INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA QUIMICA E INDUSTRIAS EXTRACCTIVAS
METODOS NUMERICOS
TAREA 2. ECUACIONES NO LINEALES: METODO NEWTON-RHAPSON
Problema 1. Calcule el volumen específico molar del metano a 200ºC para los valores de presión dados en la
siguiente tabla:
P
50
55
58
62
65
70
77
83
87
94
96
120
V
La presión está dada en atm y el volumen en lt. Utilice la ecuación de estado de Gas Ideal como valor inicial
para cada caso y luego encuentre el volumen utilizando para ello la ecuación de estado de Van der Waals:
(𝑷+ 𝒂
𝑽𝟐)(𝑽−𝒃)=𝑹𝑻
con los valores de 𝒏 = 𝟏𝒎𝒐𝒍, 𝑹 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟐𝟎𝟓 𝒂𝒕𝒎𝑳𝒕
𝒈𝒎𝒐𝒍𝑲, 𝒂 = 𝟐.𝟐𝟕𝟑𝟐𝑳𝒕𝟐𝒂𝒕𝒎
𝒎𝒐𝒍𝟐, 𝒃 = 𝟎.𝟎𝟒𝟑𝟎𝟔 𝑳𝒕
𝒎𝒐𝒍. Use el método de
Newton-Raphson con un número máximo de iteraciones de 10 y una tolerancia 𝜺 = 𝟏.𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟒
Para la solución, debemos de igualar la ecuación a cero:
𝑓(𝑥)= 0 (𝑃+ 𝑎
𝑉2)(𝑉 − 𝑏)−𝑅𝑇 = 0
Resolvemos paréntesis:
𝑃𝑉−𝑃𝑏 +𝑎𝑉
𝑉2−𝑎𝑏
𝑉2−𝑅𝑇 = 0
Multiplicamos por 𝑉2
(𝑃𝑉 −𝑃𝑏+𝑎𝑉
𝑉2−𝑎𝑏
𝑉2−𝑅𝑇)𝑉2= 0(𝑉2) → 𝑃𝑉3−𝑃𝑏𝑉2+𝑎𝑉 −𝑎𝑏−𝑅𝑇𝑉2= 0
Agrupamos términos semejantes
𝑃𝑉3−(𝑃𝑏 +𝑅𝑇)𝑉2+𝑎𝑉 −𝑎𝑏 = 0
Sustituimos valores
𝑃𝑉3− (𝑃 (𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟎𝟔 𝑳𝒕
𝒎𝒐𝒍)+ (𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟎𝟓 𝒂𝒕𝒎𝑳𝒕
𝒈𝒎𝒐𝒍𝑲)473.15𝐾)𝑉2+ (𝟐.𝟐𝟕𝟑𝟐𝑳𝒕𝟐𝒂𝒕𝒎
𝒎𝒐𝒍𝟐)𝑉 − (𝟐.𝟐𝟕𝟑𝟐𝑳𝒕𝟐𝒂𝒕𝒎
𝒎𝒐𝒍𝟐)(𝟎.𝟎𝟒𝟑𝟎𝟔 𝑳𝒕
𝒎𝒐𝒍) = 0
Obtenemos la derivada
𝑑(𝑓(𝑉))
𝑑𝑉 =𝑑
𝑑𝑉(𝑃𝑉3−(𝑃𝑏 +𝑅𝑇)𝑉2+𝑎𝑉 −𝑎𝑏)
𝑓´(𝑉) = 𝑑
𝑑𝑉(𝑃𝑉3) − 𝑑
𝑑𝑉((𝑃𝑏 +𝑅𝑇)𝑉2)+𝑑
𝑑𝑉(𝑎𝑉)−𝑑
𝑑𝑉(𝑎𝑏)
𝑓´(𝑉) = 3𝑃𝑉2−2𝑉(𝑃𝑏+𝑅𝑇)+ 𝑎
Sustituyendo valores
𝑓´(𝑉) = 3𝑃𝑉2−2𝑉 (𝑃 (𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟎𝟔 𝑳𝒕
𝒎𝒐𝒍)+ (𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟎𝟓 𝒂𝒕𝒎𝑳𝒕
𝒈𝒎𝒐𝒍𝑲)473.15𝐾)+ (𝟐.𝟐𝟕𝟑𝟐𝑳𝒕𝟐𝒂𝒕𝒎
𝒎𝒐𝒍𝟐
