¡Descarga Sumatoris i productoris y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Sumatoris i productoris
Definicions i propietats
J. M. Aroca
Departament de Matem`atiques
Universitat Polit`ecnica de Catalunya
Agost de 2017
En el que segueix, expressions del tipus ai, bj, etc. representen nombres d’un cert anell com- mutatiu (els enters Z, els racionals Q, els reals R, els complexos C,... ). Els ´ındexs i, j,... prenen valors enters, habitualment no negatius. En un anell tenim definides la suma i producte, de manera que podem escriure a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , etc. i a 1 · a 2 , a 1 · a 2 · a 3 , etc. Moltes vegades necessitem escriure la suma o producte de un nombre indeterminat n de termes: a 1 +a 2 +· · ·+an, a 1 ·a 2 ·· · ··an. La notaci´o dels punts suspensius ´es poc formal i moltes vegades ´es poc compacta. Degut a aix`o s’introdueixen els sumatoris i productoris que permeten treballar rigorosament.
1 Sumatoris
1.1 Definici´o
Considerem definit un conjunt de nombres ai on i ´es un ´ındex natural o enter i els ai pertanyen a un anell commutatiu que prendrem com el dels nombres reals. Es a dir,´ ai ∈ R per i ∈ N, aix´ı que tenim definits els nombres reals a 1 , a 2 , etc. Definim un objecte que representa la suma an 0 + an 0 +1 + · · · + an on n 0 ´es l’´ındex del primer element que volem incloure en la suma i n ≥ n 0 ´es l’´ındex de l’´ultim element incl`os en la suma. El nombre de sumands ´es n − n 0 + 1. Habitualment, n 0 val 0 o 1.
Per n ≥ n 0 definim
∑^ n
i=n 0
ai, recursivament:
Si n = n 0 ,
∑^ n^0
i=n 0
ai = an 0.
Si n > n 0 ,
∑^ n^0
i=n 0
ai =
n∑− 1
i=n 0
ai + an.
A partir d’aquesta definici´o es poden demostrar les propietats dels sumatoris pel m`etode d’in- ducci´o. Exemple: Volem escriure la suma dels quadrats dels primers deu nombres naturals. La suma ´es 1^2 + 2^2 + · · · + 10^2. En aquest cas ai = i^2 i i pren valors des de 1 fins a 10. La suma s’escriu ∑^10
i=
i^2. Com tots els parametres del sumatori estan definits, podem avaluar-lo numericament. El
seu valor ´es 385. Podem estar treballant en un problema on necessitem la suma dels quadrats dels n primers
naturals. En aquest cas tenim una funci´o de n, definida S(n) =
∑^ n
i=
i^2. Com acabem de veure,
S(10) = 385. Obtenir una expressi´o compacta que doni el resultat d’un sumatori per a qualsevol
valor de n ´es en general un problema dif´ıcil, o impossible. M´es avall donarem alguns resultats d’aquest estil. La variable i que hem utilitzat al definir el sumatori ´es el que es diu una variable muda. Se li pot donar qualsevol nom que no coincideixi amb cap altra variable o par`ametre presents en l’objecte
sumat (ai) o els l´ımits del sumatori (n 0 , n). Aix´ı, per exemple,
∑^ n
i=
i^2 =
∑^ n
k=
k^2. Per`o,
∑^ n
n=
n^2 ´es una
forma incorrecta d’escriure el sumatori ja que l’´ındex n t´e el mateix nom que el l´ımit superior de
la suma. De manera similar, el sumatori
∑^ n
i=
ik^ no pot ser escrit canviant i per la lletra k ja que
aquesta fa el paper de par`ametre.
1.2 Propietats
A partir de la definici´o del sumatori ´es f`acil demostrar (per inducci´o) les seg¨uents propietats:
∑^ n
i=n 0
(ai + bi) =
∑^ n
i=n 0
ai +
∑^ n
i=n 0
bi.
(2) ∀λ ∈ R,
∑^ n
i=n 0
λai = λ
∑^ n
i=n 0
ai.
(3) ∀n 1 tal que n 0 ≤ n 1 < n,
∑^ n
i=n 0
ai =
∑^ n^1
i=n 0
ai +
∑^ n
i=n 1 +
ai.
1.3 Exemples
Alguns sumatoris b`asics: ∑n
i=
1 = n. (1)
∑^ n
i=
i =
n(n + 1) 2
DEM: Donem demostracions directes, encara que tamb´e es poden demostrar per inducci´o. La primera ´es immediata
ja que sumar n vegades la unitat d´ona n. Per a la segona fem S =
X^ n i=
i. Notem que S =
X^ n i=
(n+1−i), canviant nom´es
l’ordre dels sumands. Ara, 2S = S+S =
X^ n i=
i+
X^ n i=
(n+1−i) =
X^ n i=
(i+n+1−i) =
X^ n i=
(n+1) = (n+1)
X^ n i=
1 = (n+1)n.
A¨ıllant S tenim el resultat. ♣ Calculem ara la suma dels n primers nombres imparells. Parametritzem els imparells com 2i − 1 on i = 1, 2 ,.. .. ∑n
i=
(2i − 1) = 2
∑^ n
i=
i −
∑^ n
i=
1 = n(n + 1) − n = n^2.
Efectivament, 1 = 1^2 , 1 + 3 = 2^2 , 1 + 3 + 5 = 3^2 , etc. Els anteriors sumatoris van lligats a les series aritmetiques. Considerem ara el cas de les series geometriques. Per a qualsevol r ∈ R, r 6 = 1:
∑^ n
i=
ri^ =
rn+1^ − 1 r − 1
DEM: Fem S =
X^ n i=
ri. Notem que S = 1 + r + r^2 + · · · + rn−^1 + rn^ i rS = r + r^2 + · · · + rn^ + rn+1^. Restant les
dues igualtats, rS − S = rn+1^ − 1 d’on podem a¨ıllar S (passem dividint r − 1 que ´es no nul per r 6 = 1).
De manera m´es general:
∏^ n
i=
λai^ = λ
∑^ n
i=
ai
. (6)
El productori m´es utilitzat ´es 1 · 2 · 3 · · · · · n =
∏^ n
i=
i. L’anomenem n factorial i es simbolitza n!.
n! =
∏^ n
i=
i = 1 · 2 · 3 · · · · · n. (7)
Per exemple, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Els factorials permeten expressar molts productoris. Per exemple ∏n
i=
i^2
( (^) n ∏
i=
i
) 2 =^
n!^2
on hem utilitzat la propietat (2) amb α = −2. Un altre exemple: ∏^6
i=
i^3 =
i=
i
= 6!^3 = 720^3 = 3732248000.
3 Problemes
- Per certs nombres ai, i ≥ 1 resulta ∑n
i=
ai = n^3.
Qu`e val
∑^12
i=
ai? Qu`e val a 21?
- Per certs nombres ai, i ≥ 1 resulta ∏n
i=
ai = n^3.
Qu`e val
∏^12
i=
ai? Qu`e val a 21?
- Trobar una f´ormula compacta per la suma:
Sn = 2^0 + 3^1 + 2^2 + 3^3 + 2^4 + 3^5 + · · · + 2n−^1 + 3n.
en funci´o de n (n imparell). (Indicaci´o: expresseu Sn a partir de sumatoris que es puguin calcular amb la f´ormula de la suma geom`etrica (3).)
- Expresseu el productori Pn =
∏^ n
i=
(2i −1) (producte dels primers n nombres imparells) a partir
de factorials. Verifiqueu la f´ormula pel cas n = 5. (Indicaci´o: considereu Qn igual al producte dels n primers nombres parells i expresseu Qn i PnQn utilitzant factorials.)
