¡Descarga Subtema 1.1 Larson en pdf y más Resúmenes en PDF de Dinámica solo en Docsity!
764 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
11.1 Vectores en el plano
n (^) Expresar un vector mediante sus componentes. n (^) Realizar operaciones vectoriales e interpretar los resultados geométricamente. n (^) Expresar un vector como combinación lineal de vectores unitarios estándar o canónicos. n (^) Usar vectores para resolver problemas de fuerza o velocidad.
Las componentes de un vector
Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un solo número real en unidades de medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares , y al número real se le llama escalar. Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido , como se muestra en la figura 11.1. El segmento de recta dirigido tiene como punto inicial P y como punto final Q y su longitud (o magnitud ) se denota por Segmentos de recta dirigi- dos que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes , como se muestra en la figura 11.2. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a un segmento de recta dirigido dado es un vector en el plano y se denota por En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como u , v y w. Cuando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flecha sobre ellas, como , y. Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y todos de la misma longitud.
EJEMPLO 1 Representación de vectores por medio
de segmentos de recta dirigidos
Sea v el vector representado por el segmento dirigido que va de (0, 0) a (3, 2), y sea u el vector representado por el segmento dirigido que va de (1, 2) a (4, 4). Mostrar que v y u son equivalentes.
Solución Sean P (0, 0) y Q (3, 2) los puntos inicial y final de v , y sean R (l, 2) y S (4, 4) los puntos inicial y final de u , como se muestra en la figura 11.3. Para mostrar que y tienen la misma longitud se usa la fórmula de la distancia. Longitud de (^). Longitud de. Los dos segmentos tienen la misma dirección , porque ambos están dirigidos hacia la derecha y hacia arriba sobre rectas que tienen la misma pendiente.
Pendiente de
y
Pendiente de
Como y tienen la misma longitud y la misma dirección, se concluye que los dos vectores son equivalentes. Es decir, v y u son equivalentes.
RS
** PQ
**
RS
** 5
PQ
** 5
RS
** i RS
**
i 5 !s 4 2 1 d^2 1 s 4 2 2 d^2 5! 13
PQ ** i PQ
**
i 5 !s 3 2 0 d^2 1 s 2 2 0 d^2 5! 13
RS
** PQ
**
→ u → v → w
v 5 PQ
** PQ.
**
i PQ
** i.
PQ
** Un segmento de recta dirigido Figura 11.
Segmentos de recta dirigidos equivalentes Figura 11.
1
1
2
2
3
3
4
4
x
(4, 4)
(1, 2) (3, 2)
P (0, 0)
R
Q
S
u
v
y
Los vectores u y v son iguales Figura 11.
P Q
Punto final P
Punto inicial
Q
SECCIÓN 11.1 Vectores en el plano 765
El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se considera el representante más adecuado de un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes como los que se muestran en la figura 11.3. Se dice que esta representación de v está en la posición canónica o estándar. Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el ori- gen puede representarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto final como se muestra en la figura 11.4.
Esta definición implica que dos vectores y son iguales si y sólo si y Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa.
1. Si y son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por (^) , dado mediante sus componentes, es Además, de la fórmula de la distancia es posible ver que la longi- tud (o magnitud ) de v es 2. Si v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición canónica o estándar, que va de a
A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si v es un vector uni- tario. Y si y sólo si v es el vector cero 0.
EJEMPLO 2 Hallar las componentes y la longitud de un vector
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3, 2 7) y el punto final ( 2 2, 5).
Solución Sean y Entonces las componentes de son
Así, como se muestra en la figura 11.5, y la longitud de v es
i v i 5 !s 25 d^2 1
v 5 k 2 5, 12l,
v 2 5 q 2 2 p 2 5 5 2 s 27 d 5 12.
v 1 5 q 1 2 p 1 5 2 2 2 3 5 2 5
v 5 k v 1 , v 2 l
P s3, 27 d 5 s p 1 , p 2 d Q s 2 2, 5d 5 s q 1 , q 2 d.
i v i 5 0
i v i 5 1,
P s0, 0d Q s v 1 , v 2 d.
v 5 k v 1 , v 2 l,
k q 1 2 p 1 , q 2 2 p 2 l.
PQ k v 1 , v 2 l 5
P s p 1 , p 2 d Q s q 1 , q 2 d \
u 1 5 v 1 u 2 5 v 2.
u 5 k u 1 , u 2 l v 5 k v 1 , v 2 l
Q s v 1 , v 2 d,
x 1 2 3 4
4
3
2
1
( v 1 , v 2 )
(0, 0)
Q
P
v v = 〈 v 1 , v 2 〉
y
Posición estándar de un vector Figura 11.
x − 6 − 4 − 2 2 4 6
6 4
− 2 − 4 − 6 − 8
Q (−2, 5)
P (3, −7)
v
y
Vector v dado por medio de sus compo- nentes: Figura 11.
v 5 k 2 5, 12l
Longitud de un vector. 5! v 12 1 v 22.
i v i 5 !s q 1 2 p 1 d^2 1 s q 2 2 p 2 d^2
DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES
Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera
Las coordenadas y son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces v es el vector cero (o vector nulo ) y se denota por 0 5 k0, 0l.
v 1 v 2
v 5 k v 1 , v 2 l.
s v 1 , v 2 d,
776 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Muchas de las fórmulas establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional pueden extenderse a tres dimensiones. Por ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se muestra en la figu- ra 11.17. Haciendo esto, se obtiene la fórmula de la distancia entre los puntos y
EJEMPLO 1 Distancia entre dos puntos en el espacio
La distancia entre los puntos y es
Fórmula de la distancia.
Una esfera con centro en y radio r está definida como el conjunto de todos los puntos tales que la distancia entre y es Se puede usar la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación canónica o estándar de una esfera de radio r , con centro en Si es un punto arbitrario en la esfera, la ecuación de la esfera es
como se muestra en la figura 11.18. El punto medio del segmento de recta que une a los puntos y tiene coordenadas
EJEMPLO 2 Ecuación de una esfera
Hallar la ecuación canónica o estándar de la esfera que tiene los puntos (5, –2, 3) y (0, 4, –3) como extremos de un diámetro.
Solución Según la regla del punto medio, el centro de la esfera es
Regla del punto medio.
Según la fórmula de la distancia, el radio es
Por consiguiente, la ecuación canónica o estándar de la esfera es
1 x^^2 Ecuación de la esfera.
2
1 s y 2 1 d^2 1 z^2
r 5! 10 2
2
1 s 4 2 1 d^2 1 s 23 2 0 d^2 5!
s x 1 , y 1 , z 1 d s x 2 , y 2 , z 2 d
s x 0 , y 0 , z 0 d. s x , y , z d
s x , y , z d s x , y , z d s x 0 , y 0 , z 0 d r.
s x 0 , y 0 , z 0 d
d 5 !s 1 2 2 d^2 1 s 0 1 1 d^2 1 s 22 2 3 d^2
s2, 2 1, 3d s1, 0, 22 d
s x 2 , y 2 , z 2 d.
s x 1 , y 1 , z 1 d
x^ y
Q
P
d
( x 1 , y 1 , z 1 ) (^) ( x 2 ,^ y 2 ,^ z 1 )
( x 2 , y 2 , z 2 )
z 2 −^ z 1
( x 2 − x 1 )^2 + ( y 2 − y 1 )^2
z
Distancia entre dos puntos en el espacio Figura 11.
( x 0 , y 0 , z 0 )
x
y
( x , y , z ) r
z
Figura 11.
d 5 !s x 2 2 x 1 d^2 1 s y 2 2 y 1 d^2 1 s z 2 2 z 1 d^2 Fórmula de la distancia.
s x 2 x 0 d^2 1 s y 2 y 0 d^2 1 s z 2 z 0 d^2 5 r^2 Ecuación de la esfera.
1 Regla del punto medio.
x 1 1 x 2 2
y 1 1 y 2 2
z 1 1 z 2
SECCIÓN 11.2 Coordenadas y vectores en el espacio 777
Vectores en el espacio
En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas El vec- tor cero se denota por Usando los vectores unitarios y en la dirección del eje positivo z , la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es
como se muestra en la figura 11.19. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de a como se muestra en la figura 11.20, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue
Las propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar dadas en el teorema 11.1 son también válidas para vectores en el espacio. n
EJEMPLO 3 Hallar las componentes de un vector en el espacio
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial y punto final Después, hallar un vector unitario en la dirección de v.
Solución El vector v dado mediante sus componentes es
lo cual implica que su longitud es
El vector unitario en la dirección de v es
i v i 5! 22 1 s 27 d^2 1 32 5 !62.
5 k2, 2 7, 3l
v 5 k q 1 2 p 1 , q 2 2 p 2 , q 3 2 p 3 l 5 k 0 2 s 22 d, 24 2 3, 4 2 1 l
s0, 2 4, 4d.
s 2 2, 3, 1d
NOTA
v 5 k v 1 , v 2 , v 3 l 5 k q 1 2 p 1 , q 2 2 p 2 , q 3 2 p 3 l
P s p 1 , p 2 , p 3 d Q s q 1 , q 2 , q 3 d,
v 5 v 1 i 1 v 2 j 1 v 3 k
j 5 k0, 1, 0l, k 5 k0, 0, 1l
0 5 k0, 0, 0l. i 5 k1, 0, 0l,
v 5 k v 1 , v 2 , v 3 l.
x
y
〈0, 1, 0〉
〈1, 0, 0〉
〈0, 0, 1〉
〈 v 1 , v 2 , v 3 〉
i
j
k
v
z
Los vectores unitarios canónicos o estándar en el espacio Figura 11.
x
y
Q ( q 1 , q 2 , q 3 ) P ( p 1 , p 2 , p 3 ) (^) v
v = 〈 q 1 − p 1 , q 2 − p 2 , q 3 − p 3 〉
z
Figura 11.
VECTORES EN EL ESPACIO
Sean y vectores en el espacio y sea c un escalar.
1. Igualdad de vectores: si y sólo si y 2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta dirigido de a entonces 3. Longitud: 4. Vector unitario en la dirección de v : 5. Suma de vectores: 6. Multiplicación por un escalar: c v 5 k cv 1 , cv 2 , cv 3 l
v 1 u 5 k v 1 1 u 1 , v 2 1 u 2 , v 3 1 u 3 l
v Þ 0 v i v i
(^5 )
i v i 2
k v 1 , v 2 , v 3 l,
i v i 5! v 12 1 v 22 1 v 32
v 5 k v 1 , v 2 , v 3 l 5 k q 1 2 p 1 , q 2 2 p 2 , q 3 2 p 3 l.
P s p 1 , p 2 , p 3 d Q s q 1 , q 2 , q 3 d,
u 5 v u 1 5 v 1 , u 2 5 v 2 , u 3 5 v 3.
u 5 k u 1 , u 2 , u 3 l v 5 k v 1 , v 2 , v 3 l
u v v
SECCIÓN 11.2 Coordenadas y vectores en el espacio 779
EJEMPLO 6 Notación empleando los vectores unitarios
canónicos
a ) Expresar el vector por medio de sus componentes.
b ) Hallar el punto final del vector dado que el punto inicial es
Solución
a ) Como falta j , su componente es 0 y
b ) Se necesita encontrar tal que Esto implica que y La solución de estas tres ecuaciones es y Por tanto, Q es (5, 2, 8).
Aplicación
EJEMPLO 7 Magnitud de una fuerza
Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la figura 11.23. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.
Solución Sean los vectores y las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura 11.23, se puede determinar que las direcciones de y son las siguientes.
Como cada pata tiene la misma longitud, y la fuerza total se distribuye igualmente entre las tres patas, se sabe que Por tanto, existe una constante c tal que
y
Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por Entonces, usando el hecho que
se puede concluir que y tienen todas una componente vertical de Esto implica que y Por tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas pueden representarse por
F 3 5 k 25 !3, 5, (^240) l.
F 2 5 k 5 !3, 5, 240 l
F 1 5 k0, 2 10, 240 l
c s 24 d 5 2 40 c 5 10.
F 1 , F 2 , F 3 2 40.
F 5 F 1 1 F 2 1 F 3
F 0, 0, 120.
F 3 5 c 72
F 2 5 c 7 , 248.
F 1 5 c k0, 2 1, 24 l, , 248 ,
i F 1 i 5 i F 2 i 5 i F 3 i.
PQ
** 3 5 72
2 0, 0 2 48 5 72
, (^248)
PQ
** 2 5 7
2 0, 0 (^2 48 5 )
, (^248)
PQ
** 1 5 k^0 2 0,^21 2 0, 0^2 4 l^5 k0,^2 1,^24 l
F 1 , F 2 , F 3
F 1 , F 2 , F 3
q 1 5 5, q 2 5 2, q 3 5 8.
q 1 2 s 22 d 5 7, q 2 2 3 5 21, q 3 2 5 5 3.
v 5 PQ
**
Q s q 1 , q 2 , q 3 d 5 7 i 2 j 1 3 k.
v 5 4 i 2 5 k 5 k4, 0, 25 l.
P s 2 2, 3, 5d.
v 5 7 i 2 j 1 3 k ,
v 5 4 i 2 5 k
x
y
P (0, 0, 4)
Q 1 (0, −1, 0)
Q 3 3 2 2
( − ,^1 , 0)
Q 2 3 2 2
( ,^1 , 0)
z
Figura 11.
