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Unidad 2. Potencias y raíces
ESO
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
Página 27
Resuelve
- ¿Cabrían los hijos de Buda en la India? Teniendo en cuenta Mahabharata y que la super-
ficie de la India es, aproximadamente, 3 millones de kilómetros cuadrados:
a) ¿Cuántos metros cuadrados corresponderían a cada uno de los hijos de Buda?
b) ¿Cuántas divinidades habría por metro cuadrado?
a) Primero, vamos a poner los datos en metros cuadrados, que es lo que nos pide el problema.
3 millones de km^2 = 3 · 10^6 km^2 = 3 · 10^6 · 10^6 m^2 = 3 · 10^12 m^2
Veamos cuántos metros cuadrados le corresponde a cada hijo:
600 00 millones de hijos = 600 000 · 10^6 hijos = 6 · 10^5 · 10^6 hijos = 6 · 10^11 hijos
Por tanto:
6 · 10 hijos
3 · 10 m 11
12 2 = m^2 /hijo = 5 m^2 /hijo
Así, a cada hijo le corresponden 5 m^2 de India.
b) Pasamos los km^2 a m^2 → 3 · 10^6 km^2 = 3 · 10^6 · 10^6 m^2 = 3 · 10^12 m^2
3 · 10 m
24 · 10 divinidades 12 2
15 = 8 · 10^3 divinidad/m^2
Habría 8 · 10^3 divinidades por metro cuadrado.
- ¿Cuánto pueden ocupar 10^40 monos? Vamos a suponer que un mono ocupa un volumen
de unos 10 litros y que amontonamos 10^40 monos, bien apretados, dentro de una esfera.
¿Cuál sería el radio de esa esfera?
nota: la distancia de Urano al Sol es de unos 2 870 millones de kilómetros.
1040 monos ocupan un volumen de 10^40 · 10 l = 10^41 l = 10^35 m^3
1035 m^3 = 3
(^4) · π · R (^3) → R = · 4 π
≈ 2,87 · 10^11 m = 2 870 millones de km
El radio de la esfera sería 2 870 millones de kilómeros.
- a) ¿Cuál o cuáles de estas potencias sirven para expresar un gúgol y cuál o cuáles para
expresar un gúgolplex?
10 (
(^100) ) 10100 10 (
(^2) ) 10 (
(^10) )
b) ¿Qué es mayor, un gúgol de gúgoles o un gúgolplex?
c) Suponiendo que en una hoja de papel caben, bien juntos, 3 000 caracteres, ¿serías ca- paz de idear una expresión que indique el número de hojas necesarias para escribir un gúgolplex con todas sus cifras?
a) gúgol → 10100 gúgolplex → 10 (
(^100) )
b) Un gúgol de gúgoles. c) 3 000 caracteres por hoja
10 100 cifras = 3,33 (^96) hojas
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
1 Potenciación
Página 28
- Reduce a una sola potencia.
a) 43 · 4^4 · 4 b) (5^6 )^3 c) 7
4
6 d) 3
3
3
e) 210 · 5^10 f ) 3 4
5 g) ( a^6 · a^3 )^2 : ( a^2 · a^4 )^3 h) (6^2 )^3 · 3^5 · (2^7 : 2^2 )
a) 48 b) 518
c) 72 d) 3
3
c m =^3
e) (2 · 5)^10 = 10^10 f ) 3 · 4
5
c m = 1^5 = 1
g) ( a^9 )^2 : ( a^6 )^3 = a^18 : a^18 = a^0 = 1 h) 66 · 3^5 · 2^5 = 6^6 · (3 · 2)^5 = 6^6 · 6^5 = 6^11
- Calcula utilizando propiedades de las potencias.
a) 23 · 5^4 b) (6^5 : 2^4 ) : 3^5 c) 3
6 3 d n d n (^) d) 28 · 2
4 d n
e) 2
6
6 f ) 2
5
6 g) (3^3 )^2 : 3^5 h) (2^5 )^3 · [(5^3 )^4 : 2^3 ]
a) 23 · 5^4 = 2^3 · 5^3 · 5 = (2 · 5)^3 · 5 = 10^3 · 5 = 1 000 · 5 = 5 000
b) (6^5 : 2^4 ) : 3^5 = :
: ·^ : ( · ) : ·
4
(^5 ) 4
5 5 4
(^2 5 5 5 ) 5
5 e o = f^ p^ = e o = = =
c) · · ( )
6 3
6
6 2 3
3 6
6 6
3
c m c m = = = 3 =
d) 28 · · 2
4 8 4
4
c m = = 2^4 · 5^4 = (2 · 5)^4 = 10^4 = 10 000
e) 2
6
6 6
= c m = 10^6 = 1 000 000
f ) · 2
5
6 5
5 = e o = 20 · 10^5 = 20 · 100 000 = 2 000 000
g) (3^3 )^2 : 3^5 = 3^6 : 3^5 = 36 – 5^ = 3
h) (2^5 )^3 · [(5^3 )^4 : 2^3 ] = 2^15 · [5^12 : 2^3 ] = 2^15 · 2
3
12 = 2^12 · 5^12 = (2 · 5)^12 = 10^12 = 1 000 000 000 000
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
2 Notación científica
Página 30
- ¿Verdadero o falso?
a) 5,83 · 10–5^ < 2,01 · 10^4 b) 58,35 · 10^4 > 3,5 · 10^6
c) 6,2 · 10–3^ < 5,8 · 10–^4 d) (3,1 · 10^5 ) · (3,3 · 10–5) < 10
a) Verdadero.
b) Falso. 583 500 < 3 500 000
c) Falso. 0,0062 > 0,
d) Falso. (3,1 · 10^5 ) · (3,3 · 10–5) = 10,23 > 10.
- Calcula.
a) (3,25 · 10^7 ) · (9,35 · 10–15) b) (5,73 · 10^4 ) + (–3,2 · 10^5 )
c) (4,8 · 10^12 ) : (2,5 · 10^3 ) d) (1,17 · 10^8 ) – (3,24 · 10 –^6 )
a) 3,03875 · 10–7^ b) –2,627 · 10^5
c) 1,92 · 10^9 d) 1,17 · 10^8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
Página 31
- Resuelve con la calculadora la actividad 2 de la página anterior.
a) 3,03875 · 10–7^ b) –2,627 · 10^5
c) 1,92 · 10^9 d) 1,17 · 10^8
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Página 33
Cálculo mental
Simplifica:
a) 5 · 20 b) 3 6 ·^310
a) 100 = 10 b) 360
Cálculo mental
Descompón y extrae fuera del radical:
a) 50 b) 3 24 c) 3 2 000
a) 5 2 · 2 = 5 2 b) 2 · 3 2 3 (^3 3 ) = c) 3 2 4 · 5 3 = 10 32
Cálculo mental
Calcula el valor de estas potencias:
a) ( 3 ) 6 b) ( 3 2 )^6 c) ( 4 5 )^12
a) 33 = 27 b) 22 = 4 c) 53 = 125
Cálculo mental
Simplifica:
a) 4 5 + 7 5 – 5 b) 3 4 – 5 3 4 + 734
a) 10 5 b) 3 34
- Simplifica las expresiones que puedas:
a) 8 5 – 6 3 b) 3 5 +4 5
c) 3 25 – 8 d) 5 – 35
e) 6 · 7 f ) 6 · 37
g) 2 · 8 h) 3 7 ·^349
i) 3 5 –^6 5 j) 5
10 ` j
k) 6
7 ` j l) 5 7
10 ` j
a) 8 5 – 6 3 → No se puede simplificar. b) 3 5 + 4 3 =7 5
c) 3 25 – 8 → No se puede simplificar. d) 5 – 3 5 → No se puede simplificar.
e) 6 · 7 = 42 f ) 6 ·^3 7 → No se puede simplificar.
g) 2 · 8 = 16 = 4 h) 3 7 ·^3 49 =^3343
i) 3 5 –^6 5 → No se puede simplificar. j) 5 5
(^10 ) ` j =
k) 6
7 ` j → No se puede simplificar. l) 5 7 7 49
(^10 ) ` j = =
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
- Extrae fuera del radical cuando sea posible.
a) 3 2 · 54 b) 3 2 5 · 32 c) 45 5
d) 180 e) 720 f ) 3375
a) 3 2 · 54 = 3 · 5^2 = 75 b) 3 2 5 · 3 2 = 2 336
c) 4 5 5 = 5 45 d) 180 = 2 2 · 3 2 · 5 = 2 ·3 5
e) 720 = 2 4 · 3 2 · 5 = 2 2 ·3 5 f ) 3 375 = 3 5 3 · 3 = 5 33
- Opera y simplifica lo máximo posible:
a) 15 · 20 b) 5 6 ·^5 16 c) 9 · 54 · 6 3 3 3 12 ` j
a) 15 · 20 = 300 = 2 2 · 5 2 · 3 =10 3
b) 5 6 · 5 16 = 5 96 = 5 2 5 · 3 = 2 53
c) 3 9 · 3 54 · 6 3 486 · 3 9 3 · 2 27 18
(^12 3 2 3 ) ` j = = =
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Ejercicios y problemas
Página 36
Practica
Potencias
- Calcula las potencias siguientes:
a) (–3)^3 b) (–2)^4 c) (–2)–
d) –3^2 e) – 4 –1^ f ) (–1)–
g) 2
- 3 d n h) 2
–^1
- 2 d n i) 3
0 d n
a) –27 b) 16 c) – 8
d) –9 e) – 4
(^1) f ) 1
g) 8 h) 4 i) 1
- Expresa como una potencia de base 2 o 3.
a) 64 b) 243 c) 32
(^1) d) 3
e) – 27
(^1) f ) 3
3
4
- g)^2
3
- 5 h) 2
2
3 1
**-
a) 26 b) 35
c) 2 –5^ d) 3 –
e) –(3)–3^ f ) 34 : 3–3^ = 34 – (–3)^ = 34 + 3^ = 3^7
g) 2 –5^ : 2^3 = 2–5 – 3^ = 2–
h) (2–3^ : 2–2)–1^ = (2–3 – (–2))–1^ = (2–3 + 2)–1^ = (2(–1))–1^ = 2(–1) · (–1)^ = 2^1 = 2
- Calcula.
a) : 2
–^1
- 3 – 2 d n d n b) 2 3
- 2 d + n · 3 –
a) : 2
c m c m = c m = b) · ·
c m = =
- Expresa como potencia única.
a) : 4
- 3 2 d n d n (^) b) 2
4
5 7
- - c) 2
- 1 3 >d (^) + n H
d) : 2
3 2 d n d n e) 3
· –^3
2 4 d n d n f ) 5 15
- 1
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
a) 4
4
2
c m
d) 2
c m e)
–^2
c m f )
3
c m
- Simplifica.
a)
3 2
3 2 2 b) 2 8 3
5 2
4 2 1
**-
b 9
2
d) (6 a )–1^ : (3 a –2)–2^ e) ( a –1 b^2 )^2 · ( ab –2)–1^ f ) ( ) b
a (^) a 3 1 2
- b l –^ –
a) · ·
3 3 4
3 2 4 3 7
7 2 5
4 = = b) · ·
5 3 2
4 4 2 2 2
1 3
2
= =
c) ab : a
b b
ab a b
a 9
2
2 = = d) (6 a )–1^ : (3 a –2)–2^ = a
a 3
2 4
1 1
e) ( a –1 b^2 )^2 · ( ab –2)–1^ = a –2 b^4 a –1 b^2 = a
b 3
6 f ) · a
b (^) a a
b 3
3 2 3
Notación científica
- Escribe estos números con todas sus cifras:
a) 4 · 10^7 b) 5 · 10–^4 c) 9,73 · 10^8
d) 8,5 · 10–^6 e) 3,8 · 10^10 f ) 1,5 · 10–
a) 40 000 000 b) 0,0005 c) 973 000 000
d) 0,0000085 e) 38 000 000 000 f ) 0,
- Escribe estos números en notación científica:
a) 13 800 000 b) 0,000005 c) 4 800 000 000
d) 0,0000173 e) 50 030 000 f ) 0,
a) 1,38 · 10^7 b) 5 · 10–^6 c) 4,8 · 10^9
d) 1,73 · 10–5^ e) 5,003 · 10^7 f ) 2,007 · 10–
- Di el valor de n en cada caso:
a) 3 570 000 = 3,57 · 10 n^ b) 0,000083 = 8,3 · 10 n
c) 157,4 · 10^3 = 1,574 · 10 n^ d) 93,8 · 10–5^ = 9,38 · 10 n
a) n = 6 b) n = –5 c) n = 5 d) n = – 4
- Completa estas igualdades:
a) 836 · 10^3 = 8,36 · 10…^ b) 0,012 · 10^4 = … · 10^2
c) … · 10–3^ = 0,0834 · 10^3 d) 73,3 · 10^2 = … · 10–
a) 836 · 10^3 = 8,36 · 10^5 b) 0,012 · 10^4 = 1,2 · 10^2
c) 83 400 · 10–3^ = 0,0834 · 10^3 d) 73,3 · 10^2 = 73 300 · 10–
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
- Efectúa y escribe el resultado con todas las cifras.
a) 5,3 · 10^11 – 1,2 · 10^12 + 7,2 · 10^10 b) 4,2 · 10–^6 – 8,2 · 10–7^ + 1,8 · 10–
c) (2,25 · 10^22 ) · (4 · 10–15) : (3 · 10–3) d) (1,4 · 10–7)^2 : (5 · 10–5)
a) –598 000 000 000 b) 0,
c) 30 000 000 000 d) 0,
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
Página 37
Raíces y radicales
- Halla, cuando sea posible, las raíces siguientes:
a) 4 16 b) 25
(^16) c) 8
(^3 1) d) 5 – 1 e) 3216
f ) 7 – 128 g) 5 – 243 h) 6 4 096 i) 6 64 j) 3 – 8
k) 4 625 l) – 8 m) 16
(^4 625) n) 5 – 1
a) 2 b) 5
(^4) c) 2
(^1) d) –1 e) 6
f ) –2 g) –3 h) 4 i) 2 j) –
k) 5 l) No tiene solución real. m) 2
(^5) n) –
- Saca del radical los factores que sea posible.
a) 2 2 · 53 b) 3 2 6 · 73 c) 42 2 · 36
d) 27 · a b · 3 3 e) 4 16 a^5 · b f ) 32 · a^2 · b^10 5
a) 10 5 b) 28 c) 3 436
d) 3 b^3 a e) 2 a^4 ab f ) 2 b^2 a^2 5
- Extrae de cada radical los factores que sea posible:
a) 4 32 b) 3 81 c) 3200
d) 50 e) 4 144 f ) 3250
g) 5 64 h) 3 243 i) 4 a 3
a) 4 32 = 4 2 5 = 2 42 b) 3 81 3 4 3 3 (^3 ) = = c) 3 200 2 · 5 2 52 3 3 2 3 = =
d) 50 = 2 · 5 2 = 5 2 e) 4 144 = 4 2 4 · 3 2 = 2 432 f ) 3 250 = 3 2 · 5 3 = 5 32
g) 5 64 2 6 2 2 (^5 ) = = h) 3 243 3 5 3 3 (^3 ) = = i) 4 a^3 = 2 a a
- Simplifica si es posible.
a) 2 · 8 b) 5 · 16 c) 3 4 · 35
d) 4 5 · 2 e) 4 3 · 4 27 f ) 10 · 36
a) 16 = 4 b) 80 c) 320
d) No es posible. e) 4 81 = 3 f ) No es posible.
- Simplifica.
a) 2 4 4 j (^) **b) 2 3 6** j (^) c) 2 2 6 3 ` j
d) 3 10 3 1000 e) 5 2 5 16 f ) 3 9 381
a) 2 b) 22 c) 2
d) 10 3 10 e) 2 f ) 9
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
- La galaxia M87, que está a 50 millones de años-luz de la Tierra, tiene un agujero
negro cuyo diámetro es 60 años-luz y cuya masa es dos mil millones de veces la masa del Sol.
a) Calcula la masa del agujero negro en kilogramos. (La masa del Sol es, aproximada- mente, 2 · 10^30 kg).
b) Expresa en kilómetros la distancia de esa galaxia a la Tierra y el diámetro del agujero negro.
a) La masa del agujero negro es 2 · 10^9 · 2 · 10^30 = 4 · 10^39 kg.
b) Un año luz son 9,46 · 10^12 km.
Distancia = 50 · 10^6 · 9,46 · 10^12 = 4,73 · 10^20 km
Diámetro = 60 · 9,46 · 10^12 = 5,68 · 10^14 km
Reflexiona sobre la teoría
- ¿Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos.
a) La potencia de un número negativo puede ser igual a 1.
b) Si x < 0, entonces – x^3 > 0.
c) – x^2 es siempre un número positivo.
d) El cubo de un número negativo es siempre menor que dicho número.
a) Verdadero. Por ejemplo: (–1)^2.
b) Verdadero. Por ejemplo: –(–3)^3 > 0.
c) Falso. Por ejemplo: –(–3)^2 < 0.
d) Verdadero. Por ejemplo: (–3)^3 = –9; –9 < –3.
- Si a^2 = b^2 , ¿qué podemos afirmar de a y b****?
Si a^2 = b^2 se pueden afirmar dos cosas. O bien a = b , o a es un número cualquiera y b es el mismo número pero negativo.
- Ordena los números n , n^2 , n y 1/ n en los siguientes casos:
a) Si n > 1. b) Si 0 < n < 1.
a) n
(^1) < n < n < n (^2) b) n (^2) < n < n n
<^1
- Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:
a) 64 b) 3 64 c) 564
d) 100 e) 3 100 f ) 1 4/
a) Racional b) Racional c) Irracional
d) Racional e) Irracional f ) Racional
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
- Justifica cuál debe ser el valor de a , en cada caso, para que se verifique la igualdad:
a) a^3 = 2^6 b) a –1^ = 2 c) a 5
=^4
d) 4 a = 1 e) a –2^ = 4
(^1) f ) a –5 (^) = –
a) a = 2^2 b) a = 2
(^1) c) a = 25
d) a = 1 e) a = 2 f ) a = –
- ¿Por qué no se puede hallar la raíz de índice par de un número negativo?
Calcula, cuando sea posible, estas raíces:
a) 3 – 27 b) – 64 c) 4 – 16 d) 5 – 1
Porque al elevar un número negativo a un exponente par, obtenemos un número positivo.
a) –3 b) –8 c) Imposible. d) –
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
Página 39
Entrénate resolviendo problemas
- Un automóvil y un camión parten simultáneamente de una población, por la misma carre-
tera, pero en sentidos opuestos.
La velocidad del coche es de 120 km/h, y la del camión es de 90 km/h. ¿Qué distancia los separa al cabo de 10 minutos?
10 min = 6
(^1) h
d coche = v · t = 120 · 6
(^1) = 20 km d camión =^ v^ ·^ t^ = 80 ·^6
(^1) = 13,33 km
d total = 20 + 13,33 = 33,33 km
- Un labrador ara por la mañana dos quintas partes de un campo. Por la tarde, vuelve al
trabajo y ara un tercio de lo que le quedaba.
Sabiendo que aún falta por arar media hectárea, ¿cuál es la superficie del campo?
MAÑANA TARDE
1 2
ha
1 4
ha
La superficie total del campo es de 4
ha = 125 áreas.
- Aquí tienes un problema y la solución que ha encontrado Andrés para él:
“Si tuviésemos veinticinco soldaditos de plomo, ¿cómo for- maríamos con ellos seis filas de cinco soldaditos cada una?”.
Sin embargo, Susana ha dispuesto los 25 soldados de modo que el número de filas, con 5 soldados en cada una, son mu- chas más de seis.
¿Te atreves a probar?
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3
Autoevaluación
- Calcula.
a) (–3)–2^ + 4
- 1 d n (^) – 8
0 d n (^) – 3–1^ b) 3 2
–^1
- 2 d n (^) · 2–
a) 3
– –^1
2
2 3
c m = = =
- Simplifica.
a) a b
ab 6
2 1
2
**-
b)** a b - (^1) · a - (^3) – 2 d n (^) b l
c) b
a b
· a
4 2
- 3 b l d) :
a
b a
b 3 4
- 2 1 - - d n
a) 2 ab
(^1) b) – ab 2
c) a
b^2 d) ab
- Descompón en factores y utiliza las propiedades de las potencias para simplificar esta
expresión:
4 3 10
2 2 4
- -
12 6 10
2 6 2 2 4 4 12 12 2
12 10
-^2
- Expresa en notación científica.
a) 234 000 000 b) 0,
c) 758 · 10–5^ d) 0,035 · 10^13
a) 2,34 · 10^8 b) 7,5 · 10–
c) 7,58 · 10^7 d) 3,5 · 10–^4
- Calcula y comprueba con la calculadora.
a) (3,5 · 10^7 ) · (8 · 10–13) b) (9,6 · 10–8) : (3,2 · 10^10 )
c) (2,7 · 10^8 ) + (3,3 · 10^7 ) d) 3 8 10· 18
a) 28 · 10–^6 = 2,8 · 10–5^ b) 3 · 10–
c) 27 · 10^7 + 3,3 · 10^7 = 30,3 · 10^7 = 3,03 · 10^8 d) 2 · 10^6
- Simplifica.
a) 3 – 1331 b) 5 125 ·^5 25 c) 3120 a b 3 4
a) –11 b) 5 c) 2 a^315 b
