matriz A =
x x
no tiene inversa.
La matriz A no tiene inversa para los valores de x que anulen su determinante.
det A = 2 | x | − | x − 2| = 0 ⇔ 2 | x | = | x − 2| ⇔
x x x
x x x
^ =^ −^ ^ = −
Luego la matriz A tiene inversa para todo valor real de x , excepto para x = −2 y x =
2.67. (PAU) Sean A , B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación A X B = I , siendo I la matriz unidad.
a) Si el determinante de A vale − 1 y el de B vale 1, calcula razonadamente el determinante de X****.
b) Calcula de forma razonada la matriz X si A =
y B =
a) Como | AB | = | A | | B |, tomando determinantes en la igualdad A X B = I resulta: | A X B | = | I | | A | | X | | B | = 1 −1 | X | · 1 = 1 | X | = − 1
b) A · X · B = I X = A −^1 B −^1. A y B son inversibles, ya que | A | = −1 y | B | = 1. A −^1 = 4 3 3 2
; B −^1 = 3 2
De este modo, X = 4 3 3 2
2.68. (PAU) Se consideran las matrices cuadradas reales de orden 2, P =
y Q =
. Calcula:
a) La matriz P −^1. b) La matriz real cuadrada X de orden 2, tal que P −^1 XP = Q****. c) La matriz ( PQP −^1 )²
a) Como | P | = −1, entonces existe la matriz inversa de P : P −^1 = 3 2 2 1
b) P −^1 X P = Q X = PQP −^1 X = 1 2 2 3
c) ( PQP −^1 )² = X ² = 6 2 6 1
Solucionario
Solucionario
2.72. (PAU) Encuentra dos matrices, X e Y , de orden 2 x 2 con coeficientes en R, tales que
AX BY C AX Y
^ +^ =
, siendo: A =
, B =
y C =
AX BY C
AX Y
Y + BY = C ( I + B ) Y = C ; Y = ( I + B )−^1 C.
Calculamos la matriz I + B : I + B = 1 0 0 1
; ( I + B )−^1 = −
Sustituyendo en la expresión de Y : Y = −
−^ −
Calculamos X despejándola en la segunda ecuación: AX = Y → X = A −^1 Y
Hallamos la inversa de A : A =
A−^1 =
Calculamos finalmente X : X =
Solución del sistema: X =
; Y =
2.73. (PAU) Dadas las matrices reales A =
, B =
, C =
y D =
a) Calcula la matriz M = A − 2 BC****.
b) Justifica que existe la matriz D − 1 , inversa de D , y calcula tal matriz.
c) Calcula las matrices X , Y que cumplan la siguiente relación: DX = M = YD****.
a) M = 5 8 9 4
b) Como | D | = −1, la matriz D tiene inversa. D −^1 = − 2 7 1 3
c) DX = M X = D −^1 M X = 2 7 1 3
M = YD Y = MD −^1 Y = 9 14
2.74. (PAU) Halla, si existe, una matriz A cuadrada 2 x 2 que cumpla las siguientes condiciones:
**1. Coincide con su traspuesta.
- Verifica la ecuación matricial:**
A
−^ −
3. Su determinante vale 9.
De 1 se deduce que la matriz A debe ser simétrica: A = a^ b b d
De 2 se deduce: 1 1 1 1
a b b d
a^ b^ a^ d a b a d
a b a d
^ +^ = −
−^ +^ = −
De 3 se deduce que: | A | = ad − b ² = 9
Resolviendo el sistema
a b a d ad b
^ +^ = −
−^ +^ = −
, se obtiene a = −2; b = −1; d = −5. Por tanto, A = 2 1 1 5
Solucionario
2.75. (PAU) Se llama dimensión de un espacio vectorial generado por un grupo de vectores al rango de la matriz cuyas filas son las coordenadas de dichos vectores.
Calcula la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores (1, 2, 3, 123), (4, 5, 6 456), (7, 8, 9, 789) y (2, 4, 6, 246).
rg
= rg
= rg
Por tanto, la dimensión del espacio vectorial generado por esos vectores es 2.
PROFUNDIZACIÓN
2.76. Sean A y B dos matrices cuadradas regulares de igual orden. Demuestra:
a) ( A − 1 ) − 1 = A b) ( A t ) − 1 = ( A − 1 ) t c) ( AB ) − 1 = B − 1 A − 1
a) ( A −^1 ) ( A −^1 )−^1 = I ; ( A −^1 ) A = I. Por ser A regular ( A −^1 )−^1 = A
b) Multiplicamos por la derecha los dos miembros de la igualdad por At
(A t )−^1 At^ = ( A −^1 ) t^ At^ I = ( A −^1 ) t^ At^ ( A −^1 ) t^ = ( At )−^1
c) Multiplicamos por la derecha por la matriz AB.
( AB )− 1 AB = ( B − 1 A − 1 ) AB ( AB )− 1 AB = B − 1 ( A − 1 A ) B = B − 1 I B = B − 1 B = I , por tanto, la igualdad dada es cierta.
2.77. (PAU) Se considera la función: f ( x ) =
a b a b x x x
Sabiendo que f (0) = − 3 y f (1) = f ( − 1), determina a y b****.
Desarrollando el determinante, se tiene: f ( x ) = ax ³ + bx ² − 2 ax + 3 b
Como f (0) = − 3 3 b = − 3 b = − 1
f (1) = f (−1) a + b − 2 a + 3 b = − a + b + 2 a + 3 b a = 0
2.78. Se llama determinante de Vandermonde, a determinantes de la forma:
a b c a b c
a b c d a b c d a b c d
a) Comprueba que si a , b y c son distintos entre sí, el determinante es distinto de 0.
b) Desarrolla el primero y, a partir del resultado, halla el segundo.
1 1 1
² ² ²
a b c a b c
( 1 )
b a c a b ba c ca
b a c a b b a c c a
( 2 )
( ) ( )
b a c a b b a c c a
( 3 )
= ( b − a ) ( c − a )
b c = ( b − a ) ( c − a ) ( c − b ).
A cada fila le restamos la anterior multiplicada por a.
Desarrollamos por la primera columna.
Sacamos factor común ( b − a ) de la primera columna y ( c − a ) de la segunda columna.
Razonando de forma análoga, se obtiene:
1 1 1 1
² ² ² ² ³ ³ ³ ³
a b c d a b c d a b c d
= ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) ( d − c )
Si a, b, c y d son distintos entre sí, el valor del determinante es distinto de 0.
