Sucesiones, Apuntes de Matemáticas

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Capítulo 1

Capítulo 2

Sucesiones de números reales

En este capítulo se estudian las sucesiones de números reales. Definimos el concepto de límite de una sucesión y consideramos las sucesiones convergentes y divergentes. Se introduce la denominada condición de Cauchy y su relación con la convergencia. Definimos también las sucesiones monótonas y acotadas, el concepto de subsucesión. Enunciamos y probamos el Teorema de Bolzano- Weierstrass que relaciona varios de los conceptos anteriores, y terminamos con el estudio de distintos métodos para el cálculo de límites.

2.1. Sucesión y límite

Una sucesión de números reales es una aplicación de N en R, es decir, a cada número natural n le asignamos un número real que designamos an. La sucesión la escribimos {an}n∈N , o simplemente {an}

La expresión an se denomina término general de la sucesión.

2.1.1. Límite. Unicidad del límite

Una sucesión {an} decimos que tiene límite l (converge a l) si dado  > 0 existe un n 0 ∈ N tal que |an − l| ≤  para todo n ≥ n 0. En este caso escribimos

l´ım n→∞ an = l , o bien an → l.

Por ejemplo, la sucesión 1 /n tiene límite 0 , ya que, cualquiera que sea  > 0 , tomando n 0 > 1 / resulta que 1 /n <  para todo n ≥ n 0. Si una sucesión tiene límite, este es único. En efecto, si tuviera dos (distintos), sean l 1 y l 2 , basta tomar un  = (l 1 −l 2 )/ 2 > 0 y entonces deben existir dos índices

y, por lo tanto las cantidades son pequeñas cuando n es grande. En consecuencia, además de la suma (como hemos visto antes), también la diferencia del límite es igual al límite de las diferencias. En cuanto al cociente, vamos a probar que si la sucesión {bn} → b y todos los términos de la sucesión y el límite son distintos de cero, entonces la sucesión 1 /bn tiene por límite 1 /b. Así, también ocurrirá que la sucesión cociente de dos {an/bn} tendrá por límite el cociente de los límites a/b. En efecto, la sucesión {bn} tiene límite b 6 = 0, luego dado  > 0 (tomamos un  = |b|/ 2 ) resulta que todos los términos de la sucesión, a partir de uno en adelante distan de b menos que , es decir, se cumple que existe un n 0 tal que si n ≥ n 0 tenemos

|bn − b| ≤

|b| 2 Por ello resulta que si n ≥ n 0 ,

|bn| ≥ |b| − |bn − b| > |b| −

|b| 2

|b| 2

Entonces tenemos que para los n ≥ n 0 se cumple también ∣ ∣ ∣ ∣

bn

b

∣ =^

|bn − b| |b||bn|

|bn − b| |b|^2

Y puesto que {bn} → b, resulta que |bn − b| es pequeño cuando n es grande, luego también es pequeña la diferencia ∣ ∣ ∣ ∣

bn

b

y, en consecuencia, la sucesión { 1 /bn} tiene límite 1 /b.

2.1.4. Sucesiones de Cauchy

Decimos que una sucesión {an} es una sucesión de Cauchy si dado  > 0 existe un n 0 tal que si p, q ≥ n 0 se cumple que

|ap − aq| ≤ 

Es decir, las cantidades |ap − aq| se hacen pequeñas si p y q son grandes. Si una sucesión es convergente entonces es de Cauchy. Supongamos{an} → a. Podemos escribir |ap − aq| ≤ |ap − a| + |aq − a|

y como los dos sumandos de la derecha son pequeños cuando los índices son grandes, lo mismo ocurre con el de la izquierda.

En R el recíproco también es cierto, es decir, si una sucesión es de Cauchy, entonces es convergente. Esta cuestión es precisamente el corazón de la construc- ción de los números reales. Nosotros lo dejamos así, y tendremos en cuenta que en R sucesión convergente (con límite) y sucesión de Cauchy son equivalentes (R es completo).

2.1.5. Sucesiones y desigualdades

Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes con límites a y b, y supongamos que a partir de un cierto índice n 0 se cumple que an ≤ bn, entonces a ≤ b. Es decir, al pasar al límite se conservan las desigualdades. (Observemos que no es necesario que para todos los n se cumpla an ≤ bn; sólo se exige a partir de un cierto índice). En efecto, si a > b podríamos tomar un  = (a − b)/ 3 > 0 y resultará que para índices grandes deberá ocurrir a la vez

an ∈ (a − , a + ) y bn ∈ (b − , b + )

y, dada la elección que hemos hecho de  resulta que b +  < a −  con lo que, para esos índices grandes tendríamos que bn < an que contradice la hipótesis, an ≤ bn. En consecuencia, se verifica que a ≤ b. Nota: Como veremos en muchos ejemplos, aunque la desigualdad an < bn sea estricta, al pasar al límite puede darse la igualdad. La sucesión 1 /n → 0 y todos los términos verifican 1 /n > 0. Si tenemos tres sucesiones {an}, {bn} y {cn} y se verifica que a partir de un cierto índice n 0 se cumple que

an ≤ bn ≤ cn

y {an} y {cn} tienen el mismo límite l, entonces también la sucesión {bn} tiene límite l. En efecto, dado un  > 0 todos los términos de la sucesión {an} están en el intervalo (l − , l + ), a partir de uno en adelante. Evidentemente lo mismo ocurre con los términos de la sucesión {cn}, y, en consecuencia al estar cada bn entre los correspondientes an y cn, lo mismo ocurre con todos los bn, es decir, {bn} → l. Ejemplo. Calcular el siguiente límite:

l´ım n→∞

n 2 n^2 + 1

n 2 n^2 + 2

n 2 n^2 + n

Resulta evidente que, para todo n

n^2 2 n^2 + n

n 2 n^2 + 1

n 2 n^2 + 2

n 2 n^2 + n

n^2 2 n^2 + 1

{an/bn} → +∞. Si este límite es 0 diremos que {an} es de orden inferior a {bn}. Diremos que son del mismo orden si existen dos constantes positivas m y M de tal suerte que para todo índice n, a partir de uno en adelante, se cumple que m < an/bn < M. Finalmente, diremos que son infinitos equivalentes si an/bn → 1. Por ejemplo, el infinito exponencial {an}, con a > 1 es de orden superior al infinito potencial {nk}, con k > 0. Para ello hay que comprobar que

l´ım n→∞

nk an^

En un ejercicio anterior vimos que así ocurre en el caso a = 2, k = 5. Un argumento similar sirve para este caso, basta escribir a = 1 + h, con h > 0 , desarrollar el binomio de Newton del denominador, y si m > k, escribir para n suficientemente grande (n > m)

nk an^

nm an^

nm (1 + h)n^

nm ( (^) n m+

hm+

=

(m + 1)! hm+

nm n(n − 1) · · · (n − m)

=

(m + 1)! hm+

n(1 − (^) n^1 ) · · · (1 − mn )

y esta última expresión tiende a 0 cuando n tiende a infinito, luego también la primera. Se llama infinitésimo a una sucesión que tiene límite 0. Si {an} y {bn} son dos infinitésimos, se dice que {an} es de orden superior a {bn} si {an/bn} → 0. Si este límite es ∞ se dice que {an} es de orden inferior a {bn}. Se dicen que son del mismo orden si existen dos constantes positivas m y M de tal suerte que para todo índice n a partir de uno en adelante se cumple que m < an/bn < M. Finalmente, se dice que son infinitésimos equivalentes si an/bn → 1. Notación. Si {an} es un infinitésimo de orden superior a {bn}, se dice que {an} es una o pequeña de {bn}, y se escribe an = o(bn). Si para todo n se tiene que an ≤ Kbn, se dice que {an} es una O grande de {bn}, y se escribe an = O(bn).

2.1.7. Criterio de Stolz

Para resolver indeterminaciones del tipo 0 / 0 o ∞/∞ se utiliza el siguiente resultado conocido como Criterio de Stolz.

Teorema 1 Sean {an} y {bn} dos sucesiones de números positivos tales que

l´ım n→∞

an+1 − an bn+1 − bn

= l

y supongamos que {bn} es estrictamente decreciente y {an} y {bn} tienen límite 0 , o {bn} es estrictamente creciente y {bn} → +∞. Entonces, en los dos supuestos, se verifica que

l´ım n→∞

an bn

= l.

Ejemplo El siguiente límite se puede calcular usando el criterio de Stolz.

l´ım n→∞

13 + 2^3 + · · · + n^3 n^4

Es claramente una indeterminación del tipo ∞/∞ y la sucesión del denominador es estrictamente creciente y su límite es +∞, luego podemos aplicar el criterio de Stolz y el límite propuesto es igual a

l´ım n→∞

(n + 1)^3 (n + 1)^4 − n^4

= l´ım n→∞

n^3 + 3n^2 + 3n + 1 n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 − n^4

Atención En algunas ocasiones podemos estar tentados de hacer un mal uso del criterio de Stolz. Por ejemplo, si queremos calcular el siguiente límite

l´ım n→∞

1 + 4 + 4−^2 + · · · + 4−n 1 + 3 + 3−^2 + · · · + 3−n

y ponemos en marcha el criterio, resultará que el límite es igual a

l´ım n→∞

4 −n 3 −n^

= l´ım n→∞

3 n 4 n^

= l´ım n→∞

)n = 0

Pero, si hacemos las cosas bien tenemos que tanto el numerador como el denomi- nador son la suma de de los n primeros términos de sendas progresiones geomé- tricas de razón, respectivamente, 1 / 4 y 1 / 3. Dichas sumas son, para el numerador:

4 n^

1 4 n

1 4 −^1 1 4 −^1

y su límite, cuando n → ∞, teniendo en cuenta que 1 / 4 n+1^ → 0 , es igual a 1 /(1− (1/4)) = 4/ 3. En cuanto al denominador, el límite es igual a 1 /(1−(1/3)) = 3/ 2. En consecuencia el límite propuesto vale 8 / 9.

l´ım n→∞

1 + 4 + 4−^2 + · · · + 4−n 1 + 3 + 3−^2 + · · · + 3−n^

y aplicar lo anterior. En particular, tomando an = n resulta que, dado que l´ım (^) nn− 1 = 1, también es

l´ım n→∞

√ nn = 1

2.1.8. Algunas otras reglas para el cálculo de límites

Además de las indicadas anteriormente en relación con las operaciones básicas con sucesiones, resulta que, cuando las operaciones indicadas tengan sentido, si {an} es una sucesión con límite a, tambien se cumple:

l´ım n→∞ |an| = |a| (cuidado con el recíproco)

l´ım n→∞ aαn = aα^ , si a 6 = 0

l´ım n→∞ log an = log a , si a > 0

En general, si f es una función continua en a, entonces

l´ım n→∞ f (an) = f (a)

2.1.9. Algunas sucesiones básicas

Las siguientes son algunas de las sucesiones que más veces aparecen o que usaremos para calcular el límite de otras sucesiones. En algunos casos su conver- gencia ya se ha probado, en otros lo veremos como ejercicio y en otros se verá en otros capítulos más adelante.

l´ım n→∞

nα^

= 0 , siempre que α > 0

l´ım n→∞ an^ = 0 , si 0 < a < 1

l´ım n→∞ an^ = +∞ , si a > 1

l´ım n→∞

n

)n = e

l´ım n→∞

∑^ n

k=

k!

= l´ım n→∞

n!

= e = 2, 7182...

l´ım n→∞

[( (^) n ∑

k=

k

− log n

]

= l´ım n→∞

[(

n

− log n

]

= γ = 0, 5772...

Notas: El número e es la base de la función exponencial o de los llamados loga- rítmos neperianos. La constante γ se conoce como constante de Euler.

Otras sucesiones que van a aparecer a lo largo del curso y cuyos límites calcu- laremos usando distintas herramientas son:

l´ım n→∞

∑^ n

k=

(−1)k+ k

= l´ım n→∞

(−1)n+ n

= log 2

l´ım n→∞

∑^ n

k=

(−1)k 2 k + 1

= l´ım n→∞

(−1)n 2 n + 1

π 4

l´ım n→∞

∑^ n

k=

k^2

= l´ım n→∞

n^2

π^2 6

También son muy interesantes y aparecen con frecuencia las sucesiones de- finidas por recurrencia. Por ejemplo, si consideramos la sucesión {an} definida por:

an =

2 , si n = 1 1 2

an− 1 +

an− 1

, para todo n ≥ 2

√^ Es decir,^ a^1 = 2,^ a^2 = 3/^2 ,^ a^3 = 17/^12 , ... Como veremos, su límite resulta ser

2.1.10. Cálculo de algunos tipos (típicos) de límites de algunas

sucesiones básicas

Expresiones racionales. Sucesiones que son cocientes de polinomios, es de- cir, sucesiones del tipo

apnp^ + ap− 1 np−^1 + · · · + a 1 n + a 0 bqnq^ + bq− 1 nq−^1 + · · · + b 1 n + b 0

siendo p, q ∈ N y ap, bq 6 = 0. Estos límites son del tipo ∞/∞ y el resultado depende del grado de los polinomios del numerador y del denominador. Si p < q el límite es 0. Si p = q, entonces el límite es igual a ap/bq y, finalmente, si p > q, entonces el límite es ∞. La forma mejor para comprobar este resultado consiste en dividir numerador y denominador por la potencia de mayor grado. El resultado aparece entonces; por ejemplo, para calcular

l´ım n→∞

3 n^2 + 7 2 n^2 + 5n + 8

= l´ım n→∞

3 + (^) n^72 2 + (^) n^5 + (^) n^82

y el numerador tiene límite 3 y el denominador 2 , luego el límite propuesta es 3 / 2.

y llamando A = 3

n^2 + 1 y B = 3

n^2 − 1 resulta que multiplicando y dividiendo el término general de la sucesión por A^2 + AB + B^2 , es decir, por

(

n^2 + 1)^2 + (

n^2 + 1)(

n^2 − 1) + (

n^2 − 1)^2

tenemos que el límite propuesto se escribe:

l´ım n→∞

√ (^3) n (^2) + 1 − √ (^3) n (^2) − 1

= l´ım n→∞

(A − B)(A^2 + AB + B^2 )

A^2 + AB + B^2

= l´ım n→∞

A^3 − B^3

A^2 + AB + B^2

= l´ım n→∞

(n^2 + 1) − (n^2 − 1) ( 3

n^2 + 1)^2 + ( 3

n^2 + 1)( 3

n^2 − 1) + ( 3

n^2 − 1)^2

= l´ım n→∞

n^2 + 1)^2 + ( 3

n^2 + 1)( 3

n^2 − 1) + ( 3

n^2 − 1)^2

ya que el numerador tiene límite 2 y el denominador tiene a ∞ (es de grado 4 / 3 en n), luego el cociente tiende a 0. Límites de la forma 1 ∞. Se basan en variantes de una sucesión básica, que ya hemos mencionado, que define el número e. Ya hemos dicho que

l´ım n→∞

n

)n = e = 2, 718281...

Pues bien. también tiene límite e la sucesión ( 1 +

an

)an

siendo {an} una sucesión con límite ∞. De forma equivalente, podemos escribir que, cuando {rn} → 0 , se tiene

l´ım n→∞ (1 + rn) rn^1 (^) = e

En general, si tenemos una indeterminación del tipo ab nn , siendo {an} una sucesión con límite 1 y {bn} → ∞, la indeterminación se puede resolver de la siguiente manera. Poniendo an = 1 + rn, tendremos que {rn} → 0 y podemos escribir:

ab nn = (1 + rn)bn^ =

[

(1 + rn)

1 rn

]rnbn

Entonces el corchete tiene límite e y, en consecuencia el límite buscado es eA, siendo A = l´ım rnbn, es decir, A = l´ım(an − 1)bn.

Veamos un ejemplo. Calcular el siguiente límite:

l´ım n→∞

n − 2 n + 1

) 3 nn+1^2

El límite es de la forma 1 ∞^ con lo que podemos aplicar lo anterior. La sucesión {(an − 1)bn} es, en este caso:

( n − 2 n + 1

n^2 3 n + 1

− 3 n^2 (n + 1)(3n + 1)

y su límite es − 1 , luego el límite propuesto es e−^1. Límites de la forma ∞^0 y 00. Estos límites se pueden resolver reduciéndolos a casos anteriores tomando logarítmos (siempre que estos tengan sentido). Vamos a verlo con algunos ejemplos. Para calcular el límite de la sucesión:

an =

n^2 + 1 n + 1

) n n^2 +

Observamos que es del tipo ∞^0. Entonces tomamos logarítmos y resulta:

log an = log

n^2 + 1 n + 1

) n n^2 + =

n n^2 + 3

log

n^2 + 1 n + 1

ya que el logarítmo crece en infinito menos que cualquier potencia. Por lo tanto el límite propuesto es e^0 = 1.

2.1.11. Algunas expresiones equivalentes

Dos sucesiones {an} y {bn} se dicen equivalentes cuando el límite de su co- ciente es 1. En este caso escribimos an ∼ bn. Para el cálculo efectivo de ciertos límites se puede sustituir una expresión por otra equivalente que facilite la resolu- ción del problema. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de un producto del tipo An · Bn y son equivalentes An ∼ an tenemos

An · Bn = an · Bn

An an

y, puesto que la sucesión entre paréntesis tiene límite 1 , entonces las sucesión propuesta tiene el mismo límite que la an · Bn y quizás esta última es más sencilla de tratar que la original.

Vamos a calcular ahora el siguiente límite:

l´ım n→∞ an = l´ım n→∞

[(

n 1

n 2

n n

)] (^) n^12

Tomando logarítmos resulta

log an =

log

(n 1

• log

(n 2

• · · · + log

(n n

n^2

Ahora podemos aplicar el criterio de Stolz y este límite es igual al límite de la sucesión siguiente:

bn =

[

log

(n 1

• · · · + log

(n n

)]

log

(n− 1 1

(n− 1 n− 1

n^2 − (n − 1)^2

Ahora bien teniendo en cuenta que:

log

n k

− log

n − 1 k

= log

[ (n k

(n− 1 k

]

= log

n n − k

resulta que el numerador se escribe:

∑^ n

k=

log

n n − k

= log

nn n!

Ahora podemos utilizar la equivalencia de Stirling y tenemos:

log

nn n!

∼ log

nn nne−n

2 πn

∼ n

En consecuencia, la sucesión bn es equivalente a

bn ∼

n n^2 − (n − 1)^2

n 2 n − 1

y por lo tanto este es el límite de la sucesión log an. Finalmente, el límite propuesto es:

l´ım n→∞ an = l´ım n→∞

[(

n 1

n 2

n n

)] 1

n^2 = e

(^12)

e

2.1.13. Subsucesiones y otros resultados. Bolzano-Weierstrass

Dada una sucesión {xn} sea {nk} una sucesión de números naturales estric- tamente creciente, entonces la sucesión {xnk } es una subsucesión de la sucesión dada. Por ejemplo, para una sucesión {xn}, podemos considerar la subsucesión de los términos que ocupan un lugar par {x 2 n}. Si una sucesión es convergente, entonces cualquier subsucesión suya es tam- bién convergente y, claro, todas tienen el mismo límite. Ahora bien, una sucesión puede ser no convergente y, sin embargo, tener subsucesiones convergentes: por ejemplo, la sucesión {(−1)n}. Tanto la subsucesión de los términos impares, co- mo la de los pares son convergentes y, en este caso, con límites distintos. Sabemos que si una sucesión es convergente, entonces es acotada y que el recíproco no es necesariamente cierto. Pero si que se cumplen los siguientes re- sultados:

Teorema 2 Toda sucesión monótona y acotada de números reales es convergente.

Teorema 3 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada de números reales ad- mite alguna subsucesión que es convergente.

2.1.14. Sucesiones definidas por recurrencia

Las sucesiones que verifican relaciones del tipo

an+2 = Aan+1 + Ban , n ∈ N

para A y B constantes se denominan sucesiones de recurrencia lineal. Estas sucesiones satisfacen ciertas propiedades que hacen que se pueda estu- diar su convergencia.

1. Si {rn} y {sn} son dos sucesiones que satisfacen la fórmula de recurrencia an+2 = Aan+1 + Ban , n ∈ N, entonces también la verifica la sucesión suma {rn + sn}.
2. Una progresión geométrica de razón ρ ( 1 , ρ, ρ^2 , · · · ), es decir, la sucesión {rn}, con rn = ρn−^1 , satisface la fórmula de recurrencia an+2 = Aan+1 + Ban , n ∈ N si, y sólo si, se verifica que

ρ^2 = Aρ + B

La ecuación anterior se llama ecuación característica. Si esta ecuación tiene dos soluciones reales distintas α y β, y x 1 , x 2 son los datos iniciales de la sucesión (los primeros términos), entonces para todo n ∈ N se verifica que

xn = Rαn−^1 + Sβn−^1

Vamos a demostrar que esta sucesión es convergente y calcular su límite. Dado que x 1 = 2 > 1 resulta que, si suponemos que xn ≥ 1 , tenemos

xn+1 = (1/4)(x^2 n + 3) ≥ (1/4)(1 + 3) = 1

luego, por el principio de inducción, todos los términos de la sucesión son ma- yores o iguales que 1. Veamos ahora que la sucesión es decreciente. En efecto, si calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos tenemos:

xn+1 − xn = (1/4)(x^2 n + 3) − (1/4)(x^2 n− 1 + 3) = (1/4)(x^2 n − x^2 n− 1 ) = (1/4)(xn + xn− 1 )(xn − xn− 1 )

luego, la diferencia entre dos términos consecutivos es igual al producto por una constante positiva ((1/4)(xn + xn− 1 )) de la diferencia entre los dos términos in- mediatamente anteriores. Es decir, todas las diferencias tienen el mismo signo y, dado que x 2 = 7/ 4 y, por lo tanto, x 2 − x 1 = (7/4) − 2 < 0 , todas las diferencias son negativas y en consecuencia la sucesión es decreciente. Además, como hemos visto está acotada inferiormente por 1 y dado que su primer término es 2 , resulta que, para todo n ∈ N se cumple que 1 ≤ xn ≤ 2. Dado que la sucesión es monótona y acotada, resulta convergente. Si llamamos l a su límite, se tendrá que cumplir que

l =

(l^2 + 3)

y esta ecuación tiene dos soluciones 1 y 3. Después de lo dicho el límite es l = 1. Otro ejemplo. Sea la sucesión definida por { x 1 = 3 , xn+1 =

xn +

xn

, para n ≥ 1

Vamos a ver que es convergente y calcular su límite. Primero observamos que todos sus términos son positivos y que si tiene límite l, este debe verificar

l =

l +

l

Las soluciones de esta ecuación son

3 y −

3 , luego, si la sucesión tuviera lí- mite sería

1. En consecuencia, la sucesión {x^2 n} → 3. Veamos cómo son las

diferencias entre los x^2 n y 3.

x^2 n+1 =

xn +

xn

x^2 n + 6 +

x^2 n

x^2 n − 6 +

x^2 n

x^2 n − 6 +

x^2 n

xn −

xn

Así pues se tiene que x^2 n ≥ 3 para todo n, entonces resulta que

xn+1 =

xn +

xn

xn +

x^2 n xn

= xn

por lo tanto, la sucesión es decreciente y, al estar acotada inferiormente (xn > 0 ) resulta ser convergente. Su límite es