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Dpto. de Ingeniería de
Circuitos y Sistemas
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
ASIGNATURA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS - II
TITULACIÓN:
Fecha Curso Calificaciones parciales Cal final
Tiempo total para la realización de los cuatro ejercicios: 2,5 horas.
Hay que realizar el examen en el espacio destinado para ello en el cuadernillo. No
se corregirá ninguna hoja suelta.
Al final del cuadernillo están las tablas de la transformada de Laplace.
Primer problema (2 puntos)
a) En el circuito de la figura, hallar las corrientes i 1 (t) e i (^) g(t), indicando primero las
ecuaciones literales y sustituyendo valores después.
Datos: L=M=2mH; Rg =1Ω; e (^) g(t)=sen(
3 t) V
E V
j M j L j
g^1
Malla del generador:
E (^) g = RgIg + j ω LI (^) g − j ω M ( Ig − I 1 )⇒ Eg =( Rg + j ω L − j ω M ) I (^) g + j ω MI 1
Ecuación de la tensión que cae en la bobina cortocircuitada (malla de la izquierda):
0 = j ω L ( I (^) g − I 1 ) − j ω MIg ⇒ 0 =( j ω L − j ω M ) Ig − j ω LI 1
Dando valores:
I A
j I I A
I (^) g j I g 1
0 2 0
1 1
Luego:
( )
i ( ) t sen ( t ) A
i t A
g
3
1
10
M
L
L
eg(t)
i 1 (t)
i (^) g (t)
R (^) g
i (^) g (t)-i 1 (t)
b) Hallar la impedancia de entrada Ze del circuito de la figura.
Datos: ωL=6Ω; a=
El circuito de la figura es equivalente a:
Donde:
( )
2
2 2 3
2
2
2
2
2 2 2
3 2
2 1
2 2
1
j j a
a Z aZ j La
a
a j L j L j La
La Z j LZ
Z aZ j La
Z j L
e^ ω
Alternativamente, se puede plantear del siguiente modo:
ܮ ൌ ܮ2ᇱ^ ܽڄ ଶ^ , luego ܮᇱ^ ܽ/ܮ2 ൌ ଶ
Como el acoplamiento es perfecto: ݇ ൌ 1 y ݇ൌ ܯ ܽ/ܮ2 ൌ Ԣܮ ڄ ܮ√
La ecuación de la bobina de la derecha es: ܸ ଵ ܫ ڄ ܮ ݆߱ൌ (^) ଵ
2L^ L
a:1 a:
ideal perfecto Ze
V 3 V 2 V 1
I 3 I 1
L’
L
a:1 a:
Z ideal^ ideal e
2L
Z 3 Z 2 Z 1
2L L
a:1 a:
ideal perfecto Ze
I 2
Segundo problema (3puntos)
El circuito de la figura lleva conectado el tiempo suficiente como para haber alcanzado
el régimen permanente en la situación en la que está. En t=0 el interruptor cambia de
posición. Se pide:
Datos: E 1 =1V; E 2 =2V; L=1H; R=6Ω; C=1/9F
a) Calcular las condiciones iniciales de los elementos del circuito.
Para t<0 estamos en régimen permanente de continua. La bobina se comporta como un
cortocircuito y el condensador como un circuito abierto.
( )
( )
( )
V ( ) V
I A
v t E V t
i t A t
C
L
C
L
0 1
−
−
b) Dibujar el circuito que queda para t>0 en el dominio de Laplace.
t=
E 1 E 2
R
C
L
vC (t)
E 1
R
vC (t)
i (^) L (t)
c) Calcular VC (s).
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
2
−
−
−
s ss s s s s
Is s Cs
V
V s
s s
C
Ls Rs
E V
Cs
R Ls
s
V
s
E
I s
C C
C
C
d) Calcular vC (t) para t>0.
Identificando en la tabla de transformadas, filas 2 y 33:
( ) ( 1 3 ) 1 1 3 2 3 ( ) 0 3
3 3 3 3 3 3 2 ⎟= + − − = − − > ⎠
− − − − − − v t e te e te e te V t
t t t t t t C
e) Dibujar vC(t) en el intervalo de tiempo t=(-5s,5s).
( ) ⎩
3 3 e te V t
V t v (^) Ct t t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
t (s)
vc(t) (V)
VC (
)/s
E 2 /s
R
1/(Cs)
Ls
VC (s)
I(s)
Sugerencia 2: si no se ha llegado a ninguna solución en el apartado b), considerar:
( ) (^259)
5
ω ω
ω ω j
j H j
Si R es nula:
Y sustituyendo con los valores del enunciado:
El módulo, entonces, queda:
Y su representación gráfica es:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 x 1 0 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
ω ( r a^ d^ / s^ )
| H^
( j^ ω^
) |
Si e g( t ) es una señal de entrada y v S( t ) es la correspondiente señal de salida ¿de qué tipo
de filtro se trata? Justificar la respuesta.
Se tiene que:
lim ఠ՜ஶ
݆߱ሺܪ| ሻ| ൌ lim ఠ՜ஶ
ඨ1 ൬50 10 ڄି߱^ െ
ଶ
ൌ lim ఠ՜ஶ
ඥ1 ሺ50 10 ڄି߱^ ሻଶ
ൌ lim ఠ՜ஶ
50 10 ڄି߱^
Luego es un filtro paso banda.
e) Calcular la pulsación de resonancia del filtro y su/s pulsación/es de corte. Nota: se
entiende pulsación de resonancia aquella para la cual | H (j ω )| alcanza su valor
máximo.
El módulo respuesta en frecuencia tendrá un máximo cuando el radicando de la
siguientes expresión sea mínimo:
ඨ1 ൬50 10 ڄି߱^ െ
ଶ
Lo cual sucede para una pulsación ߱ tal que:
50 10 ڄି߱^ െ
La solución de esta ecuación es la pulsación de resonancia:
߱ ൌ ඥ10 ଽ^
rad
s
ൎ 31,6 krad/s
Con este valor:
݆߱ሺܪ| (^) ሻ| ൌ ܪ௫ ൌ 1
A las pulsaciones de corte se tiene que cumplir:
√^
Para lo cual tiene que suceder:
߱ െ
Ecuación que tiene cuatro soluciones:
Pero sólo dos de ellas positivas:
Con lo que las pulsaciones de cortes son:
߱ ଵ ൎ 23,
୩୰ୟୢ ୱ
y ߱ ଶ ൎ 43,
୩୰ୟୢ ୱ
c) Dibujar la conexión serie-serie de dos cuadripolos Q incluyendo los elementos
necesarios para que no haya intensidad de circulación. Calcular la familia de
parámetros más conveniente de la asociación.
Si no hay intensidad de circulación y la asociación es serie-serie:
j
j Z (^) asociacion Z Z
Q
Q
ideal
F ( s ) f ( t ) 0 ≤ t
- 1 δ^ ( t )impulso unitario en^ t =^0
s
1 1 o u(t)^ escalón unitario en^ t=
2
s
tu(t) función rampa
- (^) n s
n t n
n es entero positivo
as e s
(^1) − u ( t − a )escalón iniciado en t=a
(^1) as e s
− −
u ( t )− u ( t − a )impulso rectangular
s + a
(^1) e −^ at extinción exponencial
- (^) n ( s a )
n at t e n
− −
−
1
( 1 )!
n es entero positivo
s s + a
(^1) at e a
− −
s s + a s + b
(^1) at bt e b a
a e b a
b
ab
− −
−
s ( s a )( s b )
s
]
[
(^1) at bt e b a
a b e b a
b a
ab
− −
−
α α α
s + a s + b
(^1) at bt e e b a
− − − −
( s a )( s b )
s
(^1) at bt ae be a b
− − − −
( s a )( s b )
s
[( ) ( ) ]
(^1) at bt ae be b a
− − − − − −
α α
s + a s + b s + c ( )( ) ( )( ) ( a c )( b c )
e
c b a b
e
b a c a
e
at bt ct
− − −
( s a )( s b )( s c )
s
a c b c
ce
c b a b
be
b a c a
a e
at bt ct
− − − α α α
ω
ω
s +
sen ω t
s + ω
s cos ω t
s
s ( )
2 2
sen t
1 tan
−
sin cos
s
s sen (^ ω^ t +^ θ)
2 2
s s + ω
( 1 cos )
2 ω t
