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Universidad Privada Antenor Orrego
Escuela profesional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Industrial
Tarea de aprendizaje N°
Integrantes: - Canales Zapata, Fernando
- Cárdenas Prado, Luis - Cerna Ninatanta, Ander - Chinchay Julca, Erick - Chumbes Cevallos, Álvaro
-Chuyes Vigo, Alejandra
Profesor: Mechato Durand, Josel
Curso: Matemática I
2020-II
Índice
2. Determine si
f : A ⟶ B
f ( x )=
x
x− 1
A=R−{ 1 }
B=R−{ 1 }
es una función biyectiva
Resolución.
i)
f
x
1
=f
x
2
; x
1
, x
2
∈ A
ii)
∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A
tal que
x
1
x
1
x
2
x
2
y=
x
x− 1
x
1
. x
2
−x
1
=x
x
1
−x
2
y ( x− 1 )=x
, siempre que
x ≠ 1
−x
1
=−x
2
yx− y=x
x ∈ A
x
1
=x
2
xy−x= y
x ∈ A
Entonces es inyectiva
x ( y − 1 )= y
x ∈ A
x=
y
y− 1
; y ≠ 1 ⟶ y ∈ B
Así
f
es suryectiva.
En consecuencia
f
es biyectiva
3. Dadas las funciones
f ( x )=
√
x− 3
, g ( x )=x
2
Hallar (f ∘ g)(x) y su dominio
Resolución.
D
f
x ∈ R∨x ≥ 0 ∧ √
x− 3 ≠ 0
D
f
={ x ∈ R∨x ≥ 0 ∧ x ≠ 9 }
D
f
=[ 0 ,+∞ ⟩ −{ 9 }
D
g
=R
(f ∘ g)(x)=f (g( x ))=
g( x )− 3
√
x
2
(f ∘ g)(x)=
√
x
2
x ∈ D
f ∘ g
⇔ x ∈ Dg ∧ g ( x) ∈ D
f
x ∈ D
f ∘ g
⇔ x ∈ R ∧ g ( x ) ≥ 0 ∧ g( x)≠ 9
x ∈ D
f ∘ g
⇔ x ∈ R ∧ x
2
− 1 ≥ 0 ∧ x
2
x
2
(x− 1 )(x+ 1 ) ≥ 0
x− 1 = 0 → x= 1
x + 1 = 0 → x=− 1
x
2
x
2
x= √
10 ∨ x=− √
→ x
2
Si x ≠ √
10 ∧ x ≠− √
S=←∞ , 1 ¿ ∪ ¿
x ∈ D
f ∘ g
∘ g ⇔ X ∈ R ∧ x
2
− 1 ≥ 0 ∧ x
2
⇔ ( x ≤− 1 ∨ x ≥ 1 ) ∧ ¿)
D
f ∘ g
-2 -1 0 1 2
5. Dadas las funciones:
f ( x )= 1 − 3 √
x− x
2
g ( x )= 4 − 2 x
Hallar
f ∘ g
Resolución
1° Hallamos la regla de correspondencia:
( f ⋅ g ) ( x )=f ( g ( x ) )
Asi:
f ( g ( x ) )= 2 − 3
√
( 4 − 2 x) −( 4 − 2 x )
2
=
2 − 3 √− 12 + 14 x− 4 x
2
=
2 − 3 √
√
− 6 + 7 x− 2 x
2
( f ∘ g) ( x ) = 2 − 3 √
√
− 6 + 7 x − 2 x
2
7. La piscina mostrada en la figura tiene 4 pies de profundidad mínima, 10
pies de profundidad máxima, 60 pies de largo, 40 de ancho y el fondo es
un plano inclinado. Exprese el Volumen V del agua contenido en la
piscina en función de la altura del nivel del agua desde el extremo más
profundo
Resolución
d
h
→ d= 10 h
AreaEDC=
h∗d
h∗ 10 ∗h
→ 5 h
2
Volumen EDC (h)= 5 h
2
∗ 40 = 200 h
2
0 ≤ h ≤ 6 pies
Extrayendo Cara lateral
Figura Problema
Analizando el área EDC.
Por proporciones
Análisis volumen EDC
Volumen ABCD ( h )= 200 ∗ 36 + 60 ∗ 40 ∗( h− 6 )
Volumen ABCD ( h )= 7200 + 2400 ∗( h− 6 )
6 pies<h ≤ 10 pies
V
h
= 200 h
2
; 0 ≤ h ≤ 6
V ( h)= 7200 + 2400 ∗( h− 6 ) ; 6 < h≤ 10
8. Si
f ( x )=
x− 3
x− 1
( x+ 1 )
2
− 1 ; x ∈ [ 1 ; 2 ]
analizar rigurosamente si f es inyectiva, en
caso afirmativo, hallar f*(x) y sus dominios.
Ordenando la expresión:
f ( x )=
( x− 3 )∗( x− 1 ) + 1 −( x− 1 )
2
( x− 1 )
2
f
x
x
2
− 4 x+ 3 + 1 −x
2
( x− 1 )
2
→ f ( x )=
3 − 2 x
( x− 1 )
2
Definiendo las condiciones de inyectividad
( 1 ) f
x
1
=f
x
2
→ x 1 =x
2
; x
1
, x
2
∈ [ 1 ; 2 ]
f ( x 1 )=
3 − 2 x 1
( x 1 − 1 )
2
; f ( x 2 )=
3 − 2 x 2
( x 2 − 1 )
2
; x 1 , x 2 ∈ [ 1 ; 2 ]
De acuerdo a (1)
Analizando el área ABCE.
Análisis volumen ABCD
Respuesta Volumen en función de altura del agua
La función f(x) no es INYECTIVA considerando todo su recorrido, sin embargo, en el
tramo [1; 2] como se define en el ejercicio, SI cumple las condiciones para considerar
inyectiva en dicho tramo.
Referencias bibliográficas
1. Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., Vidaurri, H., Alfaro, A., Josefina,
A. M. B., & Sánchez, F. F. (2007). Precálculo: Matemáticas para el
cálculo. México: Thomson Learning.
2. Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. (2005). Cálculo Diferencial e
Integral. M é xico: Mc Graw Hill.
3. (Moisé s Lázaro C.) (Absalón Castillo V.), Análisis Matemático I
(pág.111 y296) ,Editorial Mosuera.
4. Mitacc, M.; Toro, L. (3era Ed). (2009). Tópicos de cálculo-Volumen
I, Lima, Perú: Editorial Thales SRL. (p. 103)
