tablas de bioestadistica, Apuntes de Bioestadística

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BIOESTADÍSTICA

AÑO 2024

Cuadernillo

de Trabajos Prácticos

Edición

Docentes de la Cátedra Biometría y Técnica Experimental

Profesor Asociado

Mg. Ing. Agr. Osvaldo Ernesto A. Arce

Profesores Adjuntos

Ing. Agr. Julio Manzur

Ing. Agr. María Beatriz García

Jefa de Trabajos prácticos

Dra. María Josefina Ruiz

Profesores Ayudantes

Mg. Gonzalo Antonio Perez

Dra. Gabriela A. Valladares

Ayudantes Estudiantiles

Florencia Carolina Banegas

Santiago Nicolás Luna

Tema 1: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1. La siguiente serie de datos muestra el peso en kg de 25 terneros de la raza Charolais:

a) Decir qué tipo de variable es peso del ternero.

b) Calcule la media aritmética y modo.

c) Calcule la varianza, desvío estándar y coeficiente de variación.

d) Elimine el valor 34 y rehaga los puntos b) y c) (tenga en cuenta que ahora hay un número

par de datos).

2. Con los mismos datos del ejercicio 1:

a) Confeccione una tabla de distribución de frecuencias.

b) Calcule media aritmética ponderada y modo. Compare con los resultados del ejercicio 1.

c) Calcule la varianza ponderada.

d) Confeccione un histograma y un polígono de frecuencias.

3. Los siguientes datos corresponden al número de hermanos de un grupo de personas

a) Decir qué tipo de variable es número de hermanos.

b) Calcule media aritmética, mediana, modo y cuartos.

c) Haga un resumen de 5 números.

d) Represente los datos gráficamente mediante un diagrama de caja y extensión.

e) Confeccione una tabla de distribución de frecuencias.

f) Calcular la media aritmética a partir de los datos de la tabla. Compare con lo obtenido en el

punto b.

g) Calcular la varianza, desvío estándar y coeficiente de variación.

h) Grafique la distribución de frecuencias relativas.

4. Con la información proporcionada en el siguiente cuadro:

Existencias de bovinos (en miles), por composición del rodeo, según provincia.

Provincia Total

Terneras y

terneros

Vaquillonas Vacas

Novillos y

novillitos

Toros y

toritos

Bueyes y

torunos

Buenos Aires 16.856,1 3.280,8 2.368,8 7.519,2 3.276,3 375,8 35,

Córdoba 6.573, 2 1. 265 , 2 1. 142 , 5 2. 276 , 9 1. 769 , 4 119 , 3 Sin datos

Corrientes 3.640,5 438,4 800,3 1.883,5 406,2 97,8 14,

Chaco 2.502,6 457,1 444,2 1.011,8 460,2 119,3 10,

Entre Ríos 3. 660 , 0 564 , 3 577 , 7 1. 652 , 7 768 , 4 83 , 1 13 , 7

Formosa 1,015,1 191,9 185,8 442,7 148,1 43,1 3,

La Pampa 3,002,7 557,2 361,8 1.124,9 888,3 69,5 0,

San Luis 1. 173 , 1 215 , 9 153 , 8 596 , 2 173 , 2 33 , 8 0 , 2

Santa Cruz 46,8 7,1 5,8 23,1 5,4 1,5 3,

Santa Fe 6.327,8 1.028,6 1.001,8 2.443,8 1.728,1 122,6 2,

Santiago del

Estero

Total 45.568,7 8.170,3 7.175,6 19.312,0 9.737,4 1.088,5 84,

a) Confeccione un gráfico de barras con los totales de bovinos por provincia. Interprete.

b) Presente la misma información en un gráfico de torta.

c) Exprese en forma porcentual la composición del rodeo de la provincia de Buenos Aires y

represente la información en un gráfico de torta. Interprete.

d) Haga lo mismo para todas las provincias.

8. El cuadro de valores que se da a continuación representa el número de vacas en 30

establecimientos rurales:

a) Calcule la media aritmética, la mediana, primer y tercer cuartos y el modo.

b) Calcule la varianza, desvío estándar y coeficiente de variación.

c) Represente la información en un diagrama de caja y extensión

d) Construya una tabla de distribución de frecuencias absolutas, relativas, acumuladas absolutas

y acumuladas relativas

e) Calcule la media a partir de la tabla del punto d). Compare con los valores obtenidos en a).

f) Construya un diagrama de barras en función de las frecuencias absolutas y otro en función de

las frecuencias relativas.

9. La empresa A tiene 100 empleados con un sueldo promedio por empleado de $250. La

empresa B tiene 200 empleados con un sueldo promedio de $240 (use la fórmula de la media

ponderada).

a) ¿Cuál es el sueldo promedio de las dos empresas en conjunto?

b) Si a las dos empresas se agrega una tercera empresa con 50 empleados y un sueldo

promedio mensual por empleado de $ 300, ¿cuál es el sueldo promedio para las tres empresas

en conjunto?

10. Investigadores están tratando de desarrollar una variedad de lenteja que tenga un número

más uniforme de granos/vaina. Los números de granos por vaina para la variedad más usada y

la nueva son los siguientes:

Variedad usada Variedad nueva

¿Qué podría concluir acerca de la variabilidad en ambas variedades?

11. Los siguientes datos corresponden a un ensayo de cultivares de soja realizado en un ensayo

con seis repeticiones. Los datos están expresados en kg/ha.

Repetición

Cultivar de soja I II III IV V VI

A7322 4238 4059 3928 4379 4100 4200

A7636 3832 3721 3689 3594 3700 3800

A8000 3622 3483 3464 3447 3455 3300

Mágica 3711 3532 3425 4092 3900 3315

DM4800 3381 3354 3320 3421 3600 3700

Munasqa 3715 3528 3480 3941 3900 3700

Los datos se encuentran representados gráficamente en la siguiente figura:

Analice la figura y realice las siguientes tareas:

a) Identificar medianas, distancias intercuartos, máximos, mínimos, valores atípicos.

b) Indique cuál/es de las distribuciones muestran asimetrías pronunciadas.

c) ¿Cuál/es de las distribuciones presentan mayor variabilidad y menor variabilidad?

Ordenarlas según su variabilidad.

14. Los siguientes datos corresponden a la ganancia de peso por día (expresada en gramos), de

novillos sometidos a una dieta experimental, obtener medidas descriptivas, graficar e

interpretar la información contenida en esta muestra.

15. Los siguientes datos se refieren al número de dientes por hoja en bulbos de ajo:

a) Construir la tabla de distribución de frecuencias y representarla gráficamente.

b) ¿Cuál es la proporción o probabilidad aproximada de encontrar hojas con menos de dos

dientes?

c) ¿Cuál es la proporción o probabilidad aproximada de encontrar hojas con más de dos

dientes?

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

a) Se trata de una variable cuantitativa continua. Las variables cuantitativas continuas se generan

cuando los datos se obtienen usando un instrumento de medición, en este caso una balanza.

Siempre pueden ser expresadas con valores decimales dependiendo del grado de precisión del

instrumento de medición. En este conjunto de datos los valores fueron redondeados a números

enteros.

b) Cálculo de media aritmética y modo.

• Media Aritmética

La media es 36,4 kg

X kg

N

x

N

i

i 36 , 40

1



• Modo: Es el valor más frecuente

Mo = 36

c) Cálculo de varianza, desvío estándar y coeficiente de variación

• Varianza

Var (x) = 7,

• Desvío estándar
• Coeficiente de variación

a) Confección de una tabla de distribución de frecuencias.

El primer paso a seguir en la construcción de una tabla de distribución de frecuencias es

determinar el número apropiado de intervalos de clase k que se puede calcular con la siguiente

regla k = log 2

(n+1) (log

2

) se puede obtener como

log

2

(x)=log

a

(x)/log

a

(2)), donde n es el número de datos en la muestra

En este ejemplo k = 4,7 por lo tanto hacemos 5 intervalos de clase

El segundo paso a seguir es averiguar la amplitud de los intervalos de clase. Un cálculo

aproximado se obtiene dividiendo la amplitud en el número de intervalos de clases que se desean

construir

1 1

( )

2

1

1

2

1

2

2



























 



 

n

n

x

x

n

x x

Varx s

N

i

i

N

i

i

N

i

i

7 , 33

24

25

910

33300

( )

2

2





Varx  s 

( ) 7 , 33 2 , 71

2

DEx  s s  

100 7 , 44

36 , 40

2 , 71

%  x 100  x 

x

s

CV

c) Cálculo de la varianza ponderada

Las expresiones para el cálculo de la varianza son las siguientes:

ଶ

௜

ଶ

௜

௜

ଶ

௜

௜

ଶ

El cálculo para nuestro ejemplo sería:

ଶ

ଶ

d) Confección de un histograma y un polígono de frecuencias.

Se lo puede construir con las frecuencias absolutas o con las frecuencias relativas

Histograma en función de las frecuencias relativas:

Ejercicio 3

a) El número de hermanos es una variable cuantitativa discreta. Las variables de este tipo

normalmente se generan cuando se realizan conteos. Solo toman números enteros.

b) Media aritmética, mediana, modo y cuartos.

Media aritmética:

Mediana

En primer lugar, se deben ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor

Los elementos ordenados de menor a mayor resultan:

0 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5

Me= 2,

Posición de la mediana = (n+1)/2 = (12+1)/2 = 6,5 (es el promedio del sexto y séptimo dato)

Me = (2+3)/2 = 2,

Modo: Mo= 2

Para confeccionar un diagrama de caja y extensión se necesita la siguiente información: mediana,

primer cuarto (H 1

), tercer cuarto (H 3

), valor máximo, valor mínimo (están en el resumen de cinco

números), distancia intercuartos (d H

) y puntos de corte. Estos últimos determinan cuales valores

son “anormalmente” grandes o pequeños.

El cálculo de la distancia intercuartos resulta:

Donde H 3

y H

1

son el tercer y primer cuarto respectivamente.

Se consideran valores alejados a aquellos valores del conjunto de datos que son mayores al

número obtenido a partir de (2) o menores que el obtenido a partir de (1). (1) y (2) son llamados

puntos de corte y no se dibujan en el diagrama de caja y extensión:

Los valores alejados suelen representarse con una X

Se consideran valores muy alejados a aquellos valores del conjunto de datos que son mayores al

número obtenido a partir de (4) o menores que el obtenido a partir de (3). Estos valores tampoco se

dibujan en el diagrama

Los valores muy alejados suelen representarse con O.

El cálculo da:

Valores alejados:

H

1

• 1,5 d

H

H

3

• 1,5 d H

Valores muy alejados:

H

1

• 3 d

H

H

3

• 3 d H

En el ejemplo no hay datos alejados

La mediana se dibuja en la parte interna de la caja representada por una línea, mientras que el

rectángulo representa la media. Los extremos de esta última son los cuartos primero y tercero

respectivamente.

H

1

• 1,5 d H

H

3

+ 1,5 d

H

H

1

• 3 d H

H

3

+ 3 d

H

d

H

= H

3

– H

1

Posteriormente se deben identificar cuáles son los datos que están por arriba o por debajo de los

puntos de corte. Los brazos se extienden hasta el valor mínimo del conjunto de datos, que no haya

resultado menor a los puntos de corte (1) y (3) hacia abajo, y hasta el valor máximo, que no resultó

mayor a los puntos de corte, hacia arriba. Por arriba y por debajo de los brazos se identifican los

valores alejados con una X y los muy alejados con O.

e) Tabla de distribución de frecuencias

x i

f i

F

i

f ir

F

ir

Total 12 1

f) Para el cálculo de la media aritmética se puede aplicar el procedimiento explicado en el

ejercicio 1. Pero como disponemos de la tabla de distribución de frecuencias podemos

hacer uso de la expresión para la media aritmética ponderada, lo cual simplifica los

cálculos. La única diferencia aquí es que x

i

no es la marca de clase sino cada uno de los

valores posibles de la variable cuantitativa discreta.

௜

௜

௜

a) Gráfico de barras

b) Para hacer un gráfico de torta primero se deben expresar los datos en porcentajes:

Provincia Total %

Buenos Aires 16. 856 , 1 37 , 0

Córdoba 6.573,2 14,

Corrientes 3.640,5 8,

Chaco 2. 502 , 6 5 , 5

Entre Ríos 3.660,0 8,

Formosa 1.015,1 2,

La Pampa 3.002,7 6,

San Luis 1. 173 , 1 2 , 6

Santa Cruz 46,8 0,

Santa Fe 6.327,8 13,

Santiago del

Estero

Total 45. 568 , 7 100

0

4.000 8.

12.000 16.

Buenos Aires

Córdoba

Corrientes

Chaco

Entre Ríos

Formosa

La Pampa

San Luis

Santa Cruz

Santa Fe

Santiago del Estero

en miles

Existencias de bovinos -

Año 1998

c)

Provincia Total Terneras

y

terneros

Vaquillonas Vacas Novillos y

novillitos

Toros

y

toritos

Bueyes y

torunos

Buenos Aires 16.856,1 3.280,8 2.368,8 7.519,2 3.276,3 375,8 35,

Buenos Aires

Corrientes Córdoba

Chaco

Entre Ríos

Formosa

La Pampa

San Luis

Santa Cruz

Santa Fe

Santiago del

Estero