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TEMA 6. ESTIMACIÓN
Teorema del Límite Central
Intervalo de probabilidad de X (media)
Podemos calcular el intervalo de probabilidad de X (media) a partir del teorema del Límite Central estudiado en la primera mitad del curso.
Estimación. Intervalo de confianza de μ
Para estimar la μ de la población usaremo s el intervalo de confianza. Así, a partir de la muestra vamos a predecir los valores estadísticos de la población. Para ver como es la media en una població n queremos buscar el máximo, es decir, cuánto vale μ. Partiendo de que conocemos la curva normal, primero obtenemos una media muestral ( X ) y le sumamos y restamos el brazo del gráfico de la normal. Obtenemos un nuevo intervalo, que es distinto al de la curva normal pero que tiene una distancia igual a ella. Después de esto, podemos afirmar que la media de la población será un valor comprendido entre los límites de este intervalo. Volvemos a obtener un nuevo valor de media muestral, esta vez uno que está en el límite de α/2 (del brazo). Calculamos el intervalo y éste también incluye la media. En cambio, esto no se cumple para las muestras que se encuentran en las áreas azules, que corresponden a los valores máximos y mínimos (los sujetos extremos y raros), porque no incluyen la media poblacional. Así, un 5% de estos intervalos no incluirá a μ pero que un 90% sí. Esto se puede poner como 100(1-α)% y 100·α%. El valor de α expresa el error o la probabilidad de equivocación al decir que un intervalo incluye a μ.
No se puede expresar como intervalo de probabilidad porque no sabemos el valor de μ, el máximo, y el intervalo no es calculable. Si no sabemos dónde está el máximo no podremos calcular probabilidades (áreas del gráfico).
Nunca podremos saber con total seguridad (sin error) cual es el valor real de μ. Por ello, cuando damos un valor de μ lo expresamos en intervalo de confianza en función de α. A diferencia de medias muestrales, con las poblacionales solo hablaremos de confianzas. *La fórmula que usaremos no tendrá al principio la P de probabilidad.
En intervalos de confianza no podemos hacer dibujos de curva normal porque no tenemos el valor de media poblacional.
Ejemplo:
La media poblacional será algún valor comprendido entre 158,37 y 161,63 con un 95% de confianza de que voy a acertar y un 5% en que me voy a equivocar (el máximo).
Para reducir el riesgo de error , hay que reducir el valor de α y así que el intervalo de confianza aumente (el brazo será más grande). Para conseguir que el error sea 0, el intervalo tendría que ser infinito. Este intervalo de confianza nos indica la precisión del experimento.
La precisión varía en función del error α. Con α= 0,05, se dice que se estima el valor de la población con una precisión de 1,96 unidades. Para α= 0,01, diremos que es con 2,15 unidades. No se puede estimar μ con una precisión mala, que es cuando el intervalo es demasiado grande. Está establecido que no se pueden hacer estimaciones fiables con errores superiores al 5%.
La precisión también depende de σ , pero éste es un parámetro invariable que depende de la población de estudio. La naturaleza hace que una variable varíe mucho o poco y, por ello, que σ sea mayor o menor. Si tenemos una variable cuya σ es muy grande, el “brazo” será grande, pero tiene σ muy pequeña, el “brazo” será pequeño.
El único parámetro que podemos modificar para obtener buenas predicciones es el número de individuos de la muestra, n.
Queremos que la precisión , ∆ (el brazo) sea 1’2. Despejamos n para saber cuántas observaciones tenemos que tomar, es decir, el número de personas que se necesitan en el estudio.
Vemos que si ∆ es muy pequeña, y como toda la fórmula está elevada al cuadrado, n tendrá que ser muy grande. Esto demuestra que si la precisión baja, el tamaño de la muestra aumenta, pudiendo llegar a ser tan grande que dificulte poder estudiarlos con facilidad.
Distribuciones de probabilidad de v.a. continuas
Para conocer intervalos, despejo en las distintas ecuaciones. El problema será que solo sabré los parámetros de la población o de la muestra, por eso no podré usar cualquier ecuación. Cada una tiene un uso determinado en función de los datos de que dispongo:
- Distribución Z : necesitamos la media de la muestra, la μ y σ de la población. Permite calcular el intervalo de probabilidad de X media , porque ésta queda en función de μ y σ, pero no los intervalos de confianza.
- Ji cuadrado : relaciona las varianzas, s 2 y σ 2. Si despejo σ me queda en función de s 2 y si despejo s 2 me queda en función de σ. Puedo usarla para intervalos de probabilidad o de confianza.
- T de Student : requiere la media y la s de la muestra y la μ de la población. Si despejo X media me queda en función de μ y s, que no es correcto y no sirve para intervalos de probabilidad de X media. Si despejo μ, me queda en función de X media y s, por eso puedo calcular el intervalo de confianza de μ.
- Teorema de Moivre: solo se usa para variables cualitativas, que se explican por frecuencias.
Cuando la variable es cuantitativa puedo calcular la media y la desviación típica, por eso usaremos la distribución Z, la Ji cuadrado y T de Student.
El porcentaje de caries es un número entre 0,132 y 0,328. La precisión es 0,098. El error es del 5%.
