Ejercicios y problemas de álgebra lineal: matrices y determinantes, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Ejercicios y problemas de álgebra lineal: matrices y determinantes y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

EXERCICIS

Llúcia Mauri Masdeu

L’any següent:

3. Escriu les matrius següents:

a) en què aii=1, i=1, 2, 3 i aij=0, i≠j.

b) en què b (^) ij=i+j

c) en què c (^) ij=(–1)i+j

4. Considereu les matrius següents:

1. (A+B)C=AC+BC

Matemàtiques I

2. DA+DB=D(A+B)

3. (AC)t=C t^ At
4. (DB)t=B tD t

Matemàtiques I

5. Sigui. Trobeu els valors de les incògnites x i y perquè es compleixi que A^2 = A. Busquem A^2 :

Prenem la primera equació i la quarta i busquem aquests x i y

t
i i

Les y s’obtenen a partir de la segona o tercera equació.

t
i i

Les x s’obtenen a partir de la segona o tercera equació. Per tant, tenim dues possibles solucions: (–2, 3) i (3, –2). Si substituïm aquests valors a les quatre equacions inicials o a les matrius A i (^) A^2 (^) , veiem que es compleix el que cerquem.

6. Digueu per quins valors de a la matriu següent és simètrica.

Una matriu és simètrica si b (^) ij=b (^) ji per i=1,..., n i j=1,..., n. En aquest cas n=3. Nota: Utilitzem la b (^) ij per indicar cada element de la matriu per no confondre amb la incògnita a.

Llúcia Mauri Masdeu

Per tant, necessitem que:

Busquem les solucions d’ambdues equacions de segon grau, i obtenim:

i

Per tant, el valor que compleix les dues equacions alhora és a=2. Així, la matriu serà simètrica sols si a=2.

7. Calculeu els determinants de les matrius següents:

Calculeu les inverses d’aquestes matrius, recordant que “A té inversa si i només si det(A)≠0”. Calculem primer el determinant de les matrius i després, un cop haguem compro- vat que és diferent de 0, calcularem les matrius inverses corresponents:

, ,

Com que els quatre determinats són diferents de 0, existeixen les matrius inverses corresponents. Busquem-les:

Llúcia Mauri Masdeu

(adj D)t

8. Calculeu el rang de les matrius següents. En els casos en què aparegui el paràmetre a∈ R , discutiu el rang segons els valors del paràmetre.

Com que la matriu és de 3x4, el menor d’ordre més gran possible que podem es- collir és de 3x3. Per tant, com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3. Prenem un menor d’ordre 1 qualsevol, per exemple: (sovint aquest pas el donarem per suposat) | 2 |≠ 0

Com que existeix algun menor d’ordre 1 diferent de 0, assegurem que la matriu té rang més gran o igual a 1. Prenem un menor d’ordre 2 qualsevol, tot afegint una fila i una columna al menor anterior, per exemple:

Matemàtiques I

El seu valor és diferent de 0; per tant, assegurem que el rang de la matriu és igual o més gran que 2. Finalment prenem un menor d’ordre 3 qualsevol, tot afegint una fila i una colum- na al menor d’ordre 2 i vegem si el determinant és diferent de 0:

Intentem buscar si hi ha algun altre menor d’ordre 3, amb determinant diferent de 0:

Per tant, com que el menor d’ordre més gran diferent de 0 és d’ordre 2, la matriu tindrà rg(A)=2.

Com que la matriu és de 3x3, el menor d’ordre més gran possible que podem es- collir és de 3x3. Per tant, com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3. Prenem l’únic menor d’ordre 3:

Busquem en quins casos el determinant és 0:

↔ t
Sia≠1 o a≠–2 llavors rg(A)=3, ja que existeix un menor d’ordre 3 diferent de 0. t
Sia=1, obtenim:

Matemàtiques I

Prenem l’únic menor d’ordre 4:

Busquem en quins casos el determinant és 0:

↔ t
Sia≠1 o a≠–1 llavors rg(A)=4, ja que existeix un menor d’ordre 4 diferent de 0. t
Sia=1, obtenim:

Prenem un menor d’ordre 1, per exemple:

| 1 |≠ 0

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1. Prenem un menor d’ordre 2 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 2. Prenem un menor d’ordre 3 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

El determinant és diferent de 0; per tant, rg(A)=3. t
Sia=–1, obtenim:

Llúcia Mauri Masdeu

Prenem un menor d’ordre 1, per exemple:

|–1|≠ 0

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1. Prenem un menor d’ordre 2 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 2. Prenem un menor d’ordre 3 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

El determinant és diferent de 0; per tant, rg(A)=3.

9. Discutiu el rang de les matrius següents segons els valors dels paràmetres a, b∈ R.

Com que la matriu és de 3x4, el menor d’ordre més gran possible que podem es- collir és de 3x3. Per tant, com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3. Prenem un menor d’ordre 3:

Busquem en quins casos el determinant és 0:

→ ↔ t
Sia≠0 o a≠–2 llavors rg(A)=3, ja que existeix un menor d’ordre 3 diferent de 0.

Llúcia Mauri Masdeu

Prenem un menor d’ordre 3 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

El determinant és diferent de 0; per tant, rg(A)=3. Per tant, per a qualsevol valor de a∈ R rg(A)=3.

Com que la matriu és de 3x4, el menor d’ordre més gran possible que podem es- collir és de 3x3. Per tant, com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3. Prenem un menor d’ordre 3:

Busquem en quins casos el determinant és 0: 6 a=0 ↔ a= t
Sia≠0 i ∀b∈ R rg(A)=3, ja que existeix un menor d’ordre 3 diferent de 0. t
Sia=0, obtenim:

Prenem un menor d’ordre 1, per exemple:

| 1 |≠ 0

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1. Prenem un menor d’ordre 2 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

d l Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 2.

Matemàtiques I

Prenem un menor d’ordre 3 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

t
Llavors sia=0 i b≠– 3

(^1) rg(A)=3.

t
Llavors sia=0 i b=– 3

(^1) rg(A)=2.

Com que la matriu és de 3x4, el menor d’ordre més gran possible que podem es- collir és de 3x3. Per tant, com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3. Prenem un menor d’ordre 3:

Busquem en quins casos el determinant és 0: –21a+42=0 ↔ a=

t
Sia≠2 i ∀b∈ R rg(A)=3, ja que existeix un menor d’ordre 3 diferent de 0. t
Sia=2, obtenim:

Prenem un menor d’ordre 1, per exemple:

| 2 |≠ 0

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1.

Matemàtiques I

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1. Prenem un menor d’ordre 2 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

t
Sia=1 i b≠1, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 2. Prenem un menor d’ordre 3 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

Com que tots els menors d’ordre 3 són nuls, obtenim que per a=1 i b≠1, El rg(A)=2. t
Sia=1 i b=1 obtenim:

Prenem un menor d’ordre 1, per exemple:

| 1 |≠ 0

Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1. Prenem un menor d’ordre 2 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.

Escollim un altre menor d’ordre 2, i observem que tots els menors d’ordre 2 són d’aquesta forma. Per tant, rg(A)=1.

10. Comproveu que la matriu és ortogonal per 2 a =^1.

Podem comprovar-ho imposant que compleixi la condició A–1=At.

Llúcia Mauri Masdeu

t
A–1=At

o sigui si 2

a =^1 llavors,

Busquem A–1:

(adj A)t

o sigui si 2

a =^1 llavors,

Comprovem que compleix també que (^) A =± 1 :

, o sigui amb 2 a =^1 A = 1.