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Ecuación en diferencia IIR y [ n]=b 0 x [n]+b 1 x [n− 1 ]+b 2 x [n− 2 ]−a 1 y [n− 1 ]−a 2 y [n− 2 ]+a 3 y [n− 3 ] Diagrama de bloques Transformada Z de la Ecuación en Diferencia IIR Para encontrar la transformada Z de esta ecuación, realizamos la transformada Z en ambos lados de la ecuación. La transformada Z de una secuencia x^ [n]^ se denota como X ( z), y la transformada Z de una secuencia y [ n] se denota como Y (z ). Aplicando la transformada Z: Y (z )=b 0 X (z)+b 1 z − 1 X (z)+b 2 z − 2 X ( z )−a 1 z − 1 Y ( z)−a 2 z − 2 Y (z )+ a 3 z − 3 Y (z ) Ahora, agrupamos términos relacionados a Y ( z ) en un lado y términos relacionados a X ( z) en el otro lado de la ecuación: Y ( z )+ a 1 z − 1 Y (z )+a 2 z − 2 Y (z )−a 3 z − 3 Y ( z)=b 0 X ( z )+b 1 z − 1 X ( z)+b 2 z − 2 X (z) Factorizamos Y ( z ) en el lado izquierdo de la ecuación:
Y ( z )( 1 + a 1 z
− 1 +a 2 z − 2 −a 3 z − 3
)= X ( z)(b 0 +b 1 z
− 1
Finalmente, despejamos Y ( z ) dividiendo ambos lados por la expresión en paréntesis en el lado izquierdo:
Y ( z )=
X ( z )( b 0 +b 1 z−^1 +b 2 z−^2 )
1 +a 1 z − 1
- a 2 z − 2 −a 3 z − 3 Cálculo de la Función de Transferencia H ( z ) Dada la transformada Z de la ecuación en diferencia IIR: Y ( z )=
X ( z )( b 0 +b 1 z
− 1 +b 2 z − 2
1 +a 1 z − 1
- a 2 z − 2 −a 3 z − 3 La función de transferencia (^) H ( z ) se define como la relación entre la transformada Z de la salida Y (z ) y la transformada Z de la entrada X ( z) : H (z )= Y (z ) X ( z ) Sustituyendo la expresión de Y (z ) y X ( z) en la ecuación de H (z ) : H (z )=
X (z) (b 0 + b 1 z
− 1 +b 2 z − 2
1 + a 1 z − 1 +a 2 z − 2 −a 3 z − 3 X (z ) Ahora, simplificamos la expresión cancelando (^) X ( z) en el numerador y el denominador: H (z )= b 0 + b 1 z − 1 +b 2 z − 2 1 + a 1 z − 1
- a 2 z − 2 −a 3 z − 3 Cálculo de la Respuesta en Frecuencia del Sistema Dada la función de transferencia (^) H (z ) del sistema: H (z )= b 0 + b 1 z − 1 +b 2 z − 2 1 + a 1 z − 1
- a 2 z − 2 −a 3 z − 3 Para encontrar la respuesta en frecuencia del sistema, sustituimos z por (^) e jω, donde ω es la
frecuencia angular en radianes por segundo. La respuesta en frecuencia se denota como H ( e jω^ )
H ( e jω^ )=
b 0 +b 1 e − jω
- b 2 e − 2 jω 1 +a 1 e − jω +a 2 e − 2 jω −a 3 e − 3 jω Esta expresión representa la respuesta en frecuencia del sistema en función de la frecuencia angular ω.
Cálculo de la Respuesta en Fase del Sistema
Dada la respuesta en frecuencia H ( e jω^ ) del sistema:
H ( e
jω
b 0 +b 1 e − jω
- b 2 e − 2 jω 1 +a 1 e − jω +a 2 e − 2 jω −a 3 e − 3 jω
Para calcular la respuesta en fase de esta respuesta en frecuencia, primero expresamos H ( e jω^ ) en
términos de sus partes real e imaginaria. La parte real se denotará como (^) A( ω) y la parte imaginaria como (B(lomega): A(ω)=b 0 + b 1 cos ( ω)+b 2 cos ( 2 ω) B(ω)=−b 1 sin (ω)−b 2 sin ( 2 ω)
Luego, aplicamos la fórmula del arco tangente para calcular la fase Θ(ω) de H ( e jω^ ) :
Θ(ω)=arctan ( B(ω ) A (ω))
Donde A(ω) y B(ω) son las partes real e imaginaria de H ( e jω^ ) respectivamente. La función
arctan calcula el ángulo cuya tangente es la razón B(ω)/ A(ω). Esta expresión representa la respuesta en fase del sistema en función de la frecuencia angular ω.
Ecuación en diferencia FIR y [ n]=b 0 x [n]+b 1 x [n− 1 ]+b 2 x [n− 2 ]+ b 3 x [n− 3 ]+b 4 x [n− 4 ]+b 5 x ¿ 5 ¿+b 6 x [n− 6 ]+b 7 x [n− 7 ]+b 8 x [n− 8 ] Transformada Z de la ecuación en diferencia FIR Para calcular la transformada Z de esta ecuación, aplicamos la definición de la transformada Z: Y (z )=∑n=−∞ ∞ y [n]z −n =∑n =−∞ ∞ ¿
3 ¿+b 4 x [n− 4 ]+b 5 x [ n− 5 ]+ b 6 x [n− 6 ]+ b 7 x [n− 7 ]+ b 8 x [n− 8 ]) z
−n Ahora, distribuyendo la suma en términos de n : Y ( z )=b 0 ∑n=−∞ ∞ x [n ]z −n
- b 1 ∑n=−∞ ∞ x [n− 1 ] z −n +b 2 ∑n=−∞ ∞ x [n− 2 ]z −n +¿ b 3 ∑n=−∞ ∞ x[n− 3 ] z −n +b 4 ∑n=−∞ ∞ x [n− 4 ] z −n +b 5 ∑n=−∞ ∞ x [n− 5 ] z −n +¿ b 6 ∑n=−∞ ∞ x [n− 6 ] z −n +b 7 ∑n=−∞ ∞ x [n− 7 ] z −n +b 8 ∑n=−∞ ∞ x [n− 8 ] z −n Utilizando una propiedad común de la transformada Z para el desplazamiento temporal x [n−k ]↔ z −k X ( z ), donde^ X^ (^ z)^ es la transformada^ Z^ de^ x^ [n], podemos simplificar la expresión: Y (z )=b 0 X (z)+b 1 z − 1 X ( z)+b 2 z − 2 X (z )+ b 3 z − 3 X ( z)+b 4 z − 4 X (z )+ ¿ b 5 z − 5 X ( z)+b 6 z − 6 X ( z )+ b 7 z − 7 X (z)+b 8 z Ahora, factorizando X ( z) comúnmente en cada término: ¿ Así que la transformada Z de la ecuación en diferencia FIR es: Y (z )=X ( z) ⋅ H (z) Donde H ( z ), la respuesta en Z del sistema, está dado por: H ( z )=b 0 +b 1 z − 1 +b 2 z − 2 +b 3 z − 3 +b 4 z − 4 +b 5 z − 5 +b 6 z − 6 +b 7 z − 7 +b 8 z − 8 Cálculo de la Función de Transferencia H (z )
Ahora, aplicamos la identidad de Euler para expresar (^) e−^ jω^ y (^) e jω^ en términos de coseno y seno:
H (^ e
jω
)=b 0 +b 1 (cos (ω )− j sin (ω))+b 2 (cos ( 2 ω)− jsin ( 2 ω))+b 3 (cos ( 3 ω)−¿ jsin ( 3 ω))+ b 4 ( cos ( 4 ω)− j
A continuación, simplificamos la expresión combinando términos reales e imaginarios: ¿ La magnitud de la respuesta en frecuencia se calcula usando la ecuación: ¿ Esta es la ecuación para la magnitud de la respuesta en frecuencia del sistema en función de la frecuencia angular ω. Cálculo de la Respuesta en Fase del Sistema La respuesta en fase se calcula utilizando la función arco tangente de la razón entre las partes
imaginaria y real de H ( e jω^ ).
Recordemos la respuesta en frecuencia que calculamos: ¿ La respuesta en fase Θ(ω) se calcula como: Θ(ω)=arctan
−∑ k= 1 8 ❑ bk sin (kω) ∑ k= 0 8
❑ bk cos (kω) )
Donde a es la suma de las partes reales y b es la suma de las partes imaginarias de H ( e jω^ ). En
este caso, a se refiere a la suma de las partes reales de los términos y b se refiere a la suma de las partes imaginarias de los términos. Esta ecuación te proporciona la respuesta en fase Θ(ω) del sistema en función de la frecuencia angular ω.
