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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
2 2
1 1 2 1 2 2
= z + z z + z z + z
2 2
1 1 2 2
= z + 2Re z z + z
2 2
1 1 2 2
≤ z + 2 z z + z
2 2
1 1 2 2
= z + 2 z z + z
2 2
1 1 2 2
= z + 2 z z + z
2
1 2
= z + z.
Entonces ( )
2 2
1 2 1 2
z + z ≤ z + z y por tanto se cumple la desigualdad. □
- ESPACIOS VECTORIALES.
2.1 Espacios vectoriales
Definición 1. Un espacio vectorial es una estructura formada por un conjunto no vacío E, cu-
yos elementos notaremos con u, v, w, o con estos símbolos acompañados de sub-índices; un
cuerpo K; una ley de composición interna (^) + : E × E → E denominada adición y una ley de
composición externa p : K × E → E , denominada producto de un elemento de K por un ele-
mento de E y notada p a ( v )= a vcualesquiera sean a ∈ K ∧ v ∈ E, que satisfacen:
1. ( E ,+ )es un grupo abeliano, esto es:
1.1. u^ +^ ( v^ +^ w^ ) =^ ( u^ +^ v^ )+^ w para cualesquiera u, v, w ∈ E.
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
1.2. Existe un elemento (^0) ∈ E tal que (^0) + v = v + 0 = v para cualquier
v ∈ E.
1.3. Para cada v ∈ E existe un elemento − v ∈ E tal que
v + − ( v ) = ( − v )+ v = 0.
1.4. u + v = v + u para cualesquiera u, v ∈ E.
- La ley externa satisface
2.1. Si u ∈ E ,
v ∈ Ey c ∈ K , entonces c ( u + v )= c u + c v.
2.2. Si a ∈ K b , ∈ K y v ∈ E entonces ( a + b ) v = a v + b v.
2.3. Si a ∈ K b , ∈ K y v∈ E , entonces a b ( v) = (^) ( ab )v.
2.4. 1v = v, para cada v ∈ E.
Bajo estas condiciones se dice que E es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Los elementos
de E se denominan vectores , en tanto que los de K se denominan escalares.
Definición 1. En un espacio vectorial E sobre un cuerpo K, la diferencia de dos vectores
u, v ∈ E, se define por
u − v = u + − ( v).
Ejemplo 1. Sean X un conjunto no vacío y K un cuerpo; notaremos con ℑ ( X K , )al conjun-
to de todas las funciones de X en K. Si definimos la adición f + gen ℑ( X K , )mediante la
fórmula ( f + g )( x ) = f ( x ) + g( x )para cada x ∈ X y el producto por un elemento a de K
por una función f ∈ ℑ( X K , )por a f donde ( a f )( x ) = a f( x )para todo x ∈ X , entonces
ℑ (^) ( X K , )es un espacio vectorial sobre K.
Es conveniente recordar que si f,g ∈ ℑ ( X K , ), f = g ⇔ f ( x ) = g( x )para todo x ∈ X
Para el lector familiarizado con el tratamiento de funciones constituirá un sencillo ejercicio
verificar las propiedades y solo indicaremos que la función neutra en ℑ^ ( X K , )es la función
θ ∈ ℑ ( X K , )definida por θ ( x ) = 0 ∈ K para cada x ∈ X , en tanto que la función simétrica
de f ∈ ℑ( X K , )es la función − f ∈ ℑ( X K , )definida por (^) ( − f (^) )( x (^) ) = − f( x )para cada
x ∈ X.
Ejemplo 2. espacios
n (^) Los K
. Un caso especial del Ejemplo 1.
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
A : 1, 2,..., { m } (^) × (^) {1, 2,..., n } → K.
La imagen de un par ordenado ( i j , )del dominio se nota por A ( , )
ij
i j = a.
La matriz A se representa por
11 12 1
21 22 2
1 2
A
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
,
o de la forma siguiente:
[ ]
11 12 1 21 22 2 1 2
A ; ; ;
n n m m mn
= a a ⋯ a a a ⋯ a ⋯ a a ⋯ a.
Para un k fijo, los elementos ki
a donde i varía desde 1 hasta n, forman la k-ésima fila de la
matriz. Así, la primera fila de A es ( ) 11 12 1 n
a a ⋯ a y se denomina “un vector fila”. Una matriz
m × n tiene^ m^ filas.
Cuando se toma un (^) j fijo, los elementos r j
a constituyen la “j-ésima columna de la matriz”.
Por ejemplo, la segunda columna de A es
12
22
m 2
a
a
a
.
Se denomina vector columna. Una matriz m × n tiene n columnas.
Los elementos ij
a (^) se denominan componentes o entradas de la matriz.
Representaremos mediante ( )
mn
M K al conjunto de todas las matrices sobre el cuerpo K.
De acuerdo con el Ejemplo 1, este conjunto es un espacio vectorial sobre el campo K con la
adición componente a componente y el producto de un escalar por una matriz como aquella
que se obtiene multiplicando el escalar por cada componente de la matriz. Lo llamaremos el
espacio de las matrices m × nsobre el campo K.
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
Una notación abreviada para una matriz (^) m × n es la siguiente A = (^) ( aij ) , donde
i ∈ {1,2,..., m }y j ∈{ 1,2,..., n }y de conformidad con la igualdad de funciones,
A B ij ij
= ⇔ a = b para cada^ i^ ∈{^ 1, 2,..., m }y cada^ j^ ∈{^ 1,2,..., n }.
Con esta notación, si ( )
A ij
= a y ( )
B ij
= b son matrices (^) m × n sobre el cuerpo K , la suma
de las dos matrices es la matriz
A B (^) ( ) ij ij
El producto de un escalar c^ por la matriz A (^) ( ) ij
= a , se define por
A (^) ( ) ij
c = ca.
La matriz cero es ( )
0 ij
= a donde 0
ij
a = para cada i ∈{ 1,2,..., m }y cada j ∈{ 1,2,..., n }.
Dada ( )
A ij
= a , la matriz simétrica o inversa aditiva de A es la matriz ( )
A ij
− = − a.
Ejemplo 4.
2
Vectores en
ℝ. Consideremos el cuerpo ℝ de los números reales, así
{^ ( ) }
2
1 2 1 2
ℝ = x , x x ∈ ℝ ∧ x ∈ℝ. Notaremos los vectores por ( ) ( )
1 2 1 2
x = x , x , u = y , y , etc.
Como caso particular, si u^ =^ ( 2, 4) y v = −( 5,3 (^) ), entonces u + v = −( 3,7 (^) ) y
( −1 u^ ) = −( 2,^ −^4 )= −^ u.
Además 3v = 3 ( −5,3 ) = −( 15,9 ).
Un vector en
2
ℝ digamos ( a b , ) se representa por un segmento dirigido desde ( 0,0 )hasta
el punto de coordenadas ( a b , ) como se muestra en la siguiente figura para el vector
u = (1, 2 ).
Figura 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
En efecto, la suma de dos funciones polinómicas es una función polinómica y el producto de un
escalar por una función polinómica es a su vez una función polinómica.
Ejemplo 6. Si en el Ejemplo 2 tomamos n = 1 , entonces
( ) { } { }
1
K = a a ∈ K = a a ∈ K = K.
Así, todo cuerpo K es un espacio vectorial sobre K.
Puesto que en particular, un espacio vectorial es un grupo abeliano para la adición, el siguiente
Teorema no es más que el Teorema 1 de la Sección 1.2 aplicado a la suma en el espacio.
Teorema 1. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces para u, v, w ∈ E se cum-
plen:
(a) u + v = u + w ⇒ v =w
(b) u + v = 0 ⇔ v = − u .
(c) (^) u + v = u para todo u ∈ E , entonces v = 0_._
Teorema 2. Si E es un espacio vectorial sobre un cuerpo K
(a) Si 0 ∈ K y v∈ E, entonces 0v = 0 ∈ E_._
(b) Si a ∈ Ky 0 ∈ E, entonces a 0 = 0_._
(c) Si (^) a ∈ K, (^) v ∈ E, (^) a ≠ 0 y (^) v ≠ 0 entonces (^) a v ≠ 0_._
(d) ( −1 v ) = − v.
Demostración: (a) Escribamos v + 0 v = 1v + 0 v = ( 1 + 0 v) = v = v + 0 , esto implica que
v + 0 v = v + 0. Así, según el Teorema 1-(a) 0 v = 0.
( b^ )Ahora a 0 = a (^) ( 0 + (^0) )= a 0 + a 0 , pero (^) a 0 = a 0 + 0 ,
así que (^) a 0 + 0 = a 0 + a 0 , lo que
implica a 0 = 0.
( c^ )Demostremos (^) a v = 0 ⇒ a = 0 ∨ v = 0.
Supongamos a v = 0 y a ≠ 0 , entonces (^) ( ) ( )
1 1
a a v a a v 1v v
− −
= = = , pero
1 1
a a v a 0 0
− −
= = y, en consecuencia v = 0.
( d^ )Como v + −( 1 v (^) ) = 1v + −( v (^) ) = (^) ( 1 + −( 1 ) (^) )v= 0 v = 0 , se tiene en virtud del Teorema
1(b) que ( −1 v^ )^ = −^ v. □
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
EJERCICIOS
- Sea E un espacio vectorial sobre un campo K, demuéstrese para (^) a b , ∈ K y (^) v ∈ E:
(a) Si v ≠ 0 y a v = b v, entonces a = b.
(b) − (^) ( u + v (^) ) = (^) ( − u (^) ) + −( v).
(c) u + 0 = 0 ⇔ u = 0.
2. Si u = ( 1,7,5)y v = −( 4,9, − 7 )son vectores en
3
ℝ , determine los vectores siguien-
tes y represéntelos :
(a) (^) w = 5u − 3v.
(b) (^) z = 3v − 5u.
- Encuentre los valores de las incógnitas para que se cumpla la igualdad en cada caso:
(a) (^) ( 1, 2) = x (^) ( 1,1) + y ( −1,1)
(b)
x y u v
x y u v
+^ +
.
- Halle el valor de x según el caso:
(a) 2 x + (1,5,6 ) = ( 6,9,10).
(b)
4 x 2 x
.
- Para cada uno de los conjuntos dados con las operaciones de adición y producto por
escalar de funciones, diga si ese conjunto es un espacio vectorial sobre ℝ o no. Si no
lo es especifique los axiomas que fallan.
(a) El conjunto Q de las funciones polinómicas reales de grado 2.
(b) El conjunto (^) ( ) ( ) { }
C a b , = f f : a b , → ℝ ∧f es continua , donde a < b son nú-
meros reales.
(c) El conjunto (^) ( ) ( ) { }
C ′^ a b , = f f : a b , → ℝ ∧f es diferenciable.
(d) El conjunto ( ) (^) { ( ) }
1
C a b , = f f : a b , → ℝ,f es diferenciable yf ′es continua.
(e) El conjunto de las funciones f : [ − a a , ]→ ℝ , donde a > 0 y f ( − x ) = f( x ).
(f) El conjunto de las funciones f : ℝ →ℝ tales que f (^) ( x + 2 π) = f( x )para todo
x ∈ ℝ.
(g) El conjunto de las funciones reales de la forma f ( x ) = a cos ( x ) + b sen ( x ).
- Si E es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y se toman dos vectores fijos
u ∈ E, v ∈ E, demuéstrese que el conjunto S definido por
{ }
S = w w = a u + b v, para algunos escalares a y b ,
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
El subespacio (^) { 0 } de E se denomina el subespacio trivial.
Ejemplo 2. Si E es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y u ∈ E, el conjunto
{ }
S = a u a ∈ K es un subespacio vectorial de E.
Veamos: (1). Si (^) v ∈ S y w ∈ S entonces (^) v = a u para algún (^) a ∈ K y, de análoga forma,
w = b u para algún^ b ∈ K. Entonces,^ v^ +^ w^ =^ a^ u^ +^ b^ u^ =^ ( a^ +^ b )u y, como^ a + b ∈ K , en-
tonces v + w ∈S.
(2) Si v = a u ∈ S donde a ∈ K y si b ∈ K , entonces b v= b a ( u ) = ( ba )u y, por tanto
b v ∈S ya que ba ∈ K.
(3) Si v ∈ S entonces 0v = 0 ∈ S.
El subespacio S de este ejemplo de denomina el subespacio vectorial generado por el vector u
y se notará por S (^) ({ u }) o, simplemente como S (^) ( u).
De acuerdo a la definición de subespacio es claro que si E es un espacio vectorial sobre un
campo K, E es un subespacio vectorial de E. Llamaremos subespacio vectorial propio de E a un
subespacio de E diferente de E y del subespacio trivial.
Dados vectores 1 2
u ,u ,...,u k
pertenecientes a un espacio vectorial sobre algún campo K, una
expresión de la forma
1 1 2 2
u u ... u k k
c + c + c
donde los elementos 1 2
k
c c c son escalares, se denomina combinación lineal de los vec-
tores 1 2
u ,u ,...,u k
.
Ejemplo 3. Sean E un espacio vectorial sobre un cuerpo K y 1 2
u ,u ,...,u k
vectores en E, enton-
ces el conjunto (^) V de todas las combinaciones lineales de los vectores 1 2
u ,u ,...,u k
es un
subespacio vectorial de E.
Demostración : Sea { 1 1 2 2 }
u u ... u , 1,2,..., k k i
V = x + x + + x x ∈ K i = k. Tomemos dos vecto-
res v y w pertenecientes a V ; entonces existen escalares 1 2
k
x x x y 1 2
, y ,..., y k
y tales
que 1 1 2 2
v u u ... u k k
= x + x + + x y 1 1 2 2
w u u ... u k k
= y + y + + y. Así
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
v w ( u u ... u ) ( u u ... u )
=( ) u ( ) u ... ( ) u
k k k k
k k k
x x x y y y
x y x y x y
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
Puesto que ( ) i i
x + y ∈ K para cada i ∈{ 1,2,..., k }, se tiene que v + w ∈ V.
Si c ∈ K se tiene
1 1 2 2
v u u ... u k k
c = c x + x + + x
1 1 2 2
u u ... u k k
= c x + c x + + c x
1 1 2 2
u u ... u k k
= cx + cx + + cx.
Por tanto, c v ∈ Vpuesto que i
cx ∈ K para cada i ∈{ 1,2,..., k }.
(3) Podemos escribir 1 2
0 0 u 0u ... 0u k
= + + + , así que 0 ∈ V. □
El subespacio V de este ejemplo se denomina “el subespacio generado por los vectores
1 2
u , u ,...,u k
” , se notará por (^) ({ }) 1 2
S u ,u ,..., un y se dice que el conjunto (^) { } 1 2
u , u ,..., u k
genera al subespacio V o que es un conjunto generador de V.
Teorema 1. Si E es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y { }
i i I
S
∈
es una familia de subespa-
cios vectoriales de E, entonces i
i I
S
∈
∩
es un subespacio vectorial de E.
Demostración : Consideremos dos vectores u i
i I
S
∈
∩
y v i
i I
S
∈
∩
; entonces ∀ ∈ i I se tiene
que u S i
∈ y v S i
∈ y, por tanto u v S i
- ∈ para todo i ∈ I. Esto nos dice que u v i
i I
S
∈
∩
.
Además, si u i
i I
S
∈
∩
y a ∈ K entonces u S i
∈ para cada i ∈ I y, en consecuencia u S i
a ∈
para todo i ∈ I , esto es u i
i I
a S
∈
∩
.
Ahora, 0 i
∈ S y por lo tanto 0 i
i I
S
∈
∩
. □
La definición de subespacio generado por un conjunto puede extenderse a conjuntos no fini-
tos como sigue.
Definición 2. Sean E un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo K y X un subconjunto de E, el
subespacio vectorial de E generado por el conjunto X es la intersección de todos los subespa-
cios W de E que contienen al conjunto X. Notaremos con S ( X )a dicho subespacio,
En símbolos: (^) ( ) { }
S X = W W es subespacio de E y X ⊆ E ∩
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
{ }
aA = a w w ∈ A.
Si consideramos que los conjuntos en cuestión son subespacios vectoriales de E, se obtienen
los siguientes resultados.
entonces (^) S + R Teorema 3. Sí S y R son subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, es
un subespacio vectorial de E.
Demostración: Sean u ∈ S + R y v ∈ S + R , entonces por la definición de suma, existen vec-
tores 1
u ∈ S y^ 2
u ∈ R tales que^ 1 2
u = u + u y, de manera análoga, existen^ 1
v ∈ S y^ 2
v ∈ R
tales que 1 2
v = v + v. En consecuencia
1 2 1 2 1 1 2 2
u + v = u + u + (v + v ) = u + v + u + v.
Pero ( ) ( )
1 1 2 2
u + v ∈ S y u + v ∈ R y, por lo tanto u + v ∈ S + R.
Si u ∈ S + R y a ∈ K , entonces 1 2
u = u + u para ciertos vectores 1
u ∈ S y 2
u ∈ R. Por tan-
to (^) ( ) 1 2 1 2
a u = a u + u = a u + a u. Se tiene que 1 2
a u ∈ S y a u ∈ R lo que nos muestra que
a u∈ S + R.
Por otra parte 0 = 0 + 0 ∈ S + R.
Por lo anterior (^) S + R es un subespacio de E, denominado el subespacio suma de los subespa-
cios S y R. □
Los argumentos anteriores pueden generalizarse para probar que si 1 2
k
S S S son subes-
pacios vectoriales de un espacio E, la suma 1 2
k
S + S + + S es un subespacio vectorial de E.
Ejemplo 4. Sean U = S (( 1,1, 0 (^) )) y V=S (^) (( 0,1,1))subespacios de
3
ℝ , entonces la suma de
ellos es (^) ( ) ( ) { }
U + V = x 1,1,0 + y 0,1,1 x ∈ ℝ ∧ y ∈ℝ = (^) ( ) { }
x x , + y y , x ∈ ℝ ∧ y ∈ℝ.
Es conveniente notar que si S es un subespacio vectorial de un espacio E sobre un cierto cam-
po K tal que S ⊆ (^) { 0 } , entonces S = (^) { 0 } ; puesto que si S ≠ (^) { 0 } , existirá un vector (^) v ∈ S tal
que v ≠ 0 y, por lo tanto V ⊄ (^) { 0 }.
Ejemplo 5. Hallemos el subespacio (^) U ∩ V donde U y V están dados en el Ejemplo 4.
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
Sea (^) ( x y z , , (^) )∈ U ∩ V , entonces (^) ( x y z , , (^) )∈ U y (^) ( x y z , , (^) )∈ V. Por la estructura de tales
subespacios, (^) ( x y z , , (^) ) = a (1,1, 0 )para algún escalar a y (^) ( x y z , , (^) ) = b ( 0,1,1)para algún escalar
b. En consecuencia (^) ( x y z , , (^) ) = a (^) ( 1,1, 0 (^) ) = b ( 0,1,1).
Es decir ( x y z ,^ ,^^ ) =^ ( a a ,^ , 0^^ ) =^ ( 0, , b b )
de lo cual obtenemos que (^) x = a = 0 , (^) y = a = b y
z = 0 = b. En consecuencia^ ( x y z , , (^) ) = (^) ( 0, 0, 0), lo que prueba^ U ∩ V ⊆{( 0, 0, 0)}y, por lo
tanto (^) ( ) { }
U ∩ V = 0,0, 0.
El Ejemplo 5 nos ilustra el concepto de independencia entre subespacios vectoriales de un
espacio.
Definición 5. Sea E un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo K, dos subespacios vectoriales
1
S y^ 2
S de E se dicen independientes sí y solamente sí:
(a) (^) { } 1
S ≠ 0 y (^) { } 2
S ≠ 0 ,
(b) (^) { } 1 2
S ∩ S = 0.
Así, los subespacios U y V del Ejemplo 5 son independientes.
El concepto de independencia se puede generalizar a más de dos subespacios vectoriales co-
mo veremos a continuación.
Definición 6. Sean E un espacio vectorial sobre un cuerpo K y 1 2
m
S S S subespacios vecto-
riales de E, diremos que los subespacios C son independientes, sí u solamente sí cada uno de
ellos es diferente al subespacio trivial de E y además la intersección de cada uno de ellos con
el subespacio suma de los restantes es el subespacio trivial.
En símbolos, los subespacios 1 2
m
S S S son independientes sí y solamente sí
(a) (^) { 0 } i
S ≠ para cada i ∈ (^) {1, 2,..., m }.
(b) (^) ( ) { } 1 2 1 1
... ... 0 i i i m
S S S S S S − +
∩ + + + + + + = para cada
i ∈ {1, 2,..., m }
Si los subespacios 1 2
m
S S S no son independientes, se dice que son dependientes.
Ejemplo 6. Sean (^) (( )) ( ( )) ( ( )) 1 2 3
S = S 1,0, 0 , S = S 0,1, 0 y S = S 0, 0,1 los subespacios vecto-
riales de
3
ℝ generados por los vectores indicados, entonces los tres subespacios son indepen-
dientes-
En efecto cada uno de ellos es diferente del subespacio trivial de
3
ℝ. Además
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
Supongamos ahora que, por ejemplo (^) ( ) { } 1 2 3
... 0 m
S ∩ S + S + + S ≠
,
esto significa que existe
( ) 1 1 2 3
u ... m
∈ S ∩ S + S + + S y 1
u ≠ 0. Entonces 1 1 1 2 3
u y u ... m
∈ S ∈ S + S + + S , es decir
1 2 3
u = u u ... u m
∈ S , k = 2,3,..., m y, por lo tanto se tiene
( ) ( ) ( ) 1 2 3
u u u ... u 0 m
m
∈ S + S + + S y 1
u ≠ 0 , tendremos en-
tones dos representaciones del vector cero en 1 2
m
S = S + S + + S , a saber:
( ) ( ) 1 2
u u ... u 0 0 0 ... 0 m
u ≠ 0. □
Ejemplo 7. Considerando los subespacios 1 2 3
S , S , S generados respectivamente por los vec-
tores (^) (1,0, 0 , 0,1, 0 ) ( ) y (^) ( 0, 0,1) del Ejemplo 6, entonces
3
1 2 3
ℝ = S ⊕ S ⊕ S ya que dichos
subespacios son independientes y cualquier vector (^) ( )
3
x y z , , ∈ ℝ puede escribirse
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3
x y z , , = x 1, 0, 0 + y 0,1, 0 + z 0, 0,1∈ S + S + S , es decir 1 2 3
S = S + S + S.
EJERCICIOS
- Pruebe que cada uno de los conjuntos indicados a continuación es un subespacio vec-
torial del espacio indicado en cada caso:
{^ ( ) }
3
3
3
, ,0 ,
, , 2 0
, ,
S x y x y
H x y z x y z
U x y z x y x
= ∈ ∈ ⊂
= ∈ − − =
= ∈ = =
ℝ ℝ ℝ
ℝ
ℝ
- Pruebe que
3
ℝ = S ⊕ U donde S y U (^) son dados en el ejercicio 1.
3. Sean ( ) ( ) ( )
1 2 3
S = ℝ 1,1,1 , S = ℝ 1,0, 0 y S = 0,1,1 , hallar específicamente
(a) (^ )
1 2 3
S ∩ S + S
(b) (^ )
2 1 3
S ∩ S + S
(c) (^ )
3 1 2
S ∩ S + S ,
4. Sean el espacio vectorial E = ℑ( ℝ ℝ, ),
( ) [ ]
1 {^ }
F = f f : ℝ → ℝ ∧ f x = 0, ∀ ∈ x 0,
.
{ (^ )^ [^ ]}
2
F = g g : ℝ → ℝ ∧ g x = 0, ∀ ∈ x 2,
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
(a) Pruebe que 1 2
F y F son subespacios vectoriales de
(b) Pruebe que ( )
1 2
ℑ ℝ ℝ, = F + F , pero que no es cierto que
1 2
ℑ ℝ ℝ, = F ⊕ F.
- Hállese un contraejemplo que muestre que no es cierto que la unión de dos
subespacios vectoriales de un espacio vectorial sea un subespacio vectorial.
- Pruebe que la reunión de dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial es un
subespacio si, y solamente si, uno de ellos está contenido en el otro.
- Pruebe que
3
ℝ = S ⊕ U donde S y U (^) son dados en el ejercicio 1..
8. Sean ( ) ( ) ( )
1 2 3
S = ℝ 1,1,1 , S = ℝ 1,0, 0 y S = 0,1,1 , hallar específicamente
(d) (^ )
1 2 3
S ∩ S + S
(e) (^ )
2 1 3
S ∩ S + S
(f) (^ )
3 1 2
S ∩ S + S ,
9. Sean el espacio vectorial E = ℑ( ℝ ℝ, ),
( ) [ ]
1 {^ }
F = f f : ℝ → ℝ ∧ f x = 0, ∀ ∈ x 0,
,
{ (^ )^ [^ ]}
2
F = g g : ℝ → ℝ ∧ g x = 0, ∀ ∈ x 2,
.
(c) Pruebe que 1 2
F y F son subespacios vectoriales de
(d) Pruebe que ( ) 1 2
ℑ ℝ ℝ, = F + F , pero que no es cierto que
1 2
ℑ ℝ , ℝ = F ⊕ F.
- Si S y T son subespacios vectoriales de E, pruebe que S (^) ( S ∪ T (^) )= S + T .
- Demuestre que S es un subespacio vectorial de E , sí y solamente si aS + bS ⊂ S pa-
ra todo par de escalares a y b.
- Diga cuáles de los siguiente conjuntos son subespacios vectoriales:
(a) (^) ( )
3
S = x y z , , ∈ ℝ y = x + a z , = y + a.
(b)
3 2 2
H = x y z , , ∈ ℝ y = x + z.
(c)
3
T = x y z , , ∈ ℝ y = x + z.
(d) (^) ( )
3
T = x y z , , ∈ ℝ y = x + z + 1 -
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
[ ] (^) {( ) }
{^ ( ) }
( )
2
2
, 1 2 , 2 2 0 t 1
= , 1 2 , 2 2 , 0 1
1 2
=. , 0 3, 0 4
2 2
u v t t
x y x t y t t
x y
x y x y
= + + | ≤ ≤
∈ | = + = + ≤ ≤
−^ −
∈ | = ≤ ≤ ≤ ≤
ℝ
ℝ
{ }
2
= ( , x y ) ∈ ℝ | y = x + 1, 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4.
En la figura Nº 3 se muestra el segmento de recta en cuestión
Figura 3
Definición 2. Si E es u n espacio vectorial sobre un cuerpo ordenado y completo K y C ⊆ E
, decimos que C es convexo si para cualesquiera u ∈ C y v ∈ C, el segmento de recta
[ u, v^ ]⊆^ C.
Ejemplo 2. Sea
(^ ( ) ) {( ) }
2 2 2
D 0, 0 ,1 = x , y ∈ ℝ | x + y ≤ 1
el disco cerrado de centro ( 0,0) y radio igual a 1. Probemos que dicho disco es convexo.
Tomemos dos puntos ( a b ,^^ ) ∈^ D^ ( ( 0, 0 ,1) )^ y^ ( c d ,^^ ) ∈^ D (( 0, 0 ,1) )y probemos que el
segmento de recta
(^) ( a , b (^) ) , (^) ( c , d (^) ) ⊂ D ( ( 0 , 0 (^) ), 1) .
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x a at c a t c a a a c a c a
y b bt d b t d b b b d b d b
Sea ( x y.^^ ) ∈^ ^ ( a b ,^^ ) ,^ ( c d , )
, entonces existe t^ ∈^ [ 0,1]tal que
x y t a b t c d
a t a b t b t c t d
a t a t c b t b t d
Así,
( )
( )
x a ta tc a t c a
y b tb td b t d b
.
Entonces
Por tanto,
2 2 2
2 2 2
x a c a a c a a c a c a
y b d b b d b b d b d b
.
Esto nos muestra que
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x a c a c
y b d b d
y por consiguiente
2 2 2 2
x + y ≤ c + d ≤ 1.
Esto prueba que
( x^ ,^ y^ ) ∈^ D ( ( 0, 0^ ),1)
.
es decir, el segmento de recta entre ( a b ,^^ ) y^ ( c d ,^ )está contenido en el disco.
