Ing. Ezequiel A. Guamán T. 1
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
CÁLCULO EN UNA VARIABLE
LÍMITES
EJERCICIOS RESUELTOS
Ing. Ezequiel A. Guamán T.
Septiembre, 2013
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Tipo: Ejercicios
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Ing. Ezequiel A. Guamán T.
Septiembre, 2013
LÍMITES: Ejercicios resueltos 3 septiembre 2013
1. Demostrar: lim 7 3 2
3
x x
Puesto que 7 3 x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto
que contenga a 3 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe
demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 3 7 3 x 2
Análisis previo:
si 0 x 3 9 3 x
si 0 x 3 3 x 3 3 x x 3
si
0 x 3 x 3
Demostración:
El último enunciado indica que es adecuado tomar
. Con esta elección de se
establece el siguiente argumento:
0 x 3 3 x 3 3 33 x 3 9 3 x 3
7 3 x 2 3 7 3 x 2 yaque
Así, se ha establecido que si
, el siguiente enunciado se cumple:
si 0 x 3 7 3 x 2
Esto demuestra que
lim 7 3 2
3
x x
2. Demostrar: 2 1
lim
2
1
x
x
x
Factorizando el numerador y, luego, simplificando, el límite se transformaría en:
lim 1 2
lim 1
lim 1 1
2
1
x x
x x
x
x
x x x
Como x 1 está definido x , cualquier intervalo abierto que contenga a 1
cumplirá con el primer requisito de la definición épsilon-delta.
Así, se ha establecido que si
, el siguiente enunciado se cumple:
si 0 x 4 2 x 1 9
Esto demuestra que
lim 2 1 9
4
x x
4. Demostrar: lim 5 8 3
1
x x
Puesto que 5 x 8 está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto
que contenga a 1 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se
debe demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 1 5 x 8 3
Análisis previo:
si 0 x 1 5 x 5
^ si^0 ^ x ^1 ^5 x ^1
si
0 x 1 x 1
El último enunciado indica que es adecuado tomar
(^) . Con esta elección de (^) se
establece el siguiente argumento:
0 x 1 5 x 1 5 5 x 5 5 5 x 8 3 5
5 x 8 3 yaque
Así, se ha establecido que si
, el siguiente enunciado se cumple:
si 0 x 1 5 x 8 3
Esto demuestra que
lim 5 8 3
1
x x
5. Demostrar: lim 2 2 2
x x
Por definición:
f x b
x a
lim ssi 0 0 x , 0 x a f x b
lim 2 2 2
x x
ssi 0 0 x , 0 x 2 x 2 2
Análisis previo:
x 2 2
x
x x
x
x x
x
Hipótesis:
x 2
Se toma un entorno de 1 , 3 donde 1 :
x 2 1
1 x 2 1
3 x 2 5
3 x 2 5
3 2 x 2 2 5 2
x
x
Se tiene dos relaciones:
3 2
x
- 0 x 2
1) x 2):
x
x
lim 2
2
(^) r r
r r
r
, 0
lim 2
2
2
2
1
(^) r r
r r
r
indeterminación
lim 2 5 7
lim 1 2
2
r r
rr
r r
r r
r r
(factorizando),
lim 2 5 7
lim 1 2
2
r
r
r r
r r
r r
(simplificando),
lim 2
2
(^) r r
r r
r
(aplicando el límite),
lim 2
2
1
(^) r r
r r
r
lim
2
(^) k
k
k
lim
2 2
4
(^) k
k
k
indeterminación
2
lim 2
lim 2
lim 4 4
2
k
k k k
k
k k
k
k
k k k
(factorizando),
lim 2 4 2
lim 1
2
4
k k k
k
k r
(simplificando),
4 2 4 4 2
lim
2
4
(^) k
k
k
(aplicando el límite),
lim
2
4
(^) k
k
k
h
x h x
h
2 2
0
lim
h
x hx h x
h
x h x
h h
2 2 2
0
(^22)
0
lim lim
(expandiendo
2 ( x h ) ),
h
hx h
h
x h x
h h
2
0
(^22)
0
lim lim
(reduciendo),
x h
h
h x h
h
x h x
h h h
lim 2
lim lim 0 0
(^22)
0
(factorizando y simplificando),
x x h
x h x
h
lim 2 0 2
(^22)
0
(aplicando el límite),
sen
sensen lim
sen lim
sensen lim
sen
sen sensen lim
sensen
sen
sen lim
sensen lim
sensen lim
0 0 0
0 0 0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
x
1 sen 0
cos 0
1 sen
cos lim
1 sen
cos lim
0
0
x
x
x
x
x
x
cos 0
sen lim
limcos
sen
cos lim sen
cos lim cot lim
lim cot
0
0
0 0 0
0
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
x
x
x x x
x
lim 2
3
(^) h
h
h
lim 4
lim
2
(^22)
3
h h
h h h
h
h
h h
(factorizando),
lim 4
lim
2
(^22)
3
h
h h
h
h
h h
(simplificando),
lim
2
2
3
(^) h
h
h
(aplicando el límite),
lim 2
3
2
(^) h
h
h
x
x
x
sen
13. lim
Sea
1
t x x t
t x , x t 0
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
sen lim
sen lim
sen lim
sen lim 0 0 0
t
t
t
t
t
t
x
x
x t t t
cos 0
cos
lim sen
lim sen
tan lim
cos
sen
lim sen
cos
sen
sen
lim sen
tan
sen
lim sen
tan lim
sen
tan lim
0 0 0
0 0 0 0
0
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x x x x
x
lim cos cos 1 tan
sen cos lim
cos
cos sen
cos sen lim
cos
cos sen
sen cos lim
cos
sen 1
sen cos lim 1 tan
sen cos lim
1 tan
sen cos lim
4 4
4 4 4 4
4
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x x x
x
x
x x
lim sen
Sea
t
x x
t
x t x
t
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
sen sen lim
lim
lim sen 0 0
t
t t x t
x x t t
lim 2 3
(^) x x
x
x
lim 3 5 2
lim
3
(^21) 3
x x
x
x x
x
x x
(factorizando el denominador),
lim 3 5 2
lim
3
(^21) 3
(^) x x x
x
x x
(simplificando),
lim 2 3
1
(^) x x
x
x
(aplicando el límite),
lim 2 3
1
x x
x
x
lim
lim 2 3
lim 2 3
lim 2 3
lim
lim
3
4 3
2 3
7
3 3 3
3
3
3
3
4
3
3
3
4 3
3
4 3
3
4 3
x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x
x
x
lim ln sen
2 ^
ln 1 0
lim lnsen ln sen
2
^
x x
(aplicando el límite directamente)
3 5 5
lim (^5)
(^) x
x
x
Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0.
Por lo que, es procedente simplificar la expresión.
3 5 5 5 5 3 2 1
lim 3 5 5
lim (^5 5)
x x x
x x x
x
x
x x
multiplicando el numerador y el denominador por 3 2 x 1 5 x 5 ,
lim 35 25 3 2 1
lim 3 5 5
lim 5 5 5
x x
x x
x x
x x
x
x
x x x
^
^
lim 35 25 3 2 1
lim 3 5 5
lim (^5 55)
x x
x x
x x
x x
x
x
x x x
15 3 2 5 1
lim 3 5 5
lim (^5 5)
x
x
x
x
x x
(aplicando el límite),
lim 5
(^) x
x
x
x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x
cos
sen lim tan lim tan lim
lim tan
0 0
,
sen
cos
sen lim cos
lim tan lim (^0 0)
(^) x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x^
,
sen lim cos
lim
sen lim cos
lim tan lim 0 0 0 0
(^) x
x
x x
x
x
x
x
x x x x
x^
cos 0
lim tan x
x x
x
x
x (^) 48 32
lim (^2)
Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0.
Por lo que, es procedente simplificar la expresión.
x x
x x
x
x
x x 48 32 8 32
lim 48 32
lim (^2 2)
multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador,
lim 48 32
lim 2 2 x
x x
x
x
x x
efectuando el producto conjugado en el denominador,
lim 48 32
lim (^2 2)
x x
x x x
x
x
x x
multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del factor x 2 2 del
numerador,
lim 48 32
lim 2 2
x x
x x
x
x
x x
efectuando el producto conjugado en el numerador,
lim 128 2 2 2
lim 48 32
lim (^2 22)
x
x
x x
x x
x
x
x x x
lim 2
x
x
x
lim 2 2 4
2
lim 2
lim
lim
2 3
2
2 3
1
2
(^32)
3
2
3
3
2
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x x x
x
2 2 2 2 2 4 0 4 4 4 0 2
lim 3
2 2 3
2
3
3
2
(^) x
x
x
sen 4
cos 2
sen 2
128 lim 4
sen 4
tan 2 lim 2 4
tan 2 sen 4 limtan
4 sen 4
2 tan 2 lim
tan 2 sen 4 lim
tan 2 sen 4 lim
tan 2 sen 4 lim
5
0
5 5 (^60)
2 5
0
5
(^50)
5
(^60)
5
0
6
5
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x x x
x
sen 4
cos 2
sen 2 128 lim
tan 2 sen 4 lim
5
(^60)
5
0
x
x
x x
x
x
x x
x x
128 ^1 1 1 ^128 4
sen 4 lim cos 2
lim 2
sen 2 128 lim
tan 2 sen 4 lim
5
0
5
0 0 6
5
0
x
x
x x
x
x
x x
x x x x
cos
sen 0 1
tan lim
cos
sen lim
sen lim cos
sen sen lim cos
sen lim
cos
sen
lim
tan lim
tan lim
2 2
2
0
2 0 2 0 0 2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x
x
sen cos
cos
cos sen
lim sen cos
cos
sen 1
lim sen cos
cos
sen 1
lim sen cos
1 tan lim
sen cos
1 tan lim
4 4 4 4
4
x x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x x x
x
cos
lim cos sen cos
sen cos lim cos sen cos
cos sen lim sen cos
1 tan lim
4 4 4 4
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x x x
cos
sen cos
1 tan lim
4
^ ^ x x^
x
x
2
2
0
lim x
x
x
lim
9 3
lim
lim 2 2
2
(^220)
2 2
(^20)
2
0
x x
x
x x
x x
x
x
x x x
lim
9 3
lim
lim 2 2 0 2 2
2
(^20)
2
0
x x x
x
x
x
x x x
lim 2
2
0
(^) x
x
x
h
h
h
2
0
1 cos lim
lim 1 cos ,
1 cos 1 cos lim
1 cos lim
1 cos lim 0 0 0
2
0
h h
h h h
h
h
h
h h h h
1 cos 0 1 cos 0 0 lim
1 cos lim 0
2
h
h
h
h
h h
x x x x
2
36. lim
x x x x
2 lim
lim lim lim lim , 2 2
2 2
2
2 2 2
x x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x x
,
lim
lim
lim lim lim
2
2 2 2
2
x x
x x
x
x
x
x x
x
x x x
x
x
x x x x x x x x
2
lim
2
x x x x
Analizar la continuidad de las siguientes funciones
2
f x x
x x f x Dom si
si
39. en x 2
2 i f ^ existe
f x
f x x
ii f x x
x x x
x x
2 2 2
2 2
2 2 lim lim lim 4 4 2 4 4 0
( ) lim lim 3 1 32 1 5
no existe;
Por lo tanto, (^) f es discontinua en 2, (^) f es continua en todo número excepto en 2.
f
x x
x x f x Dom
si
si
40. en x 1
i f existe
f x
x
f x
x
ii f x
x
x x
x x
1
1 1
1 1 lim
lim lim
( ) lim lim
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 1.
x-
no existe cuando x 2 , pero el domino aquí es , 1
x
no existe cuando x 0 , pero el domino aquí es 1 ,
f es continua en todo número excepto en 1
Definición de continuidad
Definición de continuidad
(^) f
x x
x f x x Dom
si
si
41. en x 4
( i ) f 4 4 4 0
f x
f x x
x
ii f x
x
x x
x x 4
4 4
(^4 4) lim
lim lim 4 4 4 0
( ) lim lim
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 4.
f es continua en todo número excepto en- 1, 4 .
x x
x x f x si
si
x
x x
x x
f x
Por lo tanto, f es continua en x 3.
( i ) f 3 2
( ) lim lim 3 lim 3 3 3 0
3 3 3
ii f x x x x x x
lim lim 3 lim 3 3 3 0
3 3 3
f x x x x x x
por lo tanto, lim 0
3
f x x
( ) 3 lim ;
3
iii f f x x
Por lo que, f es discontinua en 3. Dicha discontinuidad es eliminable y desaparece si
redefinimos f 3
Definición de continuidad
Definición de continuidad