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MATEM `ATIQUES I
- Equacions diferencials Solucions
- a) y = (^) ln|x|+1+x Cx
b) y = arccos( (^) ln| cos^1 x|+C ) c) y = (^) ln|x+1^1 |+C d) y ve donada impl´ıcitament per
y + (^12)
e−^2 y^ = ex(cos x − sin x) + C. e) y ve donada impl´ıcitament per y y−−^21 = Cex. Si a¨ıllem y: y = 1 + (^) 1+Ce^1 x. f) y^2 = − 2
1 − x^2 + C.
- a) y ve donada impl´ıcitament per C = y^2 − 3 xy + 2x^2. Si a¨ıllem y = 3 x±
√x (^2) +4C
b) y ve donada impl´ıcitament per Cy^2 = (x^2 + y^2 )^3. c) y^2 = C+x
3 3 x. d) y ve donada impl´ıcitament per y^2 = Cxe
x y 22 . e) y^2 = x^2 + Cx.
- a) y = x
2 2 +^
x 2 −^
1 4 +^ Ce
− 2 x
b) y = −e^2 x^ + Ce^3 x c) y = Cex
2
- 12 x^2 d) y = 13 (x^5 + 2x^2 ) e) y = 4 cos x − 2 cos^2 x f) y = 2e−^
x 22
- x^2 − 2 g) y = (^) cosx x
- a) Es de variables separables:´ y′^ = −x (^) y^1 , i tamb´e homog`enia: − ((λxλy)) = − xy. La soluci´o general ´es y^2 = −x^2 + C b) Es lineal:´ y′^ = − (^1) x y + e
x x. La soluci´o general ´es^ y^ =^
ex+C x. c) Es lineal:´ y′^ = − 2 xy + 4x. La soluci´o general ´es y = 2 + Ce−x
2 . d) Es homog`´ enia. La soluci´o general ´es
y x −^
x y + 3ln
y x
∣ = −2lnx + C.
e) Es de variables separables:´ y′^ = − y y+1 2 · (^) xx−^21. La soluci´o general ´es^1 2
(x^2 + y^2 ) + x − y + ln|(x − 1)(y + 1)| = C.
- a) y = Cex
(^2) / 2 y 2
b) arctan
y x =^ ln(
x^2 + y^2 ) + C
c) y^3 −
2 yx
(^2) − x (^3) = C
d) y =
2 x^2 + C 2 x e) y(x + y) = Cx
f) y^3 =
C − x^5 x^2 g) y^2 + 2xy − 2 x^2 ln|x| + 2x^2 C = 0 h) − y x
− 2ln| 1 − y x
| = ln|x| + C
a) y = C 1 e^3 x^ + C 2 e^4 x^ b) y = C 1 + C 2 ex
c) y = (C 1 + C 2 x) e^2 x^ d) y = (C 1 + C 2 x) ex
e) y = C 1 e^2 x^ + C 2 e−^3 x^ f) y = −
4 e
x (^) +^1 8 e
−x (^) +^1 8 e
3 x
g) y = 2e−x^ − e^4 x^ + e^5 x^ h) y = 7ex^ + e^2 x^ − e^3 x i) y =^2 3
e−x^ +^1 12
e^3 x^ j) y = C 1 + C 2 e−x^ + C 3 xe−x
k) y = (C 1 + C 2 x)e−x^ + C 3 e
√ 5 x
√ 5 x
a) y = C 1 e−^5 x^ + C 2 e−^2 x^ +^1 2
b) y = C 1 ex^ + C 2 e−x^ − 5 x + 2
c) y = C 1 + C 2 e^3 x^ + x^2 d) y = C 1 e−x^ + C 2 e−^5 x^ +^1 21
e^2 x
e) y = (C 1 + C 2 x)e^3 x^ + (4 cos x + 3 sin x)ex^ f) y = C 1 e−^4 x^ + C 2 − 1 20
sin 2x − 1 10
cos 2x
g) y = C 1 ex^ + C 2 + C 3 x − x^4 − 5 x^3 − 15 x^2 h) y = C 1 ex^ + C 2 e−x^ + C 3 e^2 x^ +^1 2
x^2 +^1 2
x +^7 4
i) y = − 5 ex^ + e^7 x^ + 2
- a) y = C 1 e−x^ + (C 2 + C 3 x) e−^3 x^ + x −
b) y = C 1 ex^ + (C 2 + C 3 x) e−^2 x^ −
e−x
c) y = C 1 e^5 x^ + (C 2 + C 3 x) e−^2 x^ + (−
x +
)ex
d) y = x^2 + 143 x + 989 + C 1 ex^ + C 2 xex^ + C 3 e^3 x e) y = x^2 + 2 + C 1 e−x^ + C 2 xe−x^ + C 3 e−^2 x f) y = x^3 + 5x^2 + 10x + C 1 + C 2 ex^ + C 3 xex^ + C 4 e^3 x
x = − 3 C 1 + C 2 e−^5 t^ − 1 + 3t^2 + 30t y = C 1 − 2 C 2 e−^5 t^ + 2 − t^2 − 10 t
- (^) { x = C 1 e−^7 t^ + C 2 et^ + 7 − t y = 9 C 1 e−^7 t^ + C 2 et^ + 15 − t
- (^)
x = 2 C 1 + C 2 e−^5 t^ +
t^3 + 2t +
y = C 1 − 2 C 2 e−^5 t^ +
t^3 + t −
- x(t) = − 12 gt^2 + x 0.
- x(t) = x 0 ekt.
- x(t) = x 0 e−kt.
- x(t) = AB (1 − e−Bt).
- T (t) = 30 + 150e
(^12) ln( 157 )t
. Tardara −^2 lnln( (150) 157 ) minuts fins a refredar-se a 31o.No es refredara fins a 30o.
- v(t) = mgk + (v 0 − mgk )e−^ mk^ t. El l´ımit quant t tendeix a infinit ´es mgk - La funci´o recorregut ´es: x(t) = x 0 +
mg k
t + (v 0 −
mg k
m k
)e−^ mk t .
- x(t) = x 0 cos(
k m t).
- Es una equaci´´ o diferencial separable. Per resoldre-la fem: ∫ dx ([A] 0 − ax)([B] 0 − bx)
kdt.
La primera integral ´es la d’una funci´o racional, que hem de separar com a suma de dues fraccions simples: ∫ dx ([A] 0 − ax)([B] 0 − bx) =^
a d
dx [A] 0 − ax −^
b d
dx [B] 0 − bx ,
on d = a[B] 0 − b[A] 0. Aix´ı doncs
ln|
[B] 0 − bx [A] 0 − ax
| = dkt + C,
i aplicant exponencials: [B] 0 − bx [A] 0 − ax
= Cedkt.
A¨ıllant x tenim: x =
a
([A] 0 −
d aCedkt^ − b
- Es una equaci´´ o diferencial lineal: B′^ = −k 2 B +k 1 A 0 e−k^1 t. La resoldrem en tres passos:
- Resolem l’equaci´o diferencial separable B′^ = −k 2 B. Tenim doncs dBB = −k 2 dt, integrant lnB = −k 2 t + C, i aplicant exponencials B = Ce−k^2 t. Aix´ı h(t) = Ce−k^2 t.
- Trobem una soluci´o particular:
q(t) = h(t)
g(t) h(t)
dt = Ce−k^2 t
k 1 A 0 e−k^1 t Ce−k^2 t^
= A 0 k 1 e−k^2 t
e(k^2 −k^1 )tdt
Distingim dos casos:
- Si k 1 = k 2 , q(t) = A 0 k 1 e−k^2 tt i la soluci´o general ´es B(t) = A 0 k 1 e−k^2 tt + Ce−k^2 t.
- Si k 1 6 = k 2 , q(t) = (^) kA 20 −kk^11 e−k^1 t^ i la soluci´o general ´es B(t) = (^) kA 20 −kk^11 e−k^1 t^ + Ce−k^2 t.
