Ejercicios de Cálculo Matricial, Apuntes de Matemáticas

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Repaso para el segundo examen intermedio

© 2013 Actualizado el: 12 de agosto de 2013

1. Comentarios generales

El examen 2 cubre el curso completo: The topics covered are (very briefly summarized):

1. All of the topics from exam 1.
2. Linear independence [key point: the columns of a matrix A are independent if N (A) = { 0 }], bases (an independent set of vectors that spans a space), and dimension of subspaces (the number of vectors in any basis).
3. The four fundamental subspaces (key points: their dimensions for a given rank r and m×n matrix A, their relationship to the solutions [if any] of Ax = b, their orthogonal complements, and how/why we can find bases for them via the elimination process).
4. What happens to the four subspaces as we do matrix operations, especially elimination steps and more generally how the subspaces of AB compare to those of A and B.
5. Orthogonal complements S⊥^ for subspaces S, especially the four fundamental subspaces.
6. Orthonormal bases, forming the columns of a matrix Q with QᵀQ = I.
7. Determinants: their properties, how to compute them (simple formulas for 2 × 2 and 3 × 3, usually by elimination for matrices > 3 ×3), their relationship to linear equations (zero determinant = singular), their use for eigenvalue problems.
8. Eigenvalues and eigenvectors: their definition Ax = λx , their properties, the fact that for an ei- genvector the matrix (or any function of the matrix) acts just like a number. Computing from the characteristic polynomial det(A −λI) and x from N (A − λI); zero eigenvalues λ = 0 just correspond to N (A). Understand (from the definition) why, if A has an eigenvalue λ, then Ak^ has an eigenvalue λk, all with the same eigenvector.
9. Diagonalization A = SΛS 1 : where it comes from, its use in understanding properties of matrices and eigenval- ues.
10. If A = Aᵀ^ (real-symmetric), then the eigenvalues are real and the eigenvectors are orthogonal (or can be chosen orthogonal), and A is diagonalizable as A = QΛQᵀ^ for an orthogonal Q. If A = BᵀB where B has full column rank, then A is positive definite: all λ > 0 and all pivots > 0 and yᵀ^ Ay > 0 for any y 6 = 0; connection to minimization problems

As usual, the exam questions may turn these concepts around a bit, e.g. giving the answer and asking you to work backwards towards the question, or ask about the same concept in a slightly changed context. We want to know that you have really internalized these concepts, not just memorizing an algorithm but knowing why the method works and where it came from.

2. Ex´amenes pasados

A continuaci´on aparecen los ex´amenes intermedios que ya han sido puestos en el pasado. Lea atenta- mente las instrucciones del examen... le ayudara a no cometer errores que le perjudiquen.

2.2. Grupo H curso 09/

Ejercicio 7. El determinante de una matriz A de orden n por n es 12 (donde n es un m´ultiplo de dos). ¿Cu´al es el determinante de −Aᵀ? (Justifique su respuesta).

Ejercicio 8. La matriz A tiene una soluci´on especial:

x 1 =

c 1 0 d

(a) Describa todas las posibilidades para el n´umero de columnas de A. (b) Describa todas las posibilidades para el n´umero de filas de A. (c) Describa todas las posibilidades para el rango de A.

Justifique brevemente sus respuestas.

Ejercicio 9. Tu compa˜nera de clase, Nyarlathotep, realizo los pasos habituales de eliminaci´on gaussaiana para convertir^1 A en su forma escalonada U, obteniendo:

U =

(a) (2 pts) Encuentre un conjunto de vectores que genere el espacio nulo N(A).

(b) (2 pts) Si Uy =

 (^) , encuentre la soluci´on completa y (i.e. describa todas las posibles soluciones

y).

(c) Si Ax =

 (^) , entonces Ux =

. (f´ıjese en la nota a pie de p´agina para saber que pasos dio

Nyarla).

Ejercicio 10. Sea A una matriz y R su forma escalonada reducida por filas. Responda Verdadero o Falso a las siguientes afirmaciones, y a˜nada una breve explicaci´on a su respuesta. (Nota, si hay contraejemplos a una afirmaci´on, debe calificarla como falsa).

(a) (1/2 pt.) Si x es solution a Ax = b entonces x debe ser soluci´on a Rx = b. (b) (1/2 pt.) Si x es solution a Ax = 0 entonces x debe ser soluci´on a Rx = 0.

Ejercicio 11. Considere la matriz

A =

1 a b c 1 d e f 1

(a) A tiene un autovalor (doble) igual a 2 (λ = 2). ¿Cu´al es el otro autovalor? (b) El rango de (A − 2 I) es 1. ¿Es A diagonalizable?

Justifique sus respuestas.

(^1) Nyarla primero rest´o dos veces la primera fila de la segunda, entonces sum´o la primera fila a la tercera, y por ´ultimo rest´o tres veces la segunda fila de la tercera.

2.3. Grupo A curso 10/

Ejercicio 12. Se pide (a) (0. 5 pts) Norma del vector vH = [1, 2 , 2]ᵀ. (b) (0. 5 pts) Un vector ortogonal a vH = [1, 2 , 2]ᵀ^ con norma 2. (c) (0. 5 pts) Los valores de a y b tales que el vector [1, 2 , 1] sea ortogonal al vector [a, 0 , b]. Proporcionado por Javier Gavilanes

Ejercicio 13. (1pts) Sea A una matriz 3 por 3 tal que el sistema de ecuaciones

Ax =

tiene a v =

 (^) y a w =

 (^) como soluciones.

Encuentre otra soluci´on a este sistema. Justifique su respuesta.

Ejercicio 14. Sea la matriz

A =

(a) (2pts) Calcular los autovalores y autovectores de la matriz A. (b) (0. 5 pts) ¿Es A diagonalizable? Justifique su respuesta (s´olo puntuar´a una respuesta correctamente justificada) (c) (0(. 5 pts) ¿C´omo emplearia usted lo que ya sabe de la matriz A si quisiera calcular su d´ecima potencia A^10

, pero evitando multiplicar la matriz 10 veces (escriba c´omo intervienen los elementos que usted usar´ıa en el c´omputo de la potencia de la matriz, pero sin llegar a realizar los c´alculos). (d) (0. 5 pts) Obtenga A^4 siguiendo de manera coherente a su respuesta al apartado anterior. (e) (0. 5 pts) Obtenga la forma cuadr´atica f (x, y, z) asociada a la matriz A, y clasifiquela. Versi´on de un ejercicio proporcionado por Javier Gavilanes

Ejercicio 15. ¿Cu´ales de los siguientes siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de R^3? Jus- tifique su respuesta (s´olo se puntuar´a si la respuesta est´a correctamente justificada). (a) (0. 5 pts) S 1 =

x ∈ R^3 tales que x 1 = x 3

(b) (0. 5 pts) S 2 =

x ∈ R^3 tales que x 1 = 2

Versi´on de un ejercicio proporcionado por Javier Gavilanes

Ejercicio 16. Sea

A =

(a) (1pts) Primero calcule det(A)

Ahora, usando el valor de det(A) calculado m´as arriba, encuentre el valor de los siguientes determinantes; pero h´agalo emplendo las propiedades de los determinantes junto con la relaci´on entre los vectores fila de estos determinantes y las filas de A (salvo para el ´ultimo caso, donde deber´a emplear otra propiedad). Si no los calcula como se le ha indicado, no puntuar´a el ejercicio. (b) (0. 5 pts) (^) ∣ ∣∣ ∣∣ ∣

2.4. Grupo E curso 10/

Ejercicio 17. Suppose A is a 2 by 2 matrix and Ax = x and Ay = −y (with x 6 = 0 and y 6 = 0 ).

(a) (0. 5 pts) (Reverse engineering) What is the polynomial p(λ) = det(A − λI)? (b) (0. 5 pts) If you know that the first column of A is

[

]ᵀ

, find the second column:

A =

[

2 a 1 b

]

(c) (1pts) For that matrix in part (b), find an invertible S and a diagonal matrix Λ so that A = SΛS 1. (d) (1pts) Compute A^101. (If you don’t solve parts (b)–(c), use the description of A at the start. In all questions show enough work so we can see your method and give due credit.) (e) (1pts) If Ax = x and Ay = −y (with x 6 = 0 and y 6 = 0 ) prove that x and y are independent.

Start of a proof : Suppose z = cx + dy = 0. Then Az =... (follow from here.) MIT Course 18.06 Quiz 2. April 6, 2011

Ejercicio 18. Suppose the following information is known about a matrix A:

i) A

 (^) ; ii) A

 (^) ; ii) A is symetric.

Please note the right hand side vector in i) is the opposite of the right hand side vector in ii).

(a) (1pts) Is the nullspace of A zero? (b) (1pts) Is A invertible? (c) (1pts) Does A have linearly independent eigenvectors? (d) (0. 5 pts) Give a specific example of a matrix A satisfying the above three properties and whose eigenvalues add up to zero

MIT Course 18.06 Spring 2006 - Review Problems

Ejercicio 19. Let A a 3 × 3 matrix with det A = 0. Determine if each of the following statements is true or false (to receive full credit you must explain your answers in a clear and concise way).

(a) (0. 5 pts) Ax = 0 has a nontrivial solution (x 6 = 0 ). (b) (0. 5 pts) Ax = b has at least one solution for every b. (c) (0. 5 pts) For every 3 × 3 matrix B, we have det(A + B) = det(B). (d) (0. 5 pts) For every 3 × 3 matrix B, we have det(AB) > 0. (e) (0. 5 pts) There is a vector b in R^3 such that for the augmented matrix rango ([A|b]) > rango (A).

Ejercicio 20. Consider the following matrices

A =

 (^) , y B =

(a) (1pts) Compute the determinant of A and B. Are these matrices invertible? Compute the inverse matrix when it is possible. (b) (1pts) Compute the following determinants when it is possible.

det

AAᵀ

det

B^4 A

det

A 1

De un examen intermedio de Mercedes

2.5. Grupo G curso 10/

Ejercicio 21. Dada la matriz

A =

[

1 a 2 b

]

Responda a cada una de estas preguntas a˜nadiendo una breve explicaci´on en cada caso.

(a) (0. 5 pts) Calcular los valores de los par´ametros a y b para que el vector

[

]ᵀ

sea un autovector asociado al autovalor λ 1 = 5 de A. (b) (0. 5 pts) ¿Cu´al es el otro autovalor λ 2? (c) (0. 5 pts) ¿Es diagonalizable? (d) (0. 5 pts) Considere la forma cuadr´atica f (x, y) que resulta al multiplicar xᵀ^ Ax, donde xᵀ^ =

[

x y

]

¿Es esta forma cuadr´atica definida? (pista: piense en su matriz sim´etrica asociada) (e) (0. 5 pts) ¿Es el punto (0, 0) un m´ınimo para dicha forma cuadr´atica f (x, y)? (f) (0. 5 pts) ¿Qu´e forma tiene la superficie definida por la forma cuadr´atica f (x, y)?... ¿un cuenco? ¿una silla de montar? ¿un valle? Basado en un problema que me pas´o Leonel Cerno

Ejercicio 22. Considere la siguiente matriz

A =

(a) (0. 5 pts) Encuentre su forma escalonada reducida R. Cuantas columnas linealmente independientes tiene A (b) (1pts) Encuentre una base del espacio nulo N (A). (c) (1pts) Si el vector b es la suma de las columnas de A, escriba sa soluci´on general del sistema Ax = b.

MIT Course 18.06 Final Exam. May 18, 2010

Ejercicio 23. (0. 5 pts) Estamos buscando una matriz A de orden m por n y unos vectores b ∈ Rm^ y c ∈ Rn^ tales que Ax = b no tiene soluci´on pero Aᵀy = c tiene exactamente una. ¿Por qu´e no es posible encontrar tales A, b, y c?

Ejercicio 24. (1pts) Sea A una matriz 3 por 3 tal que el sistema de ecuaciones

Ax =

tiene a v =

 (^) y a w =

 (^) como soluciones.

Encuentre otra soluci´on a este sistema. Justifique su respuesta.

Ejercicio 25. Considere la matriz

A =

Calcule los siguientes determinantes

(a) (1pts) det A (b) (0. 5 pts) det AAᵀ (c) (0. 5 pts) det A 1 (d) (0. 5 pts) det 2A

2.6. Grupo E curso 11/

Ejercicio 26.

(a) (1pts) Find the determinant of

B =

(b) (2pts) Let A be the 5 by 5 matrix

A =

Find all five eigenvalues of A by noticing that A − I has rank 1 and the trace of A is. Find five linear independent eigenvectors of A (c) (0. 5 pts) Find the (3, 1) and (1, 3) entries of A 1.

Ejercicio 27. Considere la matriz A de orden 4 por 4 (en bloques de 2 por 2) que ya est´a en su su forma escalonada reducida

A [ 4 × 4 ]

I

[ 2 × 2 ]

3 I

[ 2 × 2 ] 0 [ 2 × 2 ]

[ 2 × 2 ]

(a) (0. 5 pts) Find a basis for the column space C (A). (b) (0. 5 pts) Describe all possible bases for C (A) (c) (1pts) Find a basis (special solutions are good) for the nullspace N (A). (d) (0. 5 pts) Find the complete solution x to the 4 by 4 system

Ax =

MIT Course 18.06 Quiz 1, March 9, 2012

Ejercicio 28.

(a) (0. 5 pts) Complete this 2 by 2 matrix A (depending on a) so that its eigenvalues are = 1 and = -1:

A =

[

a 1

]

(b) (0. 5 pts) How do you know that A has two independent eigenvectors? (c) (0. 5 pts) Which choices of a give orthogonal eigenvectors and which don’t?

Ejercicio 29. La siguiente matriz Q tiene columnas ortonormales q 1 , q 2 , q 3 :

Q =

. 1. 5 a . 7. 5 b . 1 −. 5 c . 7 −. 5 d

(a) (0. 5 pts) ¿Qu´e ecuaciones deben satisfacer los n´umeros a, b, c, d? (b) (0. 5 pts) ¿Hay una ´unica elecci´on posible para estos n´umeros, aparte de poder multiplicar todos ellos por −1?

MIT Course 18.06 Quiz 2, November 2, 2005

Ejercicio 30.

(a) (0. 5 pts) Encuentre las ecuaciones param´etricas del plano que pasa por el punto (0,1,1) y tiene por vectores directores (0,1,2) y (1,1,0)

(b) (0. 5 pts) Escriba la ecuaci´on implicita del mismo plano.

Ejercicio 31. (0. 5 pts) Suppose A is a 5 by 3 matrix and Ax is never zero (except when x is the zero vector). What can you say about the columns of A?

2.8. Grupo E curso 12/

Ejercicio 37. El problema consiste en encontrar el determinante de

A =

 ,^ B^ =

 C^ =

x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0

(a) (0. 5 pts) Encuentre det A y justifique su respuesta. (b) (0. 5 pts) Encuentre det B mediante eliminaci´on gaussiana. (c) (0. 5 pts) Encuentre det C en funci´on de x. Para ello puede usar la Propiedad 3-a de las funciones determinante.

MIT Course 18.06 Quiz 2, 1995

Ejercicio 38.

(a) (0. 5 pts) ¿Por qu´e no existe una matriz ortonormal Q tal que Q 1 AQ = Λ si

A =

(b) (0. 5 pts) ¿Para qu´e valores de a y b es la forma cuadr´atica ax^2 +2xy +by^2 =

[

x y

] [a 1 1 b

] [

x y

]

definida positiva? MIT Course 18.06 Final Exam, December 13, 1993

Ejercicio 39. Sean u y v vectores del espacio Euclideo Rn, y sea A [n×n]

la matriz cuadrada uvᵀ^.

(a) (0. 5 pts) Describa el espacio fila y el espacio nulo de A en t´erminos de u y v. (b) (0. 5 pts) Demuestre que u es un autovector de A, y encuentre el correspondiente autovalor. (c) (0. 5 pts) ¿Qu´e condici´on deben satisfacer u y v para que A sea anti-sim´etrica (A = −Aᵀ)? (d) (0. 5 pts) ¿Qu´e condici´on deben satisfacer u y v para que A^2 = A?

MIT Course 18.06 Final Exam, December 13, 1993

Ejercicio 40. Suponga que A es una matriz cuadrada con autovalores λ 1 = 0, λ 2 = c (real) y λ 3 = 2, y autovectores

x 1 =

 (^) , x 2 =

 (^) , x 3 =

respectivamente. En cada una de las siguientes cuestiones debe dar una justificaci´on a su respuesta para poder puntuar.

(a) (0. 5 pts) ¿Para qu´e valores de c (si existe alguno) es A una matriz diagonalizable? ¿Por qu´e? (b) (0. 5 pts) ¿Para qu´e valores de c (si existe alguno) es A una matriz sim´etrica? ¿Por qu´e? (c) (0. 5 pts) ¿Para qu´e valores de c (si existe alguno) es A una matriz definida positiva? ¿Por qu´e?

basado en MIT Course 18.06 Quiz 3, November 22, 1993

El examen contin´ua en la siguiente p´agina →

Ejercicio 41. (1. 5 pts) Diagonalize la matriz

[

]

. MIT Course 18.06 Final Exam, December 13,

1993

Ejercicio 42. El espacio nulo N

Aᵀ^

de la matriz A =

 est´a generado por

(a) (0. 5 pts) ¿Cu´al es el rango de A? ¿Cu´al es el determinante de A? (b) (1pts) Encuentre una o varias ecuaciones lineales para a, b y c cuyas soluciones son valores para los

que Ax =

a b c 1

 es un sistema resoluble.

(c) (0. 5 pts) El conjunto de vectores

a b c

 (^) donde a, b y c satisfacen la ecuaci´on (o ecuaciones) de la parte

(b), es (marque con un c´ırculo la respuesta correcta): el conjunto vac´ıo, un punto, una recta, un plano, todo R^3. Explique su respuesta.

(d) (0. 5 pts) El conjunto de soluciones de la ecuaci´on Ax =

 es (marque con un c´ırculo la respuesta

correcta) el conjunto vac´ıo, un punto, una recta, un plano, un hiperplano tridimensional, todo R^4. Explique su respuesta.

MIT Course 18.06 Final Exam, December 13, 1993

Por favor conteste a las dos ´ultima preguntas en esta p´agina

Ejercicio 48. Sea A la matriz

(a) (0. 5 pts) Encuentre una factorizaci´on A = L U˙, donde L es la forma escalonada de la matriz, y U˙ es una matriz triangular superior unitaria.

(b) (1pts) Encuentre la soluci´on general de Ax =

(c) (1pts) El vector

a b c

 (^) pertenece al espacio columna de A si a, b y c satisfacen ¿qu´e condiciones lineales?

basado en MIT Course 18.06 Final Exam, December 13, 1993

Bibliograf´ıa

Strang, G. (). 18.06 linear algebra. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare. License: Creative Commons BY-NC-SA. URL http://ocw.mit.edu

Strang, G. (2003). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, Massachusetts. USA, third ed. ISBN 0-9614088-9-8. 12

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 9(a) The pivots are in the first two columns of U, so x3 and x4 are the free variables. Setting x3 = 1; x4 = 0, we get (from the second row of U x = 0) x2 = 1 and (from the first row) x1 = 1 4x2 = 5; setting x3 = 0; x4 = 1, we get (from the second row) x2 = 3 and (from the first row)x1 = 3 4x2 = 15. Hence, N(A) is spanned by two special solutions as follows. N(A) = x3 0 BB 5 1 1 0 1 CCA + x4 0 BB 15 3 0 1 1 CCA for all x3; x4 2 R: 

Ejercicio 9(b) First, we need to find a particular solution. For this, we may set the free variables to y = y4 = 0. Thus, (from the second row of U y = b) y2 = 6 and (from the first row) y1 = 9 4y2 = 33. Hence, all the solution to the equations are given by the sum of the particular solution and any vector in the nullspace (all linear combinations of the special solutions): y = y3 0 BB 5 1 1 0 1 CCA + y4 0 BB 15 3 0 1 1 CCA + 0 BB 33 6 0 0 1 CCA for all y3; y4 2 R 

Ejercicio 12(a) Norma es ‖v‖ =

vᵀ^ v =

12 + 2^2 + 2^2 =

Ejercicio 12(b) S´olo se le pide encontrar un vector ortogonal de norma dos, pero aqu´ı vamos a desarrollar una respuesta un poco m´as extensa (en el enunciado no se le pide tanto... ) Mediante la eliminaci´on de Gauss podemos calcular el espacio nulo por la izquierda de

[

vH

]

[

I | vH

]

Por tanto cualquier combinaci´on lineal de los vectores

[

]

y

[

]

es perpendicular al vector dado; y puesto que ambos tienen norma 5, tomando por ejemplo el doble de la versi´on normalizada del primero, tenemos 2 × √^15

[

]

= √^15

[

]

que tiene norma 2 y es perpendicular al vector del enunciado. Pero ´esta no es la ´unica soluci´on posible. Sabemos que cualquier vector de la forma a

[

]

• b

[

]

[

−2(a + b) a b

]

es perpendicular; y que s´olo queremos vectores de norma 2. Es decir ( − 2(a + b)

• a^2 + b^2 = 4;

por tanto 5 a^2 + 5b^2 + 8ab = 4

es la condici´on que deben cumplir los valores de a y b para que el vector perpendicular

[

−2(a + b) a b

]

tenga norma 2. 

Ejercicio 12(c) Es sencillo ver que la respuesta es a = −b. 

Ejercicio 13. Entonces A(v − w) = Av − Aw = 0

y por tanto el vector diferencia (v − w)

v − w =

es una soluci´on al sistema homog´eneo Ax = 0. As´ı pues  

 (^) + (v − w) =

Es otra soluci´on. Ejercicio 13

Ejercicio 14(e)

f (x, y, z) =

[

x y z

]

x y z

 (^) = 4x^2 + 3y^2 + 4z^2 − 2 xz.

Y sabemos que es definida positiva, ya que los autovalores de A son mayores que cero (3, 3 y 5). 

Ejercicio 15(a) Es subespacio vectorial, ya que el conjunto es cerrado para la suma [ a, b, a

]

[

c, d, c

]

[

a + c, b + d, a + c

]

y tambi´en es cerrado para el producto por un escalar

a

[

b, c, d

]

[

ab, ac, ab

]

en concreto S 1 es un plano en R^3 que pasa por el origen, y constituye el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo

Ax = 0 ;

[

] 

x 1 x 2 x 3

es decir, que S 1 = N (A). 

Ejercicio 15(b) No es un subespacio. Por ejemplo el vector xH =

[

]ᵀ

pertenece a S 2 , pero 2xH no. As´ı pues, el conjunto S 2 no es cerrado para el producto por un escalar (es f´acil comprobar que tampoco lo es para la suma). 

Ejercicio 16(a) det A = − 11. 

Ejercicio 16(b) Se han intercambiado las dos primeras filas, por tanto ∣∣ ∣∣ ∣∣

∣∣ =^ −^ det^ A^ = 11.

Ejercicio 16(c) Se ha multiplicado la primera fila por 3, por tanto ∣∣ ∣∣ ∣∣

∣∣ = 3 det^ A^ =^ −^33.



Ejercicio 16(d) Se han multiplicado todas las filas por 2, por tanto ∣∣ ∣∣ ∣∣

(^3) det A = − 88.

Ejercicio 16(e) det A 1 = (^) det^1 A = − 111. 

Ejercicio 17(a) Since λ 1 = 1 and λ 2 = −1:

det(A − λI) = (− 1 − λ)(1 − λ) = λ^2 − 1. 

Ejercicio 17(b) Trace (λ 1 + λ 2 ) must be equal to 0; therefore b = −2. In addition det A = λ 1 · λ 2 = −1, so − 4 − a = − 1 , or a = − 3. Then

A =

[

]

Ejercicio 17(c) For λ 1 = 1

A − I =

[

]

with eigenvector x 1 =

[

]

For λ 2 = − 1

A − I =

[

]

with eigenvector x 2 =

[

]

Therefore

S =

[

]

and Λ =

[

]

Ejercicio 17(d) Since, in this case, Λ^101 =

[ 1

− 1

] 101

[ 1

− 1

]odd number = Λ A^101 = SΛ^101 S 1 = SΛS 1 = A. 

Ejercicio 17(e) Suppose z = cx + dy = 0. Then Az = cAx + dAy = cx − dy = 0. Since Az =A 0 = 0. Therefore { cx + dy = 0 cx − dy = 0.

but, since x 6 = 0 and y 6 = 0 =⇒ the only possibility is c = d = 0.



Ejercicio 18(a) No. A

 (^) = 0. So

 (^) is in the nullspace of A.

Ejercicio 18(b) No. From part (a), dim(N (A)) > 0. 

Ejercicio 18(c) Yes because the eigenvectors of a symmetric matrix are linearly independent (¡all sym- metric matrices are diagonalizable!). 

Ejercicio 18(d) A

 (^) gives 2 times the first column and A

 (^) gives -1 times the second column of

A.

By the symmetry condition (iii), we get a 13 = a 31 and a 23 = a 32.

A =

− 3 − 6 a 33

For a 33 , we know that traza (A) = 1 + 4 + a 33 = 0 so a 33 = −5. 

Ejercicio 19(a) True. Since the matrix is not full rank, dim N (A) > 0. 

Ejercicio 19(b) False. Since the matrix is not full rank, C (A) is smaller than R^3 , that is, there are some b in R^3 that do not belong to C (A). 

Ejercicio 19(c) False. For example

A =

 (^) ; B = I; and then det

A + B

∣∣ = 0^6 = det^ B^ = 1.