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Examen Extraordinario de Estad´ıstica I, 22 de Junio de 2012. Grados en ADE, DER-ADE, ADE-INF, FICO, ECO, ECO-DER.
NORMAS: 1) Entregar cada problema en un cuadernillo distinto, aunque est´e en blanco.
- Realizar los c´alculos con al menos dos cifras decimales significativas.
- No se podr´a abandonar el examen hasta transcurridos 30 minutos depu´es de haber em- pezado.
- No est´a permitido salir del aula sin entregar el examen, aunque est´e en blanco.
Con el objetivo de estudiar la temperatura del termostato de refrigeraci´on de un cierto modelo de coche a los 100 km/h, se toma una muestra de treinta coches de dicho modelo y se mide la temperatura del termostato de cada coche a dicha velocidad. Los resultados obtenidos son los siguientes (medidos en grados Celsius):
8 69. 4 69. 4 69. 7 71. 5 72. 2 74. 1 75. 4 75. 8 76. 3
2 77. 6 77. 6 77. 9 78. 3 78. 7 78. 9 81. 2 81. 2 81. 7
3 82. 3 82. 4 84. 5 84. 7 85. 2 85. 4 88. 2 102. 5 105. 5
(a) (0.5 puntos) Agrupa la muestra en intervalos de amplitud constante empezando por [65, 69) y calcula la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
Soluci´on:
La tabla de frecuencias absolutas y relativas para los intervalos solicitados es: Intervalo Frec. abs. Frec. rel. [65, 69) 1 1 / 30 [69, 73) 5 5 / 30 [73, 77) 4 4 / 30 [77, 81) 7 7 / 30 [81, 85) 8 8 / 30 [85, 89) 3 3 / 30 [89, 93) 0 0 [93, 97) 0 0 [97, 101) 0 0 [101, 105) 1 1 / 30 [105, 109) 1 1 / 30 30 1
(b) (0.25 puntos) ¿Qu´e porcentaje de observaciones se encuentra entre 78 y 81 grados Celsius?
Soluci´on:
Puesto que hay tres observaciones, 78.3, 78.7 y 78.9, de 30 observaciones totales, tenemos que corresponden al 10%.
(c) (1 punto) Calcular los tres cuartiles de la muestra e interpretarlos.
Soluci´on:
Los tres cuartiles muestrales son:
x( 31 4 )^ = x(8) = 75. 4
x( 312 ) =
x(15) + x(16) 2
x( 93 4 )^ = x(23) = 82. 4
Esto implica que el 25% de las observaciones se encuentra por debajo de 75.4, el 50% de las observaciones se encuentra por debajo de 78.5 y el 75% de las observaciones se encuentra por debajo de 82.4. Por lo tanto, los tres cuartiles dividen la muestra de 30 observaciones en cuatro submuestras que recogen aproximadamente el mismo n´umero de observaciones. OBS: Los cuartiles tambi´en se pueden estimar de maneras alternativas. Por ejemplo:
x( 314 ) = 0. 25 x(7) + 0. 75 x(8) = 75. 075
x( 31 2 )^
x(15) + x(16) 2
x( 934 ) = 0. 75 x(23) + 0. 25 x(24) = 82. 925
(d) (0.75 puntos) Representar los datos mediante un diagrama de caja (boxplot) e identificar los posibles datos at´ıpicos. Justificar la respuesta.
Soluci´on:
En vista del diagrama de caja, existen dos datos at´ıpicos ya que sus valores son mayores que Q 3 + 1. 5 × RI, donde RI es el rango intercuartilico.
- Sea Y una variable aleatoria cont´ınua definida en el intervalo [0, 1] con funci´on de densidad:
fY (y) =
4 y − 4 y^3 0 ≤ y ≤ 1 0 en cualquier otro caso
Se pide:
(a) (0.5 puntos) Obtener la funci´on de distribuci´on de Y.
Soluci´on:
FY (y) =
0 0 < y ∫^ y 0
4 u − 4 u^3
du = 2y^2 − y^4 = y^2
2 − y^2
0 ≤ y ≤ 1
1 y > 1
(b) (1 punto) Calcular de forma exacta la probabilidad de obtener m´as de un 9, es decir, de responder correctamente m´as de 36 preguntas.
Soluci´on:
La variable aleatoria Y =“N´umero de respuestas correctas” es Y =
i=1 Xi^ que tiene una distribuci´on Bin
. Por lo tanto:
P (Y > 36) = P (Y = 37) + P (Y = 38) + P (Y = 39) + P (Y = 40) =
=
= 6. 5012 × 10 −^15 + 2. 5662 × 10 −^16 + 6. 5802 × 10 −^18 + 8. 2252 × 10 −^20 =
= 6. 7645 × 10 −^15.
(c) (0.5 puntos) Calcular de forma aproximada, utilizando el Teorema Central del L´ımite, la prob- abilidad de aprobar, es decir, de responder correctamente m´as de 20 preguntas.
Soluci´on:
Puesto que Y ∼Bin
, entonces:
E [Y ] = 40 ×
DT [Y ] =
40 ×
×
801 /^2
Entonces:
P (Y > 20) = P
Y − 403
801 /^2 3
801 /^2 3
' P
Z >
801 /^2
= P (Z > 2 .2360) =
= 1 − P (Z ≤ 2 .2360) = 1 − 0 .9871 = 0. 0129 ,
donde Z ∼ N (0, 1).
- En un centro comercial se est´a realizando un estudio acerca de la calidad del servicio que se est´a dando a los clientes. Concretamente se han recogido datos acerca del tiempo de espera (en minutos) para acceder a los ascensores del mismo. A continuaci´on se muestran algunos de los an´alisis llevados a cabo:
Se pide:
(a) (0.75 puntos) Justificar si es cierto que el tiempo de espera para acceder a los ascensores de los clientes del centro comercial puede describirse mediante una ley de probabilidad Normal.
Soluci´on:
En vista de los gr´aficos presentados, la distribuci´on Normal no es adecuada para describir estos datos. En primer lugar, el histograma es claramente asim´etrico, mientras que el gr´afico cuantil- cuantil muestra claramente que los cuantiles muestrales no siguen aproximadamente una l´ınea recta cuando son comparados con los cuantiles de la Normal.
(b) (1 punto) El centro comercial afirma que el tiempo de espera para acceder a los ascensores de los clientes del centro comercial es en media de 6 minutos con una desviaci´on t´ıpica de 5 minutos. Si 50 personas toman el ascensor independientemente, cual es la probabilidad de que la suma de sus tiempos de espera est´e entre 5.5 y 6 horas.
Soluci´on:
Sea T la variable aleatoria “Tiempo de espera para acceder a los ascensores”. Tenemos que E [T ] = 6 y DT [T ] = 5. Entonces, el TCL nos dice que:
Z =
T − 6
√^5 50
aprox.
N (0, 1).
Por lo tanto,
P
∑^50
i=
Ti < 360
= P
< T <
= P
6. 6 < T < 7. 2
= P
√^5 50
< Z <
√^5 50
= P (0. 8485 < Z < 1 .6970) =
= P (Z < 1 .6970) − P (Z < 0 .8485) = 0. 9545 − 0 .7995 = 0. 1550.
(c) (0.75 puntos) Suponer que el tiempo espera para acceder a los ascensores de los clientes del centro comercial es en media de 6 minutos con una desviaci´on t´ıpica de 5 minutos. Obtener una cota inferior de la probabilidad aproximada de que el tiempo total de espera para 25 personas est´e entre 2 y 3 horas. (Utilizar la desigualdad de Chebyshev, es decir, para una variable aleatoria X con esperanza μ y varianza σ^2 , entonces P (|X − μ| < k) ≥ 1 − σ
2 k , para cualquier constante positiva k).
Soluci´on:
La desigualdad de Chebyshev nos dice que, para una variable aleatoria X con media μ y varianza σ^2 , se verifica: P (|X − μ| < k) = P (μ − k < X < μ + k) ≥ 1 −
σ^2 k^2 Entonces, tenemos que la variable
i=1 Ti^ tiene media 25^ ×^ 6 = 150 y varianza 25^ ×^ 25 = 625. Por lo tanto:
P
i= Ti < 180
= P
i= Ti < 150 + 30
