Formas cuadráticas en R: definición, expresión matricial y clasificación - Prof. 16, Apuntes de Matemáticas

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MATEMÁTICAS (UCM)

APUNTES FORMAS CUADRATICAS

, NO ME ACUERDO 13-

Tema 3

Formas cuadr´aticas.

3.1. Definici´on y expresi´on matricial

Definici´on 3.1.1. Una forma cuadr´atica sobre R es una aplicaci´on q : R

n −→ R que a

cada vectorx⃗ = (x 1 , x 2 , · · · , xn) ∈ R n le hace corresponder un n´umero real dado por:

q(x 1 , x 2 , · · · , xn) = a 11 x

2 1 +a^22 x

2 2 +· · ·+annx

2 n+2a^12 x^1 x^2 +· · ·+2a^1 nx^1 xn+· · ·+2an−^1 nxn−^1 xn

con aij ∈ R, ∀i, j = 1, 2 , · · · , n, y que corresponde a un polinomio homog´eneo de segundo

grado en las n variables x 1 , x 2 , · · · xn.

Esta expresi´on polin´omica puede expresarse como una expresi´on matricial de la forma;

q(x 1 , x 2 , · · · , xn) = (x 1 , x 2 , · · · , xn)

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 12 a 22 · · · a 2 n

a 1 n a 2 n · · · ann

x 1

x 2

xn

= X

t AX

donde la matriz A asociada a la forma cuadr´atica, es una matriz sim´etrica de orden n

cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los t´erminos cuadr´aticos

de la expresi´on polin´omica, y los restantes elementos de la matriz son la mitad de los

coeficientes de los t´erminos no cuadr´aticos de dicha expresi´on.

Esta relaci´on entre los elementos de una y otra expresi´on de la forma cuadr´atica,

permite obtener f´acilmente cada una de ellas a partir de la otra.

Matem´aticas (Grado en Qu´ımica) Curso 2013/

La matriz asociada A tiene los autovalores λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 5 por lo que una expresi´on

diagonal de q es q(x, y, z) = x

2

• 5y

2

• 5z

2 .

Teorema 3.2.3. (Expresi´on diagonal de Jacobi). Sea una forma cuadr´atica

q : R n −→ R , A su matriz asociada, D 1 , D 2 , · · · , Dn los menores principales de A

(los formados con las i primeras filas y las i primeras columnas) y rg(A) = r ≤ n. La

expresi´on diagonal de Jacobi de la forma cuadr´atica q viene dada por:

q(x 1 , x 2 , · · · , xn) = D 1 x

2 1 +^

D 2

D 1

x

2 2 +^ · · ·^ +^

Dr

Dr− 1

x

2 r ,

siempre que D 1 ̸= 0, D 2 ̸= 0, · · · , Dr ̸= 0.

Ejemplo 3.2.4. Sea q la forma cuadr´atica del ejemplo anterior: Los menores principales

son D 1 = 3, D 2 =

= 5, D 3 =

= 25 Como rg(A) = 3 y los tres

menores principales son distintos de cero, la expresi´on diagonal de Jacobi es:

q(x, y, z) = 3x

2

y

2

z

2 = 3x

2

y

2

• 5z

2 .

3.3. Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas

Definici´on 3.3.1. Sea q : R

n −→ R una forma cuadr´atica yx⃗ = (x 1 , x 2 , · · · , xn) ∈ R

n .

Se dice que:

qx(⃗ ) es definida positiva si qx(⃗ ) > 0 , ∀x⃗ ∈ R

n ,⃗x ̸= ⃗ 0.

qx(⃗ ) es definida negativa si qx(⃗ ) < 0 , ∀x⃗ ∈ R

n ,⃗x ̸= ⃗ 0.

qx(⃗ ) es semidefinida positiva si qx(⃗ ) ≥ 0 , ∀x⃗ ∈ R n , y ∃u⃗ ̸= ⃗0 : qu(⃗ ) = 0.

qx(⃗ ) es semidefinida negativa si qx(⃗ ) ≤ 0 , ∀x⃗ ∈ R

n , y ∃u⃗ ̸= ⃗0 : qu(⃗ ) = 0.

qx(⃗ ) es indefinida si ∃u,⃗⃗v ∈ R

n : qu(⃗ ) > 0 , qv(⃗ ) < 0.

Ejemplos 3.3.2. La forma cuadr´atica q(x, y) = x

2

• y

2 es definida positiva pues al

ser una suma de cuadrados ser´a positiva salvo para el vector nulo.

Curso 2013/2014 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)

La forma cuadr´atica q(x, y) = (x − y) 2 es semidefinida positiva pues

q(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R

2 y q(x, x) = 0.

La forma cuadr´atica q(x, y) = x

2 − y

2 es indefinida pues q(1, 2) = −3 y q(2, 1) = 3.

Vamos a estudiar unas caracterizaciones del signo de una forma cuadr´aticas que vienen

dadas, bien por los autovalores de su matriz asociada, bien por los menores principales de

dicha matriz.

Proposici´on 3.3.3. Sea q : R

n −→ R una forma cuadr´atica y λ 1 , λ 2 , · · · , λn los auto-

valores de su matriz asociada.Se verifica:

qx(⃗ ) es definida positiva si y s´olo si los autovalores de A son todos positivos.

qx(⃗ ) es definida negativa si y s´olo si los autovalores de A son todos negativos.

qx(⃗ ) es semidefinida positiva si y s´olo si los autovalores de A son positivos y nulos.

qx(⃗ ) es semidefinida negativa si y s´olo si los autovalores de A son negativos y nulos.

qx(⃗ ) es indefinida si y s´olo si los autovalores de A son positivos y negativos.

Proposici´on 3.3.4. Sea q : R n −→ R una forma cuadr´atica, A su matriz asociada,

Di : 1 ≤ i ≤ n los menores principales de A, y r = rg(A).

1 |A|̸ = 0 (nunca es semidefinida y r = n)

• Si D 1 > 0 , D 2 > 0 , · · · , Dn > 0 , entonces q es definida positiva.
• Si D 1 < 0 , D 2 > 0 , · · · , (−1)

n Dn > 0 , entonces q es definida negativa.

• Indefinida en otro caso.

2 |A| = 0 (nunca es definida y r < n)

a) ∀i : 1 ≤ i ≤ r, Di ̸= 0:

◦ Si D 1 > 0 , D 2 > 0 , · · · , Dr > 0 , entonces q es semidefinida positiva.

◦ Si D 1 < 0 , D 2 > 0 , · · · , (−1) r Dr > 0 , entonces q es semidefinida negativa.

◦ Indefinida en otro caso.

b) ∃i : 1 ≤ i ≤ r, : Di = 0. Este criterio no se puede aplicar.

Curso 2013/2014 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)

3.5. Ejercicios resueltos

1.- Obtener la expresi´on matricial y una forma diagonal de las siguientes formas cuadr´ati-

cas:

a) q(x, y) = 2x

2

• 6xy + 2y

2

La expresi´on matricial es: q(x, y) = (x, y)

x

y

Para obtener le expresi´on diagonal podemos usar el m´etodo de Jacobi o los

autovalores:

|A − λI| =

2 − λ 3

3 2 − λ

= 0 tiene como soluci´on λ = 5, λ = −1, por lo que

una expresi´on diagonal ser´a: q(x, y) = 5x 2 − y 2 .

Como los menores principales de A son D 1 = 2, D 2 = |A| = −5, la expresi´on

diagonal de Jacobi es: q(x, y) = 2x

2 −

y

2 .

b) q(x, y) = 8xy. Su expresi´on matricial: q(x, y) = (x, y)

x

y

Como D 1 = 0 no existe la expresi´on diagonal de Jacobi, utilizamos, por tanto,

la de los autovalores:

|A − λI| =

−λ 4

4 −λ

= 0 tiene como soluci´on λ = 4, λ = −4, por lo que una

expresi´on diagonal ser´a: q(x, y) = 4x

2 − 4 y

2 .

c) q(x, y, z) = 3x 2

• 3z 2
• 4xy + 8xz + 4yz.

Matricialmente: q(x, y, z) = (x, y, z)

x

y

z

Los menores principales son: D 1 = 3, D 2 =

= − 4 , D 3 = |A| = 8, por lo

que la expresi´on diagonal de Jacobi es:

q(x, y, z) = 3x

2 −

y

2 −

z

2 = 3x

2 −

y

2 − 2 z

2

. Dado que los autovalores de A son

λ = −1 (doble) y λ = 8, una expresi´on diagonal ser´a: q(x, y, z) = −x

2 −y

2 +8z

2 .

d) q(x, y, z) = 2xy − 2 xz + 2yz.

Matem´aticas (Grado en Qu´ımica) Curso 2013/

En forma matricial: q(x, y, z) = (x, y, z)

x

y

z

Como D 1 = 0, no podemos utilizar la expresi´on diagonal de Jacobi, lo que nos

obliga a calcular los autovalores de A:

|A − λI| =

−λ 1 − 1

1 −λ 1

− 1 1 −λ

= −λ

3

• 3λ − 2 = 0, que tiene por soluci´on: λ = 1

(doble) y λ = −2, por lo que una forma diagonal ser´a: q(x, y, z) = x 2

• y 2 − 2 z 2 .

2.- Obtener la expresi´on anal´ıtica y una expresi´on diagonal de las formas cuadr´aticas

cuya matriz es:

a) A =

La expresi´on anal´ıtica la obtenemos:

q(x, y, z) = (x, y, z)

x

y

z

= − 2 x

2 − 8 y

2

• z

2

Como D 2 =

= 0, no existe la expresi´on diagonal de Jacobi.

Los autovalores: |A − λI| =

− 2 − λ 4 0

4 − 8 − λ 0

0 0 1 − λ

= (1 − λ)(λ 2 − 10 λ) = 0,

que tiene por soluci´on: λ = 1, λ = 0 y λ = 10, por lo que una forma diagonal

ser´a: q(x, y, z) = x 2

• 10z 2 .

b) A =

La expresi´on anal´ıtica la obtenemos:

q(x, y, z) = (x, y, z)

x

y

z

= x

2

• 2y

2

• z

2 − 2 xz

Matem´aticas (Grado en Qu´ımica) Curso 2013/

e) q(x, y, z) = −x 2 − 3 y 2 − 3 z 2

• 4yz

La matriz asociada es: A =

. Los menores principales:

D 1 = − 1 < 0 , D 2 = 3 > 0 , D 3 = − 5 < 0, por lo que la forma cuadr´atica es

definida negativa.

4.- Calcular el valor del par´ametro a para que la forma cuadr´atica q(x, y, z) = 3x 2

2 xy + y

2 − axz + 3z

2 sea semidefinida positiva.

La matriz de la forma cuadr´atica es: A =

3 1 −a

−a 0 3

Se verifica que D 1 = 3 > 0 , D 2 = 2 > 0, por lo que para que q sea semidefinida

positiva debe ser D 3 = 0, es decir:

3 1 −a

−a 0 3

= 6 − a

2 = 0, =⇒ a = ±

5.- Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas restringidas a los subespacios:

S 1 = {(x, y) ∈ R

2 : x − y = 0}, S 2 = {(x, y) ∈ R

2 : x + 5y = 0}

a) q(x, y) = 3x

2 − 2 xy + y

2

La matriz asociada a q es A =

Sus menores principales son D 1 = 3 > 0 , D 2 = 2 > 0, por lo que la forma

cuadr´atica es definida positiva, por tanto, restringida a cualquier subespacio

seguir´a siendo definida positiva.

b) q(x, y) = −x

2

• 2xy

La matriz asociada a q es A =

Sus menores principales son D 1 = − 1 < 0 , D 2 = − 1 < 0, por lo que la forma

cuadr´atica es indefinida.

Curso 2013/2014 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)

Restringida a S 1 , se tiene que x = y, por tanto q|S 1 = −x 2 +2xx = −x 2 +2x 2 =

x

2

0 ∀(x, y) ̸= (0, 0), por tanto es definida positiva.

Restringida a S 2 , se tiene que x = − 5 y, por tanto q|S 2 = −(− 5 y)

2

• 2(− 5 y)y =

− 35 y 2 < 0 ∀(x, y) ̸= (0, 0), por tanto es definida negativa.

6.- Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas restringidas a los subespacios:

S 1 = {(x, y, z) ∈ R

3 : x − y + z = 0}, S 2 = ⟨(0, 1 , 1)⟩

a) q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz

La matriz asociada es A =

. Para clasificarla debemos utilizar los

autovalores, pues D 1 = 0. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−λ 1 1

1 −λ 1

1 1 −λ

= 0 cuyas soluciones son λ = 2, λ = −1 (doble), por lo que la

forma cuadr´atica es indefinida.

Restringida a S 1 se tiene que x − y + z = 0 de donde y = x + z que sustituido

es q queda:

q(x, z) = 2x(x + z) + 2xz + 2(x + z)z = 2x

2

• 6xz + 2z

2 = (x, z)

x

z

Los menores principales son D 1 = 2 > 0 , D 2 = − 5 < 0, por tanto tambi´en es

indefinida si se restringe a S 1.

Restringida a S 2 = ⟨(0, 1 , 1)⟩, sus ecuaciones param´etricas son x = 0, y =

α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda:

q(α) = 2 · 0 α + 2 · 0 α + 2αα = 2α

2

0 ∀α ̸= 0 que es definida positiva.

b) q(x, y, z) = 2x

2 − 2 xy + 3y

2

La matriz asociada es A =

Como D 1 = 2 > 0 , D 2 = 5 > 0 , D 3 = 0, la forma cuadr´atica es semidefinida

positiva.

Restringida a S 1 se tiene que x − y + z = 0 de donde z = y − x que sustituido

es q queda:

Curso 2013/2014 Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)

4.- Clasificar la forma cuadr´atica q(x, y, z) = x 2

• y 2 − 2 z 2 restringida a los subespacios:

S 1 = {(x, y, z) ∈ R

3 : x + z = 0}, S 2 = ⟨(1, 1 , −1)⟩.

5.- Sea la forma cuadr´atica: q(x, y, z) = x

2

• y

2

• z

2

• 2xy + 2xz + 2yz, se pide:

a) Determinar su expresi´on matricial.

b) Encontrar una expresi´on diagonal para q.

c) Clasificar la forma cuadr´atica sin restringir y restringida al subespacio

S = {(x, y, z) ∈ R

3 : x − y − 2 z = 0}.

6.- Sea la forma cuadr´atica: q(x, y, z) = 2x 2 − 2 y 2

• 2z 2
• 2xy + 2xz + 2yz, se pide:

a) Determinar su expresi´on matricial.

b) Encontrar una expresi´on diagonal para q.

c) Clasificar la forma cuadr´atica sin restringir y restringida a los subespacios

S 1 = {(x, y, z) ∈ R

3 : x − 2 z = 0}, S 2 = ⟨(0, 0 , −1)⟩,

S 3 = {(x, y, z) ∈ R

3 : x − z = 0, y + z = 0}.