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TEOR´IA DE C ´ODIGOS Y CRIPTOGRAF´IA Examen 13-1-
SOLUCIONES
- Sea C = { 21234 , 42413 , 13142 , 34321 , 00000 } ⊂ F^55.
(i) Calcular los par´ametros (n, M, d)q del c´odigo C.
(ii) Decidir si C es un c´odigo lineal y en caso afirmativo dar una matriz generadora.
Soluci´on:
(i) q es el cardinal del alfabeto en el que est´an escritas las palabra del c´odigo, en nuestro caso F 5 , por lo tanto q = 5. n es la longitud de las palabras del c´odigo, por lo tanto n = 5. M es el cardinal de C, as´ı M = |C| = 5. Para calcular d tenemos que calcular la m´ınima distancia de Hamming entre todas las palabras del c´odigo, en nuestro caso d(x, y) = 5 para todo x, y ∈ C distintos. As´ı hemos visto que C es un (5, 5 , 5) 5 -c´odigo.
(ii) Si denotamos por u = 13142, se observa que 21234 = 2u, 42413 = 4u y 34321 = 3u. Esto nos permite asegurar que C = 〈u〉F 5 , por lo tanto C es un c´odigo lineal sobre F 5 generado por u. As´ı una matriz generadora de C es G = (13142) ∈ M 1 x 5 (F 5 ).
- Demostrar que el c´odigo lineal generado por la matriz
G =
∈ M 2 x 4 (F 3 )
es un c´odigo Hamming Ham(r, q) y determinar r y q.
Soluci´on 1: La matriz G es equivalente a la siguiente matriz en forma est´andar ( 1 0 1 2 0 1 2 2
As´ı construimos la matriz de paridad siguiente
H =
Tenemos que las columnas de H son vectores representativos de P^1 (F 3 ). Por lo tanto CG es el c´odigo de Hamming Ham(2, 3). Soluci´on 2: Se observa que la matriz H obtenida anteriormente no tiene ninguna columna formada por ceros, ni ning´un par de columnas son proporcionales. Adem´as la segunda columna es igual a la suma de la tercera y la cuarta columna. Por lo tanto tenemos que CG es un [4, 2 , 3] 3 -c´odigo. Adem´as se tiene
= 3^4.
Esto es, CG es un c´odigo lineal perfecto con d = 3. Por lo tanto es un c´odigo Hamming Ham(r, q). Aqu´ı se tiene q = 3 y 4 = (3r^ − 1)/(3 − 1), de lo que se deduce r = 2. As´ı concluimos que CG es el c´odigo de Hamming Ham(2, 3).
- Se est´a utilizando un c´odigo lineal sobre F 5 que tiene la matriz generadora:
G =
y el alfabeto
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 El n´umero correspondiente a cada letra de la tabla anterior lo pasamos a base 5. As´ı todos los n´umeros de la tabla anterior se pueden escribir como x 0 + 5x 1. Esto es, como (x 0 , x 1 ) ∈ F^25. Ahora, cada letra del alfabeto la codificamos mediante (x 0 , x 1 )G = (y 0 , y 1 , z 0 , z 1 ) ∈ F^45 , obte- niendo una pareja de letras correspondiente a la pareja de n´umeros (y 0 + 5y 1 , z 0 + 5z 1 ). (i) Codificar la palabra CASA.
(ii) Recibimos el mensaje VPCC. Aseg´urate qu´e nos han querido decir usando decodifica- ci´on por m´ınima distancia.
Soluci´on: (i) Vamos a codificar la palabra CASA utilizando el c´odigo generado por la matriz G:
C ↔ 2 = 2 + 5 · 0 ↔ (2, 0) −→·G (2, 2 , 0 , 2) ↔ (12, 10) ↔ MK A ↔ 0 = 0 + 5 · 0 ↔ (0, 0) −→·G (0, 0 , 0 , 0) ↔ (0, 0) ↔ AA S ↔ 18 = 3 + 5 · 3 ↔ (3, 3) −→·G (1, 3 , 3 , 4) ↔ (16, 23) ↔ QY Por lo tanto CASA se codifica como MKAAQYAA.
(ii) Recordemos que el m´etodo de decodificaci´on por s´ındromes es un algoritmo que nos permite la decodificiaci´on por m´ınima distancia para c´odigos lineales. Adem´as sabemos que si el c´odigo tiene distancia d = 2t + 1 ´o d = 2t + 2, entonces si se ha cometido hasta t errores, entonces el c´odigo los corrige. Calculemos en primer lugar la distancia del c´odigo generado por G. Utilizando el m´etodo de Gauss por filas vemos que G es equivalente a la siguiente matriz en forma est´andar ( 1 0 1 2 0 1 4 4
As´ı construimos la matriz de paridad siguiente
H =
Se observa que esta matriz no tiene ninguna columna formada por ceros, ni ning´un par de columnas son proporcionales. Adem´as la segunda columna es igual a la suma de la tercera y la cuarta columna. Por lo tanto vemos que d = 3. Esto nos asegura que el c´odigo CG corrige cuando se han cometido s´olo errores simples, ya que d = 3 = 2 · 1 + 1.
El c´odigo utilizado asigna a cada letra del alfabeto un digrafo escrito con letras del mismo alfabeto. As´ı el mensaje recibido hay que dividirlo en digrafos, para posteriormente escribirlo como vectores de F^45. En nuestro caso: (^) { V ↔ 21 = 1 + 4 · 5 ↔ (1, 4) P ↔ 15 = 0 + 3 · 5 ↔ (0, 3)
⇔ VP ↔ (1, 4 , 0 , 3)
C ↔ 2 = 2 + 0 · 5 ↔ (2, 0)
C ↔ 2 = 2 + 0 · 5 ↔ (2, 0)
⇔ CC ↔ (2, 0 , 2 , 0)
Hemos visto que CG es 1-corrector. Si nos mandan una palabra c´odigo c ∈ CG y hemos recibido x = c + e, donde e ∈ F^45 es el error, si ω(e) ≤ 1 el c´odigo CG corregir´a correctamente. Si ω(e) = 0 esto quiere decir
- Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas. O en caso contrario dar un contraejemplo. Para todo n, d, q enteros positivos se tiene:
(i) Aq (n, d) < Aq (n + 2, 2 d).
(ii) Aq (n, d) = Aq (n + 2, 2 d).
(iii) Aq (n, d) > Aq (n + 2, 2 d).
Soluci´on 1: Veamos que las tres afirmaciones son falsas. Para ello vamos a utilizar repetidamente la cota de Singleton que nos dice Aq (n, d) ≤ qn−d+1. Recordemos que
Aq (n, 1) = qn^ y Aq (n, n) = q.
Las anteriores igualdades se demuestran viendo que si A es un alfabeto de q elementos entonces los c´odigos An^ y Repq (n) tienen qn^ y q elementos respectivamente. La cota de Singleton completa la demostraci´on de las anteriores igualdades. Tomemos n = 2 y d = 2, Entonces Aq (2, 2) = q = Aq (2 + 2, 2 · 2) = Aq (4, 4). Esto demuestra que las afirmaciones (i) y (iii) son falsas. Para ver que la afirmaci´on (ii) es falsa en general veamos que para n = 2, d = 1 y q = 2 no se tiene Aq (n, d) = Aq (n + 2, 2 d). Esto es, vamos a ver que A 2 (2, 1) 6 = A 2 (4, 2). Hemos visto que A 2 (2, 1) = 2^2. Ahora determinemos A 2 (4, 2). La cota de Singleton nos asegura que A 2 (4, 2) ≤ 23. Veamos que se da la igualdad, para ello vamos a construir un (4, 8 , 2) 2 -c´odigo. Sea C el c´odigo lineal generado por la matriz
Una matriz de paridad esta dada por (1 1 1 1). Como ninguna columna es 0 y todas son iguales se tiene que la distancia del c´odigo es 2. As´ı hemos demostrado A 2 (2, 1) = 4 < 8 = A 2 (4, 2).
Soluci´on 2: Veamos que las tres afirmaciones son falsas. Recordemos que
Aq (n, n) = q,
ya que la cota de Singleton nos asegura que Aq (n, n) ≤ q y el c´odigo Repq (n) tienen q elementos. Igual que antes para ver que las afirmaciones (i) y (iii) son falsas usamos n = d = 2. Obteniendo Aq (2, 2) = q = Aq (2 + 2, 2 · 2) = Aq (4, 4). Para demostrar que (ii) es falso utilizamos d = n > 2. As´ı tenemos Aq (n, n) = n, mientras que Aq (2 + n, 2 · n) = 0, ya que 2n > 2 + n si n > 2.
