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Soluciones de los ejercicios de probabilidad
Tipo: Apuntes
2021/2022
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© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
3.º ESO
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SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
UNIDAD 9. PROBABILIDAD
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
Unidad 9. Probabilidad
SOLUCIONES PÁG. 183
1 Completa en tu cuaderno las siguientes frases con el término que consideres más adecuado: aleatorios – espacio muestral – deterministas – siempre – suceso elemental a. Los experimentos se clasifican en aleatorios y deterministas. b. En los experimentos deterministas siempre sabemos cuál será el resultado. c. El conjunto de los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio se denomina espacio muestral. d. Cada uno de los elementos que forma el espacio muestral en un experimento aleatorio se denomina suceso elemental.
2 Indica si estas acciones son experimentos aleatorios o deterministas: a. Extraer una carta de una baraja. Aleatorio, porque no es posible predecir el resultado antes de realizarlo. b. Adivinar un número elegido al azar por un compañero. Aleatorio, porque no es posible predecir el resultado antes de realizarlo. c. Teclear el pin de un teléfono móvil. Determinista, porque sí es posible predecir el resultado antes de realizarlo.
3 Indica el espacio muestral y un suceso elemental en los siguientes experimentos aleatorios: a. Lanzar un dado dodecaedro numerado del 1 al 12. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Respuesta abierta, por ejemplo: {3}. b. Adivinar con las hojas de una margarita si alguien nos quiere o no. E = {me quiere, no me quiere}. Respuesta abierta, por ejemplo: {me quiere}. c. Elegir al azar una pieza de ajedrez independientemente de su color. E = {peón, torre, caballo, alfil, rey, reina}. Respuesta abierta, por ejemplo: {alfil}.
4 En una tienda de mascotas, un cliente elige al azar de entre los peces de agua fría que hay en una pecera carpines, kois, chupa-algas y cebritas. a. ¿Cuál es el espacio muestral? E = {carpín, koi, chupa-algas, cebrita}. b. Indica un suceso elemental. Respuesta abierta, por ejemplo: {cebrita}.
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b. Escribe el espacio muestral. E = {negra, amarilla, azul}. c. Indica un suceso elemental. Respuesta abierta, por ejemplo: {amarilla}.
10 Se lanza un dado numerado del 1 al 6. Indica los resultados que comprenden los siguientes sucesos: a. Sacar un 1. {1} b. Sacar un número par mayor que 4. {5}, {6} c. Sacar un número compuesto menor de 6. {4} d. Sacar un número divisor de 9 que sea mayor que 1. {3}
11 Fíjate en la siguiente urna:
Si se extrae una bola al azar y se comprueba si es impar: a. ¿Sería un experimento aleatorio? Razona tu respuesta. No, sabemos de antemano que será impar. b. Escribe el espacio muestral. E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. c. Indica un suceso elemental. Respuesta abierta, por ejemplo: {11}.
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SOLUCIONES PÁG. 185
12 En el experimento «sacar una bola y anotar su color», indica un ejemplo de cada uno de los siguientes sucesos, teniendo en cuenta la composición de esta urna:
a. El espacio muestral. E = {azul, roja, verde}. b. Un suceso elemental. Respuesta abierta, por ejemplo: {roja}. c. Un suceso compuesto. Respuesta abierta, por ejemplo: {roja o verde}. d. Un suceso seguro. Respuesta abierta, por ejemplo: {no amarilla}. e. Un suceso imposible. Respuesta abierta, por ejemplo: {negra}. f. Dos sucesos compatibles. Respuesta abierta, por ejemplo: {no roja y azul}.
13 Se lanza un dado cúbico. Indica: a. Dos sucesos que sean incompatibles, pero no contrarios. Respuesta abierta, por ejemplo: {2, 4} y {1, 3}. b. Dos sucesos que sean contrarios. Respuesta abierta, por ejemplo: {impar} y {par}. c. Dos sucesos compatibles. Respuesta abierta, por ejemplo: {1, 2, 3, 4} y {4, 5, 6}. d. Un suceso compuesto. Respuesta abierta, por ejemplo: {2, 4, 5}.
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18 Se extrae una carta de una baraja española. Considera los sucesos A = «extraer una copa», B = «extraer un cinco» y C = «extraer un rey» e indica las cartas que forman cada una de estas operaciones: a. A ∪ B = {todas las copas, 5 de oros, 5 de espadas, 5 de bastos}. b. A ∩ B = {5 de copas}. c. A ∩ C = {rey de copas}. d. B ∩ C = Ø. e. B ∪ C = {todos los reyes, todos los cincos}. f. A ∪ C = {todas las copas, rey de oros, rey de bastos, rey de espadas}. g. (A ∩ C) ∪ B = {rey de copas, cinco de oros, cinco de copas, cinco de espadas, cinco de bastos}. h. (B ∪ C) ∩ A = {rey de copas, cinco de copas}.
19 Se lanza un dado cúbico y se definen los sucesos A = «obtener número par», B = «obtener un número mayor que cuatro» y C = «obtener un número menor o igual que tres». Halla el resultado de las siguientes operaciones: a. A (^) ∪ B = {2, 4, 5, 6}. e. B (^) ∩ C = Ø. b. A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6}. f. A ∩ C= {2}. c. B ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6}. g. (A ∩ C) ∪ B = {2, 5, 6}. d. A ∩ B = {6}. h. (B ∪ C) ∩ A = {2, 6}.
20 Fíjate en esta ruleta:
Considera los sucesos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 6} y C = {3, 5, 7} e indica: a. El espacio muestral → E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. b. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}. c. Ac^ = {5, 6, 7, 8}. d. Bc^ ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}. e. A ∩ B = {3}. f. A ∩ Cc^ = {1, 2, 4}.
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21 Se realiza el experimento «lanzar un dado cúbico». Escribe dos sucesos compuestos, A y B, y realiza con ellos las operaciones indicadas: Por ejemplo: A = {1, 3, 5} y B = {5, 6}. Y se resuelve con el ejemplo dado. a. A ∪ B {1, 3, 5, 6}. b. A ∩ B {5}. c. Ac {2, 4, 6}.
22 Un estudio realizado sobre el empleo que hacen de Internet las familias españolas destaca que se centra mayoritariamente a estas actividades: {uso del correo electrónico, información sobre bienes y servicios, lectura de periódicos online, utilización de redes sociales, búsqueda de servicios de viajes y alojamiento, sintonización de radio o TV}. Considera los sucesos A = «uso del correo electrónico, lectura de periódicos online, sintonización de radio o TV», B = «utilización de redes sociales, sintonización de radio o TV», C = «uso del correo electrónico, utilización de redes sociales, búsqueda de servicios de viajes y alojamiento». Indica el resultado de cada apartado. a. B ∪ C = {redes sociales, radio o TV por Internet, correo electrónico, servicios de viajes y alojamiento}. b. A ∩ C = {correo electrónico}. c. Ac^ ∩ Bc^ = {buscar información sobre bienes y servicios, servicios de viajes y alojamiento}. d. (A (^) ∪ C)c^ = {buscar información sobre bienes y servicios}.
23 Considera un experimento cuyo espacio muestral sea el conjunto de los días de la semana. Si se parte de los sucesos A = «días que comiencen por “m”», B = «días que acaben en “s”» y C = «días que contengan la letra “n”», halla el resultado de las siguientes operaciones: a. A (^) ∩ B = {martes, miércoles}. b. Ac^ ∪ B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}. c. A ∩ Cc^ = {martes, miércoles}. d. (C ∩ B)c^ = {martes, miércoles, jueves, sábado, domingo}.
24 Si consideramos un suceso, A, en un experimento, explica cuál es el resultado de realizar las siguientes operaciones:
a. A ∪ Ac^ = E → Es el espacio muestral completo, ya que la unión de un suceso con su complementario es el total. b. A ∩ Ac^ = Ø → Es el vacío, ya que un suceso y su complementario no tienen ningún elemento común.
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SOLUCIONES PÁG. 189
27 En una partida de parchís se saca ficha de casa al obtener un cinco en el lanzamiento del dado. Goyo prefiere cambiar las reglas y sacar ficha al conseguir un uno porque dice que le sale más veces. Realiza un experimento para comprobar si Goyo está en lo cierto. Con este fin, cada compañero de clase deberá lanzar 20 veces el dado y completar esta tabla en su cuaderno.
a. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A = «sacar 1»? ¿Y la del suceso B = «sacar 5»?
Respuesta abierta. Debe acercarse a
b. Si lanzamos el dado muchas veces más, ¿cuál crees que será el número con mayor frecuencia relativa? Todos los números deben tener igual frecuencia o ser muy parecida. c. A tenor de estos resultados, ¿con qué número crees que sería más justo sacar ficha de casa? Da igual, porque todos tienen la misma probabilidad.
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28 Se hace girar la ruleta de la figura 50 veces y se obtienen los siguientes resultados:
a. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental. La frecuencia relativa de un suceso es el cociente entre la frecuencia absoluta de un suceso y el número de veces que se realiza el experimento.
fi (rojo) = 10 0, 50
fi (marrón) = 15 0, 50
fi (azul) =
fi (verde) =
b. Calcula la frecuencia relativa del suceso A = «sacar marrón o verde». fi (A) = 0,3 + 0,26 = 0, c. Calcula la frecuencia relativa del suceso B = «no sacar marrón». fi (B) = 1 – fi (Bc) = 1 – 0,3 = 0, d. Calcula la frecuencia relativa de la unión de los sucesos C = «sacar rojo» y B = «no sacar marrón».
fi (C ∪ B) = fi (C) + fi (B) – fi (C ∩ B) = 0,2 + 0,7 – 0,2 = 0,
e. Calcula la frecuencia relativa de la intersección de los sucesos D = «sacar rojo o azul» y B = «no sacar marrón».
fi (D ∩ B) = fi (D) + fi (B) – fi (D ∪ B) = (0,2 + 0,24) + (0,7) – (0,2 + 0,24 + 0,26) =
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31 Se lanza 80 veces un dado tetraédrico numerado del 1 al 4 y se obtienen los siguientes resultados:
a. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental.
fi (1) =
fi (2) =
fi (3) =
fi (4) =
b. Halla la suma de todas las frecuencias del apartado anterior. 0,225 + 0,275 + 0,25 + 0,25 = 1 c. Calcula la frecuencia relativa del suceso A = «sacar número par». fi (A) = 0,275 + 0,250 = 0, d. Calcula la frecuencia relativa del suceso B = «no sacar 3». fi (B) = 1 – fi (Bc) = 1 – 0,250 = 0, e. Calcula la frecuencia relativa del suceso C = «sacar 5». fi (C) = 0 f. Calcula la frecuencia relativa de la unión de los sucesos D = «sacar número impar» y F = «sacar 1 o 4».
fi (D ∪ F) = fi (D) + fi (F) – fi (D ∩ F) = (0,225 + 0,250) + (0,225 + 0,250) – 0,225 =
g. Halla la frecuencia relativa de la intersección G = «obtener un múltiplo de 3» y H = «no sacar 4».
fi (G ∩ H) = fi (G) + fi (H) – fi (G ∩ H) = 0,250 + (1 – 0,250) – (0,250 + 0,275 +
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SOLUCIONES PÁG. 191
32 Copia en tu cuaderno la siguiente escala:
Sitúa en ella los sucesos indicados por la probabilidad que asignes a cada uno según esta urna: A = {extraer una bola roja} B = {extraer el 1} C = {extraer un número menor que 8} D = {extraer una bola verde}
P (extraer bola roja) =
P (extraer el 1) =
P (extraer un número menor que 8) =
P (extraer bola verde) =
33 Actividad resuelta.
34 Lanzamos una moneda 20 veces y en todas ellas ha salido cruz. Indica la opción que creas que es correcta si se vuelve a lanzar una vez más. a. La próxima vez es más probable que salga cara. b. La próxima vez es más probable que salga cruz de nuevo. c. La próxima vez hay las mismas posibilidades de que salga cara que de que salga cruz. La c. es la opción correcta, ya que el nuevo lanzamiento no dependerá de los anteriores.
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38 El juego del dominó consta de 28 fichas. Determina la probabilidad de extraer: a. Un seis doble.
P (seis doble) =
b. Una blanca.
P (una blanca) =
c. Una ficha que tenga en una de sus mitades una cifra que sea el doble que la de la otra mitad.
P (cifra doble que la otra) =
39 Actividad resuelta.
40 Se lanza un dado cúbico y se definen los siguientes sucesos: A = «sacar un múltiplo de 3», B = «sacar un número impar» y C = «sacar un número menor que tres». Halla las siguientes probabilidades:
a. P (A) =
b. P (C) =
c. P (Ac) = 1 –
d. P (A ∪ C) = (^) ( ) ( )
P A P C
e. P (A ∪ B) = (^) ( ) ( ) ( )
P A P B P A B
f. P (Ac^ ∩ B) = P(Ac) + P (B) – P (Ac^ ∪B) =
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41 Fíjate en el contenido de la siguiente urna:
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos al extraer una bola: a. A = «obtener bola verde»
P (A) =
b. B = «obtener bola marrón»
P (B) =
c. A ∪ B, Ac^ ∪ B y A ∩ Bc
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) =
P (Ac^ ∪ B) = P (Ac) + P (B) – P (Ac^ ∩ B) =
P (A ∩ Bc) = P (A) + P (Bc) – P (A ∪ Bc) =
42 De un juego de dominó (28 fichas) se elige una al azar y se forma una fracción con los dos números que figuran en la ficha, de forma que sea menor o igual que 1. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha elegida tenga una parte blanca y no se pueda formar la fracción?
P (parte blanca y no formar fracción) =
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la fracción formada sea igual a 1?
P (fracción igual a 1) =
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SOLUCIONES PÁG. 195
44 Esther y Rodrigo lanzan un dado cada uno. a. Escribe los posibles resultados, ayudándote de un diagrama de árbol. Los 36 resultados se obtienen con un diagrama en árbol. En la primera posición podemos colocar los 6 resultados posibles del dado, del 1 al 6, y para cada uno de ellos se puede colocar otros 6 resultados del otro dado.
b. Calcula la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número en una tirada.
P (igual tirada) =
c. Calcula la probabilidad de que el resultado de uno de ellos sea doble que el del otro. Está formado por los siguientes elementos: (1 , 2), (2 , 4), (3 , 6), (4 , 2), (6 , 3)
P (resultado doble) =
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45 Tres amigos lanzan una moneda al aire cada uno y anotan el resultado. E = {(c,c,c), (c,c,+), (c,+,+), (+,+,+), (+,c,c), (+,+,c), (+,c,+), (c,+,c)} a. Halla la probabilidad de que salgan tres cruces.
P (tres cruces) =
b. Halla la probabilidad de que salgan dos cruces.
P (dos cruces) =
c. Halla la probabilidad de que salga una cruz.
P (una cruz) =
d. Halla la probabilidad de que no salga ninguna cruz.
P (ninguna cruz) =
46 En un grupo de diez personas, ¿cuántas parejas diferentes se pueden hacer para disputar partidas de ajedrez? E = {(1,2), (1,3), (1,4), …, (1,10), (2,3), (2,4), …, (2,10), …, (9,10)} Se pueden hacer 45 parejas.
47 Actividad resuelta.
48 De una urna como la de la figura se extrae dos bolas sin reemplazamiento (es decir, las bolas, una vez extraídas, no se devuelven a la urna) y se anota su color.
Según esto, determina: a. El espacio muestral del experimento. E = {RR, AA, VV, RA, AR, RV, VR, AV, VA}