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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones
y sistemas
ESO
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 4
Página 57
Resuelve
- Halla el lado de un cuadrado tal que el número de metros cuadrados de su área menos el número de metros de su lado es igual a 870. Resuélvelo sin aplicar la fórmula de una ecuación de segundo grado, teniendo en cuenta que x^2 – x = x ( x – 1) es el producto de dos números consecutivos. (Descompón 870 en factores). 870 = 2 · 3 · 5 · 29 = 30 · 29 Así vemos que: x^2 – x = x ( x – 1) Por tanto, x = 30 unidades.
- Halla la profundidad del estanque del primer problema chino.
A círculo = π r^2 = 10π → r = 10
( x + 1)^2 = x^2 + r^2 → x^2 + 2 x + 1 = x^2 + 10 → x = 29
El estanque tiene una profundidad de 29 pies.
x^ + 1 x x + 1
r
- Halla la altura de la rotura en el segundo problema chino.
x + y = 10 → y = 10 – x y^2 = x^2 + 9 → 100 + x^2 – 20 x = x^2 + 9 → → 100 – 9 = 20 x →
→ x = 20
10 p
3 p
x y
La rotura se ha producido a 4,55 pies de la base.
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1 Ecuaciones
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- Resuelve:
a) 2 x^2 – 50 = 0 b) 3 x^2 + 5 = 0 c) 7 x^2 + 5 x = 0 a) 2 x^2 – 50 = 0 → x^2 = 25 → x = ± Soluciones: x 1 = 5, x 2 = –
b) 3 x^2 + 5 = 0 → x^2 = – 35. No tiene solución.
c) 7 x^2 + 5 x = 0 → x (7 x + 5) = 0 → x = 0, 7 x + 5 = 0 → x = – 75
Soluciones: x 1 = 0, x 2 = – 75
- Resuelve:
a) 10 x^2 – 3 x – 1 = 0 b) x^2 – 20 x + 100 = 0 c) 3 x^2 + 5 x + 11 = 0
a) x = 3 ±^209 +^40 = 320 ±^7 = / /
Soluciones: x 1 = 21 , x 2 = – 51
b) x^2 – 20 x + 100 = ( x – 10)^2 = 0 → x = 10 Solución: x = 10
c) x = ± 6
- 5 25 – (^132). No tiene solución.
- En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3 cm más largo que el mediano, el cual, a su vez, es 3 cm más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados?
( x + 6)^2 = ( x + 3)^2 + x^2 x^2 + 12 x + 36 = 2 x^2 + 6 x + 9 x^2 – 6 x – 27 = 0
x + 6 (^) x + 3
x
x = 6 ±^362 +^108 = 6 ±^2144 = 6 ± 212 = 9
- 3 Solo es válida la solución x = 9. Los lados del triángulos miden 9 cm, 12 cm y 15 cm.
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- Resuelve estas ecuaciones:
a) x
x x
x 1 1
= b) x x
x 2
c) x (^) x
+ 2 = d) (^) x x x
x 5
a) x ( x + 1) + 2 x ( x – 1) – 3( x – 1)( x + 1) = 0 x^2 + x + 2 x^2 – 2 x – 3 x^2 + 3 = 0
Comprobamos sobre la ecuación original: 23 4
Solución: x = 3 b) 10( x + 3) + 2 x ( x + 2) – 3( x + 2)( x + 3) = 0 10 x + 30 + 2 x^2 + 4 x – 3 x^2 – 15 x – 18 = 0
- x^2 – x + 12 = 0 → x^2 + x – 12 = 0 → x = –^1 ±^21 +^48 = –^12 ±^7 = 3
- 4 Comprobamos las soluciones sobre la ecuación original:
= + = → x = 3 es válida.
- –^ = – + = → x = – 4 es válida.
Soluciones: x 1 = 3, x 2 = – 4 c) 4 x + 4 – 3 x^2 = 0 → 3 x^2 – 4 x – 4 = 0
x = ±^ ± 6
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación original:
(^2) no es válida.
Solución: x = 2 d) 2( x + 1)( x – 4) + 2(1 – x )( x + 5) – 5( x + 5)( x – 4) = 0 2 x^2 – 6 x – 8 – 2 x^2 – 8 x + 10 – 5 x^2 – 5 x + 100 = 0
5 x^2 + 19 x – 102 = 0 → x = –^19 ±^36110 +^ 2 040= –^19 10 ±^49 = /
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
- (^) + = + = = → x = 3 es válida.
Soluciones: x 1 = 3, x 2 = 5
–^34
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- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x – 2 x – 3 = 1 b) x + 4 – 6 – x =– 2 c) x^2 + 2 x + 9 – 7 = 2 x d) 20 – x = x – 8 a) x – 1 = 2 x – 3. Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x^2 – 2 x + 1 = 2 x – 3 → x^2 – 4 x + 4 = 0 → x = 4 ±^162 –^16 = 2
Comprobamos la solución sobre la ecuación inicial: 2 – 1 = 4 – 3. Es válida. Solución: x = 2 b) x + 4 = 6 – x – 2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + 4 = (6 – x ) + 4 – 4 6 – x → 2 x – 6 = – 4 6 – x Volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros: 4 x^2 – 24 x + 36 = 16(6 – x ) → 4 x^2 – 24 x + 36 = 96 – 16 x → → 4 x^2 – 8 x – 60 = 0 → x^2 – 2 x – 15 = 0
x = 2 ±^24 +^60 = 2 2 ±^8 = 5
- 3 Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: 8 8 8 8
x x
≠ – – ≠ – no es válida.
4 Solución: x = –
c) x^2 + 2 x + 9 = 2 x + 7. Elevamos al cuadrado ambos miembros: x^2 + 2 x + 9 = 4 x^2 + 28 x + 49 → 3 x^2 + 26 x + 10 = 0
x = ±^ ±^ ± 6
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
x
x
- es válida.
- – no es válida.
+ _
`
a
bb
bb
Solución: x = –
d) Elevamos al cuadrado ambos miembros: 20 – x = x^2 + 64 – 16 x → x^2 – 15 x + 44 = 0
x = 15 ±^2252 –^176 = 15 ± 2 49 = 152 ±^7 = 11 4 Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: 8 8
x x
- – es válida.
- ≠ – no es válida.
4 Solución: x = 11
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- Aplica la definición de logaritmo para calcular x en cada caso:
a) log 2 (2 x – 1) = 3 b) log 2 ( x + 3) = – c) log 4 x = 2 d) log ( x – 2) = 2, e) log (3 x + 1) = –1 f ) log 2 ( x^2 – 8) = 0 a) log 2 (2 x – 1) = 3 b) log 2 ( x + 3) = – 23 = 2 x – 1 2 –1^ = x + 3 8 + 1 = 2 x 2
(^1) = x + 3
x = 29 x = – 25
Solución: x = 29 Solución: x = – 25
c) log 4 x = 2 d) log ( x – 2) = 2, 102 = 4 x 10 2,5^ = x – 2 100 = 4 x 10 5/2^ = x – 2 x = 25 10 5 + 2 = x Solución: x = 25 x = 2 + 100 10 Solución: x = 2 + 100 10 e) log (3 x + 1) = –1 f ) log 2 ( x^2 – 8) = 0 10 –1^ = 3 x + 1 20 = x^2 – 8
10
(^1) = 3 x + 1 1 + 8 = x 2
x = 10
x = ± 9 = ± Solución: x = 10 –^3 Soluciones: x 1 = 3, x 2 = –
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- Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 7 x^4 = 63 x^2 b) x^4 – 10 x^2 + 9 = 0 c) 4 x^4 – 5 x^2 + 1 = 0 d) x^4 + 5 x^2 + 4 = 0
a) 3 x^4 – 63 x^2 = x^2 (7 x^2 – 63) = 0 x x
Soluciones: x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = – b) Hacemos el cambio z = x^2.
z^2 – 10 z + 9 = 0 → z = ±^ ± 2
Si z = 9 → x = ± Si z = 1 → x = ± Soluciones: x 1 = 3, x 2 = –3, x 3 = 1, x 4 = – c) Hacemos el cambio z = x^2.
4 z^2 – 5 z + 1 = 0 → z = 5 ±^258 –^16 = 5 ± 83 = /
z z 1 4
Si z = 1 → x = ±
Si z = 4
(^1) → x = ± 2
Soluciones: x 1 = 1, x 2 = –1, x 3 = 2
(^1) , x 4 = – 2
d) Hacemos el cambio z = x^2.
z^2 + 5 z + 4 = 0 → z = –^5 ±^252 –^24 = –^52 ±^1 = z z
En ninguno de los dos casos hay solución para x.
- Resuelve.
a) 4 x + 5 = x + 2 b) x + 2 = x c) **_x_** **–** **_x_** **+ 2** j x – 3 j` x + 3 j = 0 a) Elevamos al cuadrado ambos miembros: 4 x + 5 = ( x + 2)^2 → 4 x + 5 = x^2 + 4 x + 4 → x^2 – 1 = 0 → x = ± Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: 4 + 5 = 1 + 2 → x = 1 es válida.
- 4 + 5 = 1 → x = –1 es válida. Soluciones: x 1 = 1; x 2 = –
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- Resuelve.
a) 4 1 024
x^2 – 2 x – (^8) = 1 b) 32 x – 1 (^) = 27
c) 2 x^ + 1^ + 2 x^ + 3^ = 320 d) 2,5 x^ = 49
a) 4 1024
x^2 – 2 x – (^8) = 1 b) 32 x – 1 (^) = 27
4 x^2 – 2 x^ – 8^ = 4–5^32 x^ – 1^ = 33/
x^2 – 2 x – 8 = –5 2 x – 1 = 2
x^2 – 2 x – 3 = 0 x = 4
x = 2 ±^24 +^12 = 2 ± 216 = 3
Soluciones: x 1 = 3, x 2 = – c) 2 x^ + 1^ + 2 x^ + 3^ = 320 d) 2,5 x^ = 49 2 x^ · 2 + 2 x^ · 2^3 = 320 log 2,5 x^ = log 49 2 · 2 x^ + 8 · 2 x^ = 320 x · log 2,5 = log 49
10 · 2 x^ = 320 x = log ,
log 2 5
2 x^ = 10
(^320) = 32 = 2 (^5) Solución: x ≈ 4,
x = 5 Solución: x = 5
- Resuelve.
a) x
x x x
x x 3
2
2 +
+ (^) = b) x x
x x
x 2
2
a) Observamos que x^2 + 2 x – 3 = ( x + 3)( x – 1). ( x + 7)( x – 1) + ( x^2 – 3 x + 6) = x^2 + 2 x – 3 x^2 + 6 x – 7 + x^2 – 3 x + 6 – x^2 – 2 x + 3 = 0 x^2 + x + 2 = 0. Esta ecuación no tiene soluciones. b) x + 1 + ( x – 1)( x – 2) – 2( x^2 – 2 x ) = 0 x + 1 + x^2 – 3 x + 2 – 2 x^2 + 4 x = 0
x^2 – 2 x – 3 = 0 → x = 2 ±^24 +^12 = 2 ± 24 = 3
- 1 Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
- = 6 = 2 → x = 3 es válida.
- – = 2 → x = –1 es válida.
Soluciones: x 1 = 3, x 2 = –
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- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x^4 – 10 x^3 + 5 x^2 + 40 x – 36 = 0 b) ( x^4 – 13 x^2 + 36) x (^) x
–^10
d + 2 n = 0
a) 1 –10 5 40 – 1 1 –9 – 4 36 1 –9 – 4 36 0 2 2 –14 – 1 –7 –18 0 9 9 18 1 2 0 El polinomio factorizado es: ( x – 1)( x – 2)( x – 9)( x + 2) Soluciones: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 9, x 4 = – b) x^4 – 13 x^2 + 36 = 0 Hacemos x^2 = t :
t^2 – 13 t + 36 = 0 → t = 13 ±^1692 –^144 = ±
t x
t x 4 2
x (^) x
–^10
2
= 0 → –10 x^2 + 9 x + 9 = 0 →
→ x = ± 20
Soluciones: x 1 = 3, x 2 = –3, x 3 = 2, x 4 = –2, x 5 = – 53 , x 6 = 23
- Resuelve.
a) x + 4 + 7 = 2 x b) 13 – x^2 + x = 5 c) x – 2 – 12 – x = 2 d) x – 5 + x = 5 a) x + 4 + 7 = 2 x → x + 4 = 2 x – 7 → x + 4 = 4 x^2 – 28 x + 49 → 4 x^2 – 29 x + 45 = 0 →
→ x = 29 ±^8418 –^720 = /
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial: 5 + 4 + 7 = 10 → x = 5 es solución.
(^18) → x = 4
(^9) no es solución.
Solución: x = 5 b) 13 – x^2 + x = 5 → 13 – x^2 = 5 – x → 13 – x^2 = x^2 – 10 x + 25 →
→ 2 x^2 – 10 x + 12 = 0 → x = ± 4
13 – 9 + 3 = 5 → x = 3 es válida. 13 – 4 + 2 = 5 → x = 2 es válida. Soluciones: x 1 = 3, x 2 = 2
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2 Sistemas de ecuaciones lineales
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- Resuelve utilizando el método de sustitución:
a) x y x y
* b)^
x y x y
* c)^
x y x y
Resuélvelos de nuevo por el método de igualación. a) ( ) 8 8 8 /
x x
y y
x y 3 y^ y^ y^ y^ y
– 3 7^5 5 11 21 20 11 20 10 1 2
y = 2
(^1) → x = 7 – 2
=^9
Solución: x = 2
(^9) , y = 2
b) 8 8 /
x x
y y
y x x x x x
x = 198 → y = 8 – 5 · 198 =–^318
Solución: x = 198 , y = – (^318)
c) (^) x ( ) 8 8 / x
y y
y y y y x y
y = 4
(^3) → x = 1 – 4
=–^1
Solución: x = – 21 , y = 4
- Resuelve por el método de reducción:
a) x y x y
* b)^
x y x y
a) x + 5 y = 7 b) 3 x – 5 y = 11 4 x = 18 → x = 9/
3 x – 5 y = –26 (^) 1.ª · 2 ⎯⎯→
6 x – 10 y = – 4 x + 10 y = 32 4 x + 10 y = 32 10 x = –20 → x = –
y 8 y^ / 2
- = = = 1 3 · (–2) – 5 y = –26 → – 6 – 5 y = –26 → y = 4
Solución: x = 29 , y = 21 Solución: x = –2, y = 4
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- Resuelve aplicando el método de reducción:
x y x y
x x
y y
⎯⎯⎯→^ 1.ª · 31
⎯⎯⎯→^ 2.ª · (–22)
x x
y y
1 099 y = –1 099 → y = –
x x
y y
⎯⎯⎯→^ 1.ª · 26
⎯⎯⎯→^ 2.ª · 17
x y x y
1 099 x = 3 297 → x = 3 Solución: x = 3, y = –
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- Resuelve:
a) x y x y
* b)^
x y xy y x
* c)^
y x y x
+ =^2
d) (^) x y xy x y
x y x x y
a) 8
x y x y
y x x x x x
x = 2 ±^24 +^32 = 2 ± 26 = 2
Si x = 4 → y = 7 Si x = –2 → y = – Soluciones: x 1 = 4, y 1 = 7; x 2 = –2, y 2 = –
b) x y xy y x
(^18) y x 6 4
x (18 – x ) = (18 – x ) + 6 x + 4 → 18 x – x^2 – 18 + x – 6 x – 4 = 0
x^2 – 13 x + 22 = 0 → x = 13 ±^1692 –^88 = 132 ±^9 = 11 2 Si x = 11 → y = 7 Si x = 2 → y = 16 Soluciones: x 1 = 11, y 1 = 7; x 2 = 2, y 2 = 16
c) y x y x y^ x
+ =^2
x^2 – 2 x – 8 = 0 → x = 2 ±^24 +^32 = 2 ± 26 = 4
- 2 Si x = 4 → y = 8 Si x = –2 → y = – 4 Soluciones: x 1 = 4, y 1 = 8; x 2 = –2, y 2 = – 4
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d) x y xy x y
_
`
a
bb
bb
Trabajamos sobre la primera ecuación para simplificarla:
8 x y xy xy
y xy
x xy xy
2 3 6 xy 1
- – = + – = → 2 y + 3 x – 6 = xy
Así, el sistema queda: y x xy x y
Despejamos x en la segunda ecuación, x = 5 – y , y sustituimos en la primera ecuación: 2 y + 3(5 – y ) – 6 = (5 – y ) · y → 2 y + 15 – 3 y – 6 = 5 y – y^2 → y^2 – 6 y + 9 = 0 →
→ y = ± 2
- (^) = 6 = 3 → x = 5 – 3 = 2
Solución: x = 2, y = 3
e) (^) x x y
y x 5 4 y^ x
x x^ x 8 x x^ x 4
- – = – 5 –^4 = 2 → x x^ 8 x x 4
→ x^ x 2
2 – (^) = 2 → x = 4 → x = 16 → y = · 4
Solución: x = 16, y = 20
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Página 67
- Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones:
a) 3 x > 9 b) 3 x ≥ 9 c) 3 x + 2 < 11 d) 3 x + 2 ≥ 11 e) 2 x – 3 < 5 f ) 2 x – 3 ≤ 5 a) 3 x > 9 → 3 x – 9 > 0 b) 3 x ≥ 9 → 3 x – 9 ≥ 0
y = 3 x – 9
X
Y
x > 3
y = 3 x – 9
X
Y
x Ó 3
c) 3 x + 2 < 11 → 3 x – 9 < 0 d) 3 x + 2 ≥ 11 → 3 x – 9 ≥ 0
y = 3 x – 9
X
Y
x < 3
y = 3 x – 9
X
Y
x Ó 3
e) 2 x – 3 < 5 → 2 x – 8 < 0 f ) 2 x – 3 ≤ 5 → 2 x – 8 ≤ 0
y = 2 x – 8 X
Y
x < 4
y = 2 x – 8
X
Y
x Ì 4
- Observa el siguiente diálogo:
— ¿Cuántas veces has ido al fútbol? — El triple de ellas más 2 no llega a 10. Expresa en lenguaje algebraico la respuesta, resuélvela y, después, da las soluciones te- niendo en cuenta que han de ser números enteros no negativos.
3 x + 2 < 10 → 3 x < 8 → x < , 3
La respuesta es: 2 veces o 1 vez o ninguna vez.
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- Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones teniendo en cuenta la representación de la función y = x^2 – 5 x + 4: a) x + 4 ≤ x^2 – 5 x + 4 b) – x + 4 < x^2 – 5 x + 4 c) x^2 – 5 x + 4 < x – 1 d) x^2 – 5 x + 4 ≥ x + 1 e) x^2 – 5 x + 4 < – 6 + 2 x f ) x^2 – 5 x + 4 ≤ –
y = x + 4
x Ì 0 x Ó 6
a) y = x^2 – 5 x + 4
X
Y
b)
y = – x + 4
x < 0 x > 4
y = x^2 – 5 x + 4
X
Y
y = x – 1
1 < x < 4
c) y = x^2 – 5 x + 4
X
Y
d) y = x + 1
y = x^2 – 5 x + 4
x Ì 3 – 6 x Ó 3 + 6
X
Y
y = –6 + 2 x
e) y = x^2 – 5 x + 4
2 < x < 5
X
Y
f )
y = –
y = x^2 – 5 x + 4
2 Ì x Ì 3
X
Y
y = x + 4
x Ì 0 x Ó 6
a) y = x^2 – 5 x + 4
X
Y
b)
y = – x + 4
x < 0 x > 4
y = x^2 – 5 x + 4
X
Y
y = x – 1
1 < x < 4
c) y = x^2 – 5 x + 4
X
Y
d) y = x + 1
y = x^2 – 5 x + 4
x Ì 3 – 6 x Ó 3 + 6
X
Y
y = –6 + 2 x
e) y = x^2 – 5 x + 4
2 < x < 5
X
Y
f )
y = –
y = x^2 – 5 x + 4
2 Ì x Ì 3
X
Y
