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474 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
En los ejercicios 1 a 14, usar el método de las capas para formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado al girar la región plana alrededor del eje y****.
1. y x 2. y 1 x
3. y^ ^ x^ 4. y 12 x^2 1
En los ejercicios 15 a 22, usar el método de las capas para formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado al girar la región plana alrededor del eje x****.
15. y x 16. y^ ^1 ^ x 17. y
x
18. x y^2 16
En los ejercicios 23 a 26, usar el método de las capas para encontrar el volumen del sólido generado al girar la región plana alrededor de la recta dada.
**23.
26.**
En los ejercicios 27 y 28, decidir si es más conveniente usar el método de los discos o el método de las capas para encontrar el volumen del sólido de revolución. Explicar el razonamiento. (No encontrar el volumen.)
27. S y 2 D^2 4 x 28. y^ ^4 ^ ex
En los ejercicios 29 a 32, usar el método de los discos o el de las capas para encontrar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones alrededor de cada recta dada.
29. a ) el eje x b ) el eje y c ) la recta x 4
30.
a ) el eje x b ) el eje y c ) la recta y 10
31. a ) el eje x b ) el eje y c ) la recta x a
x 1
1
2
2
y
x 1
1
y
x 4
2
4
2
y
x 1
1
2
2
y
1 2
1
1 4
1 2
1 2
3 2
3 4
x
y
4 8 12 2 3 4
1
2
3
4
x
y
y x 2 , y x , y 0
x y 4, y x , y 0
y x^3 , x 0, y 8 y x^2 , x 0, y 9
alrededor de la recta y x , y 0, x 4,alrededor de la recta x 6
y 4 x x^2 , y 0, x 5
1 1 1 2 3 4
1
2
3
5
x
y
3 2 1 1 2 3
2 1
3
4
5
x
y
x^1 Y^2 y^1 Y^2 a^1 Y^2 , x 0, y 0
y y 0, x 1, x 5
x^2 ,
y x^3 , y 0, x 2
7.3 Ejercicios
y y 0, x 0, x 1
e x^2 ^2 ,
y x^2 1, y 0
y x 2 , y 0, x 4
y 3 x , y 6, x 0
y 4 x x^2 , x 0, y 4
y 4 x^2 , y 0
y x^2 , y 4 x x^2
y 14 x^2 , ^ y 0, x 6
y x^2 , y 0, x 3
y y 0, x 0, x P
sen x x
, x > 0
1, x 0
2 1 1 2
1
2
3
4
x
y
x 1
1
2
4
2
1
y
alrededor de la recta y x^2 , y 4 x x^2 ,alrededor de la recta x 2
y x^2 , y 4 x x^2 , x 4
fifiCCfiÓfi fififi Lfinfiifififi fie arcfi fi fififierficiefi fie revfififición 485
En los ejercicios 1 y 2, encontrar la distancia entre los puntos usando a ) la fórmula de la distancia y b ) la integración fi
1. fifififififi fifififififi 2. fififi2fifi fifififififi
En los ejercicios 3 a 16, encontrar la longitud de arco de la gráfica de la función en el intervalo indicado fi
En los ejercicios 17 a 26, a ) representar la función, resaltando la parte indicada por el intervalo dado, b ) encontrar una integral definida que represente la longitud de arco de la curva sobre el intervalo indicado y observar que la integral no puede evaluarse con las técnicas estudiadas hasta ahora y c ) usar las capacidades de la integración en una calculadora para aproximar la longi- tud de arco fi
17.
18.
Aproximación En los ejercicios 27 y 28, determinar qué valor se aproxima mejor a la longitud de arco representada por la in- tegral. (Hacer la selección con base en un esquema del arco y no realizando cualquier cálculo.)
Aproximación En los ejercicios 29 y 30, aproximar la longitud de arco de la gráfica de la función en el intervalo [0, 4] de cuatro maneras. a ) Usar la fórmula de la distancia para encontrar la dis- tancia entre los puntos terminales del arco. b ) Usar la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los cuatro segmentos de recta que conectan los puntos en el arco cuando x 0, x 1, x 2, x 3 y x 4. Encontrar la suma de las cuatro longitudes. c ) Usar la regla de Simpson con n 10 para aproximar la integral que dé la longitud del arco indicada. d ) Usar las capacidades de la integración de una calculadora para aproximar la integral que dé la longitud del arco indicada fi
29. 30. 31. Longitud de una catenaria Cafifiefiefiécfiricfifififififienfiifififienfire fififififirrefififirfi an fina cafienaria fiver fiififirafifi fifiefiafia fi efiianfie fia ecfiación
y 20 cosh
x 20
, 20 x 20
fifinfie x fi y fie fi ifien en fi efirfififiLa fiefiaración fie fiafi fifirrefi efi fie fifi fi efirfifififincfinfirar fia fifinfiifififi fieficafifie fifififienfiifififi
x fi fi y y fifi fi ≤ y ≤ fi
x fi fi y^2 2 fi^2 fi fi ≤ y ≤ fi
y fin fin 2fifin fi
ex^ fi ex^ fi
fi
y fi 2 ex^ e x fi fifi
fifi
fi
y fincfifi x fi
fi
fi
fi fi
y finfien x fi
y fifi2fi
fi 2
y 2fifi x^2 fi^ fifi
x fi fifi
fi fi x fi
fi
y x^2 x 2fi 2 ≤ x ≤ fi
y fi x^2 fi fi x 2
x fifi y^2 fi fi ≤ y ≤ fi
y 2 arcfian x fi fi ≤ x ≤ fi
y fin x fi fi ≤ x ≤ fi
x e y fi fi ≤ y ≤ 2
2
≤ x ≤
2
y cfifi x fi
y fien x fifi ≤ x ≤
y fi ≤ x ≤ fi
fi x fi
fi
a fi 2fi b fi fi c fi 2 d fi e fi fi
a fi fi b fi c fi fi d fi e fi fi
fi fi
fi
fi
fi^ ^
d dx fian^ x
2 dx
fi
2
fi
fi
d dx
fi x^2 fi
2 dx
f x x fi f x x^2 fi^2
7.4 Ejercicios
y = ( x^2 + 1)3/ x
y
− 1 1 2 3 4 − 1
1
2
3
4
2 3
y
x^2 1 ^3 ^2
y = + x
y
1 2 3 4
1
2
3
4
x^3 6
1 2 x
y
x^3 6
2 x
− 1 1 2 3 4 − 1
1
2
3
4
y = 23 x 3/2^ + 1 x
y
y
x^3 ^2 1
y 3 1, 8 2
x^2 ^3 , y x 1, 3
4 8
4 x^2
y fi ≤ x ≤ fi
fi x fi
x −2fi −fifi fifi 2fi
fifi
fifi
y
y 2 x fi^2 fi
2 fi fi fi fifi fi
fifi
2fi
fifi
fifi
fifi
fifi
y fi 2 x fifi^2 fi fi x
y
